精品解析：安徽宿州市第十一中学2026-2027学年度九年级上学期第一次质量检测数学试卷

2026-2027 学年度九年级上学期第一次质量检测数学试卷 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 4. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 关于的一元二次方程的解为 ，，则代数式 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（　　） A. B. 10 C. 3 D. 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B. 若，方法Ⅰ中的四边形为矩形 C. 若，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D. 若，方法Ⅱ中的四边形为正方形 9. 如图，四边形是边长5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则（ ） A. 7 B. 3 C. 9.6 D. 4.8 10. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M 在线段上，且，P 为线段上的一个动点，连接，则 的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 9 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 把方程化为的形式为___________． 12. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 14. 如图，在菱形中，，，连接． （1）线段的长为________． （2）点E在边上，点F在的延长线上，与相交于点G，H为的中点．若，则线段的长为____________． 三．解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 解方程∶ （1） （2） 16. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的方程 (a2－4a＋5)x2＋2ax＋4=0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值.你认为谁的判断是正确的，并简述理由. 18. 某天延时课上，闻老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放： 第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，…，按此规律依次递增． （1）第5个图中有______个棋子；第个图中有______个棋子． （2）第个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由． 五．解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 20. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 六．解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法： 项目背景 901班在社团活动时，研究了教材第40页的“一元二次方程的几何解法”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．这种构图法有我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家花剌子米两种不同方法．该社团以方程为例，分别展示． 材料一 赵爽构图法可以看成是一个长为，宽为x，面积为39的矩形．用4个长都是，宽都是 x的相同矩形构造成图(1)的大正方形． 材料二 花剌子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决： （1）任务一：材料一中，大正方形的面积可以表示为(用含 x的代数式表示)；另一方面它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ．故可得到方程 （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为 （3）任务三：请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程：．你选择的是 构图法(填写①或②，①为赵爽构图法，②为花剌子米构图法)．请你构造出相应图形，并在图中标注出相关线段的长；并根据所画图形，求方程 的解．最后列出方程为 ． 22. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【定理证明】为证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请完成证明过程．已知∶在中，，O是边的中点．求证∶． （2）【知识应用】如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点 P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，求d的长． 七．解答题（本题满分14分） 23. 如图，四边形是正方形，P是对角线的延长线上一点，连接，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）过点E作于点F，过点P作交于点G，当时，求的长； （3）请猜想，与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度九年级上学期第一次质量检测数学试卷 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14． 【详解】先移项得x2+6x=5， 方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9， 所以（x+3）2=14． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵△DEF由△DEA翻折而成， ∴EF=AE=5， 在Rt△BEF中， ∵EF=5，BF=3， ∴， ∴AB=AE+BE=5+4=9， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=9 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）． 5. 关于的一元二次方程的解为 ，，则代数式 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义可以求出，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，所以可得，再根据乘方的定义计算． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， 解得：， 和是一元二次方程的解， ， ． 6. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（　　） A. B. 10 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS） ∴AE＝BF，BE＝CF， ∴AB＝. 故选A． 【点睛】考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用． 7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 8. 如图是用尺规过点P作直线l垂线的两种方法，其中a，b，m，n分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B. 若，方法Ⅰ中的四边形为矩形 C. 若，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D. 若，方法Ⅱ中的四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理，作垂线，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据矩形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形的四条边相同，它是菱形，并不一定是正方形，不符合题意； B、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形有一组对角都是直角，另一组对角不一定是直角，并不一定是矩形，不符合题意； C、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形的四条边相同，它是菱形，符合题意； D、由作图方法可知，当时，虚线段组成的四边形有一组对角都是直角，另一组对角不一定是直角，并不一定是矩形，并不一定是正方形，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，四边形是边长5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则（ ） A. 7 B. 3 C. 9.6 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的值，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵四边形是边长5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴. 10. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M 在线段上，且，P 为线段上的一个动点，连接，则 的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】过P点作于H，过M点作于N，证明为等边三角形，得出，，当M、P、H共线时，的值最小，根据直角三角形性质求出最小值即可． 【详解】解：过P点作于H，过M点作于N，如图， ∵四边形为菱形， ∴，平分， c， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ， ∴， 当M、P、H共线时，的值最小，即的最小值为的长， ， ， 在中，， ， ， ∴， 即的最小值为． 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 把方程化为的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，展开移项合并同类项即可． 【详解】解： 即 即 故答案为：． 12. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且． 同理求得，且， 又， ，且． 四边形是矩形． 四边形的面积，即四边形的面积是12． 故答案是：12． 【点睛】本题考查的是中点四边形，解题的关键是利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 【答案】（12-x）（8-x）=77 【解析】 【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】道路的宽为x米．依题意得： (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 14. 如图，在菱形中，，，连接． （1）线段的长为________． （2）点E在边上，点F在的延长线上，与相交于点G，H为的中点．若，则线段的长为____________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）因为菱形四边相等，所以，又因为，所以是等边三角形，由此可直接得到的长度． （2）过点作，交于点， 过作于点，根据等边三角形的性质和判定先证得是等边三角形，进而可证得，可求得的长度，在中，，可求出的长，最后可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：（1）菱形， ． 又， 是等边三角形， ． （2）过点作，交于点， 过作于点，如图： 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ． ， ， 又， ， ． ， ． 已知是中点，， ， 由菱形性质得，即． 在中，， ∴， ， ， ． 在中，由勾股定理： ， （负值已舍去）． 三．解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴． 16. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 【答案】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠A=∠C， ∵在△ABF和△CBE中， , ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF=∠CBE． 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论． 试题解析：略 考点：菱形的性质． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的方程 (a2－4a＋5)x2＋2ax＋4=0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值.你认为谁的判断是正确的，并简述理由. 【答案】小聪正确 . 【解析】 【分析】只要说明无论a为什么值时(a2－4a＋5)的值都不是0,可以利用配方法来证明. 【详解】解：小聪正确 . ∵, 又∵≥0, ∴＞0 , 即该方程的二次项系数不为0, ∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程. 【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键. 18. 某天延时课上，闻老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放： 第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，…，按此规律依次递增． （1）第5个图中有______个棋子；第个图中有______个棋子． （2）第个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，第10个图中的棋子个数为115． 【解析】 【分析】（1）先观察得出图形变化中的规律，再利用规律求解即可； （2）令建立方程求解，检验n的值是否符合题意，即可求解． 【小问1详解】 第1个图：， 第2个图：， 第3个图：， … 第5个图：， 由图中规律可知，第个图：， 故答案为：；． 【小问2详解】 令， 解得（舍去），， ∴能，第10个图中的棋子个数为115． 【点睛】本题考查了图形规律题，涉及到了一元二次方程的应用，解题关键是发现图中的变化规律，并能用数式进行表示． 五．解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论； （2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 设点C到的距离为h， ∵ ∴ ∴ 答：点C到的距离为． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键． 20. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 【答案】每件降价4元 【解析】 【详解】试题分析：设每件降价元，则可多售出5件，根据题意可得： 化简整理得 解得： 经检验都是方程的解，但是题目要求x≤10 ∴x=36不符合题意，舍去 即x=4 答：每件降价4元． 考点: 一元二次方程的应用 六．解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法： 项目背景 901班在社团活动时，研究了教材第40页的“一元二次方程的几何解法”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．这种构图法有我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家花剌子米两种不同方法．该社团以方程为例，分别展示． 材料一 赵爽构图法可以看成是一个长为，宽为x，面积为39的矩形．用4个长都是，宽都是 x的相同矩形构造成图(1)的大正方形． 材料二 花剌子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决： （1）任务一：材料一中，大正方形的面积可以表示为(用含 x的代数式表示)；另一方面它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于 ．故可得到方程 （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为 （3）任务三：请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程：．你选择的是 构图法(填写①或②，①为赵爽构图法，②为花剌子米构图法)．请你构造出相应图形，并在图中标注出相关线段的长；并根据所画图形，求方程 的解．最后列出方程为 ． 【答案】（1），，， （2）5，25 （3）选择①，图形为： 方程的解为，，； 或选择②，图形为： 方程的解为，， 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； （2）大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； （3）根据（1）或（2）两个任务的解答，即可求解． 【小问1详解】 解：材料一中，由图可得，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积可以表示为， 由图可得，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∴大正方形的面积可以表示为， ∴方程为． 【小问2详解】 解：材料二中，图2的矩形面积可以表示为，图3中右上角的小正方形面积为，大正方形面积可以表示为， 由（1）可知，， ∴得到的方程为． 【小问3详解】 解：选择 解一元二次方程：，即， 可以看成是一个长为，宽为，面积是55的矩形，用4个相同的矩形构造如图1的大正方形，则方程为 解得，． 选择 解一元二次方程：，即， 用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，3的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形，则方程为， 解得，． 22. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【定理证明】为证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请完成证明过程．已知∶在中，，O是边的中点．求证∶． （2）【知识应用】如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点 P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，求d的长． 【答案】（1）证明：延长至，使，连接，， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件构造矩形，由矩形性质得到； （2）连接，则得到两个直角三角形斜边的中线，可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵，点是的中点， ∴，即点到四边形四个顶点的距离相等， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 七．解答题（本题满分14分） 23. 如图，四边形是正方形，P是对角线的延长线上一点，连接，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）过点E作于点F，过点P作交于点G，当时，求的长； （3）请猜想，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，． ∵，正方形内角为， ∴四边形中，， 又∵， ∴， 得， ∵， ∴； （2） （3）解：，证明如下： 由正方形的性质得， 如图，延长交延长线于，设与交于点， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 由（2）得， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得到，，可证，得到，，根据多边形内角和求出，可知，根据等角对等边即可证明； （2）根据垂线的定义得到，根据平行线的判定和性质得到，根据三角形外角的性质得到，证明，即可求出的长； （3）根据正方形的性质得到，由（2）得，根据三角形内角和及等角对等边求出，，即，由（2）得，可知，根据平行线分线段成比例求出，根据等角对等边及勾股定理求出，即可得到，与之间的数量关系． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $