精品解析：安徽省宿州市第十一中学教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级（上）月考数学试卷 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据从正面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是 故选：C 2. 若非零实数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据得出，从而即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3. 关于反比例函数的图象与性质，下列说法中不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于直线对称 C. 点在它的图象上 D. 它的图象位于第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．由反比例函数解析式可得函数图象经过象限及对称关系． 【详解】解：， 反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内随增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线成轴对称， 将代入得：，所以点在它的图象上， 所以选项B、C、D正确，选项A不正确， 故选：A 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数在直角三角形中的应用，特别是正弦函数的定义和应用．在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边． 【详解】解：，， ． ， ． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 根据矩形性质得，，则矩形的周长为，进而得，再由勾股定理求出，进而即可得出矩形的周长． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，，，， 矩形的周长为：， 在中，， 由勾股定理得：． ， 矩形的周长为56． 故选：D． 7. 已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．作轴于H．利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于H． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 9. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 10. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点在边上，若沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；过点C作于M，设菱形的边长为，则；由折叠及等腰三角形的性质、勾股定理求得，由面积关系求得，在中由勾股定理求得，从而求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于M， 设菱形的边长为， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵， ∴； 由折叠知， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 故选：D． 二．填空题（每题5分，满分20分） 11. 在中，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质；过点B作，求出，，，分当点D在上和的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段上时， ∵，， ∴， 由勾股定理得， 在中，， ∴； ②如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段延长线上时， 同理可求，， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 12. 已知线段的长为4，点P为线段上的一点，且，那么线段__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意设，则，根据“”，列出方程，是解题关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， 即． 故答案为： 13. 如图，在中，，是的角平分线，则____． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先由勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，设，再由面积法得到，然后建立方程即可求解． 【详解】解：过点作于点 ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 设，则 ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，由题意可得，进而得到，即得，再结合反比例函数图象的位置解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 三．解答题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简计算每一项． 分别计算乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值，再进行实数的混合运算． 【详解】解： 16. 已知：． （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：设，则，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． （1）利用比例的基本性质进行求解即可； （2）利用比例的基本性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：，且，， ， ， ， ， 解得， ， 、d的值分别为3、； 【小问2详解】 略 四．解答题 17. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； （2）若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； （3）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查平移作图、由平移方式确定点的坐标、在坐标系中画位似图形，正确作出图形是解答的关键． （1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）根据点的平移方式“左减右加，上加下减”确定点的坐标即可； （3）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， ∴内有一点，经过（1）的平移后的对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 五．解答题 19. 甲、乙两人到古镇溱潼旅游，准备从溱湖湿地公园（用S表示）、溱湖海洋馆（用H表示）、溱湖动物园（用D表示）和溱潼千年茶花（用C表示）这4个景点中随机选择1个景点游览． （1）甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是______； （2）用树状图或者列表法求甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先根据题意画出树状图，然后再用概率公式进行运算即可． 【小问1详解】 解：甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有16种等可能的情况，甲、乙两人选择的景点恰好相同的有4种情况， ∴甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率为． 【点睛】本题主要考查了根据概率公式进行运算，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图． 20. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革．湘潭某中学推进项目式学习，组织九年级数学兴趣小组，测量莲城（湘潭市）的地标：君子莲雕塑．君子莲雕塑采用抽象艺术手法，一朵含苞欲放的莲花，象征着美好的未来．雕塑所蕴含的“出污泥而不染，濯清涟而不妖”的高洁品格，启发、激励着一代又一代的湘潭人民向着美好未来奋勇前行．如图，测量小组在君子莲雕塑前的B点观测雕塑顶部A的仰角为，然后将观测点沿雕塑底部C的水平方向移动了到点D，在D点观测的仰角为，求君子莲雕塑的高度．（结果保留一位小数，） 【答案】君子莲雕塑的高度为 【解析】 【分析】设，则，，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，，，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ， 解得： 则． 答：君子莲雕塑的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度锐角三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤． 六．解答题 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，与x轴交于． （1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图像； （2）连接，求的面积； （3）根据图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， 画出函数图像如图， （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把A、B的坐标代入即可求出一次函数的解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解即可； （3）先联立两个解析式求出另一个交点，再根据函数的图像即可得出答案． 【小问1详解】 把代入得：， ∴反比例函数的解析式是． 把A、B的坐标代入一次函数得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解得 ， ∴另一个交点坐标为， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，利用图像解不等式等知识，数形结合是解答本题的关键． 七．解答题 22. 某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】大楼的高度约为96米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出，的长，得出，的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， ， 即， ， ∴， （米）， ∴（米），（米）， 又∵， ∴（米）， ∴（米）． ∴大楼的高度约为96米． 八．解答题 23. [基础巩固] （1）如图1，在中，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； [尝试应用] （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长； [拓展提高] （3）在中，，，以B为直角顶点作等腰直角，点D在线段上，点E在线段上．若，直接写出_____． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， ， ∴， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）延长交的延长线于点T，过C作于点M，结合等边三角形的判定及性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解； （3）过点E作与交于点F，使，结合等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，同理可证，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点T，过C作于点M． ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解： ．理由如下： 如图，过点E作与交于点F，使， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；能添加恰当的辅助线构建相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若非零实数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数的图象与性质，下列说法中不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于直线对称 C. 点在它的图象上 D. 它的图象位于第一、三象限 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 10. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点在边上，若沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题5分，满分20分） 11. 在中，，，，则_____． 12. 已知线段的长为4，点P为线段上的一点，且，那么线段__________． 13. 如图，在中，，是的角平分线，则____． 14. 如图，在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则______ ． 三．解答题 15. 计算：． 16. 已知：． （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 四．解答题 17. 如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； （2）若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； （3）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 五．解答题 19. 甲、乙两人到古镇溱潼旅游，准备从溱湖湿地公园（用S表示）、溱湖海洋馆（用H表示）、溱湖动物园（用D表示）和溱潼千年茶花（用C表示）这4个景点中随机选择1个景点游览． （1）甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是______； （2）用树状图或者列表法求甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率． 20. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革．湘潭某中学推进项目式学习，组织九年级数学兴趣小组，测量莲城（湘潭市）的地标：君子莲雕塑．君子莲雕塑采用抽象艺术手法，一朵含苞欲放的莲花，象征着美好的未来．雕塑所蕴含的“出污泥而不染，濯清涟而不妖”的高洁品格，启发、激励着一代又一代的湘潭人民向着美好未来奋勇前行．如图，测量小组在君子莲雕塑前的B点观测雕塑顶部A的仰角为，然后将观测点沿雕塑底部C的水平方向移动了到点D，在D点观测的仰角为，求君子莲雕塑的高度．（结果保留一位小数，） 六．解答题 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，与x轴交于． （1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图像； （2）连接，求的面积； （3）根据图像，直接写出不等式的解集． 七．解答题 22. 某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 八．解答题 23. [基础巩固] （1）如图1，在中，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； [尝试应用] （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长； [拓展提高] （3）在中，，，以B为直角顶点作等腰直角，点D在线段上，点E在线段上．若，直接写出_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $