安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷

九年级教学质量检测（一） 数学（人教版） 注意事项： 满分为150分，时间为120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）》 每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1.下列二次函数的图象开口向下的是… A.y=2x2 B.y=-x2 C.y=x2+1 D.y=3x2-1 2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是… A.x2+5x-1=0 B京 C.y2+2x=1 D.2x+b=0 3.抛物线y=-(x一1)2+2的顶点坐标是… 】 A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-1,2) 4.下列方程中有实数根的是…【】 A.x2+2x+3=0B.x2-x+1=0 C.3x2+1=0 D.x2+2x-8=0 5.在平面直角坐标系中，将函数y=3(x-1)2+5的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度，所得抛物线对应的函数解析式为… …【】 A.y=3(x+1)2+6B.y=3(x-3)2+4C.y=3(x+1)2+4D.y=3(x-3)2+6 6.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同 学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学， 则可列方程为… …【】 A.1+x(x+1)=49 B.1+x+x(x+1)=49 C.1+x+x2=49 D.1+2x=49 7.已知m,n是一元二次方程x2+4x+c=0的两个根，且m+5n_4=2,则c的值是…【】 mn m A.8 B.-8 C.2 D.-2 8.已知点A(-2,y),B(1,y2)在抛物线y=2x2+bx+6上，若2<b<4,则下列判断正确的是【】 A.6<y1<y2 B.y<6<y2 C.6<y2<y D.y2<6<9 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）·第1页共4页 9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①abc>0;②2a+b<0; ③2b-c<0;④a+b+c<0,其中正确结论的个数为…【】 A.1 B.2 C.3 D.4 第题图 第10题图 10.如图，已知抛物线y=-x2+x+g的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=a+b与该 抛物线的另一个交点为N(-L,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐标 为…【】 A.(0,2) C. (0,2)或 D.以上都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若x=1是一元二次方程3x2+ax-1=0的一个根，则a的值为 12.把二次函数y=x2-2x+4变形为y=a(x-h)2+k的形式，则h+k的值为 13.二次函数y=a(x-3)2-a,当-2≤x≤5时，y的最小值为-6，则a的值为 14.如图，抛物线G:y=-x+4mx-4m2+8m与x轴交于A,B两点；抛物线C,:y=x2-2x+n2-4 与x轴交于C,D两点. (1)若n=6,则抛物线C2的对称轴是直线x= (2)若m=分，且C是线段B的中点，则n的值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 第14题图 15.解方程：x2+6x+4=0. 16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,3),B(-1,6),C(2,3)三点，求该二次函数的解析式. 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）·第2页共4页 26—27学年 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.某区大力推进义务教育均衡发展、加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设 备进行企而改造.2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027 年投资72亿元人民币，求每年投资的年平均增长率. 18.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0). (1)若该抛物线的顶点为P(2,-1),求a,b的值； (2)若该抛物线经过点4，)，B(2,),求D的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两个实数根分别为x,x2· (1)求k的取值范围； （2)若x,x2满足x2+x=16+xx2,求实数k的值， 20.综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆 安全、顺利地转弯、停入和驶出车位.为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则， 设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5~6.5米. 【数据收集】我市某小区地下车库分为A,·B,C,D,E等多个区域，其中A区域为长40米， 宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米.另据调查分析，该小区每 个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车 位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元. 40米 (1)当车库A区域停车位（图中阴影)的占地面积为544m2时， 通过计算判断车道宽度是否符合标准？ 22 (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨 第20题图 多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）·第3页共4页 六、（本题满分12分》 21.如图，抛物线y=-x2+bx+6与x轴相交于A,B两点（点B在点A的右侧)，与y轴相交于点C. 且OB=OC,点M是抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式： (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接 PC,CD,求△PCD的面积的最大值. B 第21题图 七、（本题满分12分)》 22.请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=之， 把x=二代人已知方程，得 )-g-J-0 化简，得y2+2y-12=0,故所求方程为y2+2y-12=0, 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所 求方程为 (2)已知方程2x2-7x+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为3，-2，求一元二次 方程y2-(2a-b)y+a-b+c=0的两根. 八、（本题满分14分） 23.已知抛物线L:y=x2+bx+1(a,b是常数，a≠0)与x轴交于点A,B,点A在点B的左侧. (1)当抛物线L经过点(2,1)时， ()若a=1,求抛物线L的顶点坐标； (i)若OB=3OA,求a的值： (2)当a=b=1时，抛物线L经过P(x,y),Q(x2,y2)两点(x≠x2),若x+x2=2,求证： 为+y2>6. 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）·第4页共4页 26一27学年九年级教学质量检测（一） 数学（人教版）参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 题号 1 2 6 7 9 10 答案 A 0 C B D A C A 卫-3 10.A抛物线y=-x2+px+g的对称轴为直线x=-3,点N(-1,1)是抛物线上的一点，： -2 1=-1-p+q 解得 P=-6 ，.该抛物线的函数解析式为y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5,∴M(-3,5).△PMW的 9=-4 周长=MN+PM+PN,且MW是定值，.只需(PM+PW)最小即可.如图1，过点M作关于y轴 对称的点M',则M'(3,5),连接M'N,MW与y轴的交点即为所求的点P.设直线M'N的解析式 a=1 为y=ax+t(a≠0)，则 t=2 ,.该直线的解析式为y=x+2.当x=0时，y=2, 即P(O,2)；同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M',连接M'N,MN与x轴的交点即为所 求的点P 当点P在y轴上时，△PMN的周长=42+MN;当点P在x轴上时，△PMW的 周长=210+MN,当点P的坐标为(0,2)，△PMN的周长最小.故选A. 图1 图2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.-212.4 13.6政4 14.(1)6;(2分)(2)3.(3分) (1)当n=6时，抛物线C,的解析式为y=x-2x6x+6-4x6=x-62-8,它的对称轴是直线x=6: (2)当m=时，抛物线C的解析式为y=2+4x分-4× 2 +8×了-低-+4，它的对称轴是直 线x=1,:C是AB的中点，点C的坐标为1,0)，把点C的坐标代入C,:y=x-2x+m- n, 3 得P-2m×1+心2-音=-0，解得%=行，%=3，当n=3时，抛物线G的解折式为y=-6c+5, 3 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）参考答案及评分参考·第1页共5页 26一27学年 与x轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意；当m号时，抛物线C的解析式为 y=一子行，与轴的两个交点枝坠标分别是弓和1，与图象不符，应合去，的值为3。 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.解：a=1,b=6,c=4, .4=b2-4ac=36-16=20, x=6±25.-3t5, 2 x=5-3,为2=-√5-3.…(8分) [c=3 16.解：将A0,3),B(-1,6),C(2,3)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=6, 4a+2b+c=3 [a=1 解得b=-2,.该二次函数的解析式为y=x2-2x+3.…(8分) (c=3 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：设每年投资的年平均增长率为x, 根据题意得51+x)2=7.2, 解得x=02=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去)， 答：每年投资的年平均增长率为20%.…(8分) 18.解： (1)由题意可设该抛物线的函数解析式为y=a(x-2)2-1, 化简得y=ax2-4ax+4a-1,则4a-1=-2, y=2+x-2,61, ..a=-1 4 综上，a=-4b=1；…（4分） (2)·点A(1,t),B(2,t)在该抛物线上， (8分) a 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解： (1)关于x的方程x2+(2k-1)x+K2-1=0有两个实数根x和x2· ∴.4=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5>0, 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）参考答案及评分参考·第2页共5页 26—27学年 ks 4:…(4分) (2)x+x2=1-2k,xx2=k2-1,x+x3=xx2+16, .(x+x2)2=3xx2+16,∴(1-2k)2=3(k2-1)+16, 整理得k2-4k-12=0,解得k=6或k=-2, 又k≤子k=-2.…(10分) 20.解： (1)根据题意得(40-x)(22-x)=544, 整理得x2-62x+336=0, 解得x=6,x2=56(不符合题意，舍去)， 5.5<6<6.5,.车道宽度符合标准；…（5分) (2)设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为 50- y个 根据题意得(200+)50- =10125, 整理得y2-50y+625=0, 解得4=y2=25. 答：当每个车位的月租金上涨25元时，该区域停车场的月租金收入为10125元.…(10分) 六、（本题满分12分） 21.解： (1):抛物线y=-x2+bx+6交y轴于点C,∴C(0,6). .OB=OC,..OB=OC=6...B(6,0). 将B(6,0)代入y=-x2+bx+6中，得b=5. .抛物线的函数解析式为y=-x2+5x+6;…(4分) 4 :点M是抛物线的顶点，六M2·4 549 由点B和点M的坐标易得直线BM的解析式为y=- 2x+21. :PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为n, 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）参考答案及评分参考·第3页共5页 26一27学年 △P0D的面积为s-P0-0m(子+2小m=子4头=子-那+经， Γ221 4 5 40,2≤m≤6， 4 “当n=3时，△PCD的面积S有最大值，最大值为63. …（12分) 4 七、（本题满分12分） 22.解： (1)设所求方程的根是y,则y=-x,x=-y, 把x=-y代入x2+x-2=0, 得y2-y-2=0, 故答案为：y2-y-2=0;…(3分) (2)设所求方程的根是y,则y=1,x=1, 把x=1代入方程2x2-7x+3=0,得2 1 -7.1+3=0, 化简得3y2-7y+2=0;…（7分) (3)将一元二次方程ay2-(2a-b)y+a-b+c=0整理后可得a(y-1)2+b(y-1)+c=0, 令y-1=x,则y=x+1, .方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的两根比ax2+bx+c=0(a≠0)的两根大1， ∴.方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的两根分别是4，-1.…（12分) 八、（本题满分14分） 23.解： (1))当a=1时，将(2,1)代入y=ax2+bx+1,得4+2b+1=1, 解得b=-2,∴y=x2-2x+1=(x-1)2, ∴抛物线L的顶点坐标为(L,0);…(3分) (i)将(2,1)代入y=ax2+bx+1,得4a+2b+1=1, ∴.b=-2a,∴.y=ax2-2ax+1, 抛物线L的对称轴为直线x=-20=1. 2a 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）参考答案及评分参考·第4页共5页 26—27学年 当点A在y轴左侧时，设A(m,0),其中m<0, :0B=30A,则B(-3m,0,m,3m=1,m=-1. 2 将(-1,0)代入y=am-2ac+1,得a+2a+1=0,解得a=子；…(6分) 当点A在y轴右侧时，设A(m,0),其中m>0, 0B=30A,则B3m,0),:m+3m=1,m= 1 2 将后0代入y=ar-2c+1,每0-a+1=0,解得a 3 综上，a的值为写或子 …(9分) (2)证明：当a=b=1时，则y=x2+x+1, +x2=2,≠x2,.x2=2-,+1, .y=x2+x+1y2=x号+x2+1=(2-x)2+(2-x)+1, .+y2=x2++1+(2-x)2+(2-x)+1=2x2-4x+8=2(x-2x+1-1)+8=2(x-1)2+6, x≠1，.2(x-1)2+6>6,.乃+y2>6.…（14分) 九年级教学质量检测（一）数学（人教版）参考答案及评分参考·第5页共5页 26一27学年