第5章 函数应用 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在区间(0,1)上有零点的一个函数为(　　) A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x3－2x＋3 C．f(x)＝x3＋2x－2 D．f(x)＝x2＋2x－3 解析　∵f(0)·f(1)＜0验证知只有C符合此条件． 答案　C 2．若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1有两个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,10)　　　　　　 B．(1,10) C．(0,1) D．(0,1)∪(1,10) 解析　由题意得lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝4x－2x＋1－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　因为f(x)＝4x－2x＋1－3为连续函数，f(1)＝4－4－3＝－3<0且f(2)＝16－8－3＝5>0，因为f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)． 答案　C 4．已知f(x)＝则函数y＝f(x)－1的零点为(　　) A．－ B．－1和1 C.和1 D．0 解析　解法一(代数法)　函数y＝f(x)－1的零点即方程f(x)＝1的实数根． 当x≤－1时，令x＋2＝1，解得x＝－1，满足； 当－1<x<2时，令x2＝1，解得x＝±1，可得x＝1满足； 当x≥2时，令2x＝1，解得x＝，不满足． 综上，函数y＝f(x)－1的零点为－1和1. 解法二(几何法)　函数y＝f(x)－1的零点即函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的交点的横坐标．在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，如图所示． 由图象，知函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的交点坐标分别为(－1,1)，(1,1)，即函数y＝f(x)－1的零点为－1和1. 答案　B 5．方程lg x＋x－2＝0一定有解的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析　令f(x)＝lg x＋x－2，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝lg 2>0，所以f(x)在(1,2)内必有零点，即方程lg x＋x－2＝0有解的区间是(1,2)． 答案　B 6．某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时1000 mg的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以20%的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在1000 mg以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为(　　) (参考数据：0.21.8≈0.055 2,0.21.9≈0.047 0,0.83.1≈0.500 7,0.83.2≈0.489 7) A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 解析　设时间为x，血液中药物的浓度为y， 则y＝ 所以当0＜x≤2时，1000x＞1000，解得1＜x≤2； 当x＞2时，2000(1－20%)x－2＞1000， 即0.8x－2＞，即0.8x－2＞0.83.1， 所以x－2＜3.1，即2＜x＜5.1， 综上可得1＜x＜5.1，所以5.1－1＝4，即该药物对病人有疗效的时长大约为4小时；故选C. 答案　C 7．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　画出函数f(x)的图象及直线y＝－x，之后上、下平移直线y＝－x，可以发现当直线过点A(0,1)时，直线与函数图象有两个交点，并且直线向下无限移动时，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C. 答案　C 8．对于函数f(x)，g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}．若存在α，β，使得|α－β|≤2，则称f(x)，g(x)互为“零点相邻函数”．若f(x)＝ex－2＋x－3和g(x)＝x2－ax－a－2互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，－2)∪ D．(－∞，－2]∪ 解析　因为f(2)＝0，且f(x)在R上为增函数，所以f(x)有唯一零点2.又f(x)，g(x)互为“零点相邻函数”，所以g(x)在[0,4]上至少有一个零点． 由g(x)＝x2－ax－a－2＝0， 得a＝＝ ＝(x＋1)－－2. 令t＝x＋1，h(t)＝t－－2. 由0≤x≤4，得1≤t≤5. 因为h(t)在[1,5]上单调递增，所以当t∈[1,5]时，h(t)∈，所以a∈. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　) A．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1 B．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 C．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋ D．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 解析　甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故B正确；易知当x＞2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故C正确；当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝×8＋＝，因为y1＞y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确． 答案　ABC 10．已知函数f(x)＝2x＋log2x，且实数a＞b＞c＞0，满足f(a)f(b)f(c)＜0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是(　　) A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c 解析　由函数的单调性可得，函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，由f(a)f(b)f(c)＜0，则f(a)，f(b)，f(c)为负数的个数为奇数，对于选项A，B，C，选项可能成立；对于选项D，当x0＜c时，由函数的单调性可得：f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＞0，即不满足f(a)f(b)f(c)＜0，故选项不可能成立． 答案　ABC 11．(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级. 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析　由题意可知：∈[60,90]，∈[50,60]，＝40， 对于选项A：可得－＝20×lg－20×lg＝20×lg， 因为≥，则－＝20×lg≥0， 即lg≥0， 所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得－Lp3＝20×lg－20×lg＝20×lg， 因为－＝Lp2－40≥10， 则20×lg≥10，即lg≥， 所以≥ 且p2，p3>0，可得p2≥ p3， 当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为＝20×lg＝40，即lg＝2， 可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知－＝20×lg，且－≤90－50＝40， 则20×lg≤40， 即lg≤2，可得≤100，且p1，p2>0， 所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，写出一个能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)f(2)<0”为假命题的f(x)＝____________. 解析　由题意，得函数f(x)在(0,2)上存在零点，且f(0)f(2)≥0， 所以f(x)可以为f(x)＝(x－1)2. 答案　(x－1)2(答案不唯一) 13．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是____________(用数字作答)． 解析　(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980 1， 而0.980 1－1＝－0.019 9，即跌了1.99%. 答案　跌了1.99% 14．英国数学家泰勒发现了如下公式：ex＝1＋＋＋＋…，ln(1＋x)＝x－＋－＋…(－1<x≤1)，其中n！＝1×2×3×…×n.可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出ex，ln(1＋x)的值也就越精确，则利用上面公式的前四项计算ln 的近似值为________ (精确到0.01)．运用上述思想，可得到函数f(x)＝ex－在区间内有________个零点． 解析　ln＝ln≈－＋－≈0.40.因为f＝－2＝－<0， f＝－＝－＋1＋＋＋＋…≈＋＋＋…>0， 又f(x)在上单调递增，所以由零点存在定理可知，函数f(x)在上有且只有1个零点，故函数f(x)在上只有1个零点． 答案　0.40　1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1)． (1)求a的值； (2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1,2]上的零点个数，并说明理由． 解析　(1)易知，函数f(x)＝logax＋ax在x∈[1,2]上单调递增， ∵函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1， ∴f(1)＋f(2)＝0＋a＋loga2＋a2＝a2＋a＋1， 解得a＝2. (2)由(1)可得函数f(x)＝log2x＋2x，f(x)在[1,2]内单调递增，∴g(x)＝f(x)－3在[1,2]内单调递增．∵g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝log22＋22－3＝2>0，∴函数f(x)在[1,2]内有且仅有一个零点． 16．(15分)已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，请说明理由． (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807) 解析　(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，证明如下： 设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝<0， 所以f(x1)<f(x2)． 故函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． (2)因为g(x)＝＋log2x－2是增函数， g(1)＝＋log21－2＝－1<0， g(2)＝＋log22－2＝－1>0， 所以函数g(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点x0. 因为g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，所以x0∈(1.5,2)． 又因为g(1.75)＝＋log21.75－2 ≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， 所以x0∈(1.5,1.75)． 又1.75－1.5＝0.25<0.3， 所以g(x)零点的近似值为1.5. (注：函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以) 17.(15分)为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂，已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比，麻醉剂释放完毕后，y与t的函数解析式为y＝t－a(a为常数)，如右图所示． (1)试求从麻醉剂释放开始，血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式； (2)根据麻醉师的统计，当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时，病人才能清醒过来，那么从实施麻醉开始，至少需要经过多长时间，病人才能清醒过来？ 解析　(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数： 当0≤t≤0.1时，函数的图象是一条经过O(0,0)的线段，设其方程为y＝kt(k为待定系数)， 又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得k＝10， 所以当0≤t≤0.1时，y＝10t. 当t>0.1时，函数解析式为y＝t－a， 而A(0.1,1)在这段函数图象上，代入得，1＝0.1－a，所以有0.1－a＝0，解得a＝0.1. 故当t>0.1时，y＝t－0.1. 综上，血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y＝ (2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下，此时t>0.1，且y≤0.125＝. 当t>0.1时，由t－0.1≤，得t－0.1≥1， 解得t≥1.1. 所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒． 18．(17分)近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平．设火箭推进剂的质量为M(单位：t)，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m(单位：t)，火箭的飞行速度为v(单位：km/s)，初始速度为v0(单位：km/s)，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：v＝v0＋w·ln，其中w是火箭发动机喷流相对火箭的速度．假设v0＝0 km/s，m＝25 t. (参考数据：≈261.56，ln 80≈4.382) (1)若w＝3 km/s，当火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度(7.9 km/s)、第二宇宙速度(11.2 km/s)、第三宇宙速度(16.7 km/s)时，求相应的M；(精确到小数点后一位) (2)如果希望火箭飞行速度达到16.7 km/s，但火箭起飞质量的最大值为2000 t，请问w的最小值为多少？(精确到小数点后一位) 解析　(1)由题意知v＝3ln. 当v＝7.9 km/s时，有7.9＝3ln， 所以M＝－25≈323.0(t)； 当v＝11.2 km/s时，有11.2＝3ln， 所以M＝－25≈1 020.5(t)； 当v＝16.7 km/s时，有16.7＝3ln， 所以M＝－25≈6 514.0(t)． (2)因为v0＝0 km/s， 所以v＝v0＋w·ln＝w·ln， 令w·ln＝16.7， 因为m＋M≤2000，m＝25， 所以＋ln m＝ln(m＋M)≤ln 2000， 即＋ln 25≤ln 2000， 得w≥≈3.8， 所以w的最小值为3.8 km/s. 19．(17分)某新型企业为获得更大利润，需要不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解析　(1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)， 得 解得 ∴y＝x－. 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)， 得解得 将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)， 得 解得 ∴y＝log2(x－1)． 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4. 故可用③来描述x，y之间的关系． (2)当该企业年利润超过6百万元时，该企业要考虑转型，理由如下： 令log2(x－1)≥6，则x≥65. ∵年利润<10%， ∴该企业要考虑转型． 学科网（北京）股份有限公司 $$