福建省莆田市城厢区2026-2027学年人教版九年级数学上册10月阶段复习卷

人教版福建省莆田市城厢区2026-2027 九年级数学10月阶段复习卷 一、单选题 1．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 3．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 5．已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 或 9．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，则表格中的值是___________． 0 1 2 3 0 3 4 3 12．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 13．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人是_____人． 14．若抛物线的顶点坐标为，且它在轴截得的线段长为，则该抛物线的表达式为________． 15．若二次函数的对称轴是直线，则_________． 16．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 三、解答题 17．解方程：． 18．已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 19．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 20．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 22．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 23．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m．    (1)若矩形地的面积为，求的长； (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 24．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《人教版福建省莆田市城厢区2026-2027莆田一中九年级数学10月阶段复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A C D C C A A 1．D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2．B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 3．D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 4．A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 6．D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 7．C 【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， ，，，则，故①正确； ∵该函数的对称轴是 ， ∴，得 ，故②正确； ∵，， ∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则，故③正确； ∵该函数的对称轴是，过点（﹣3，0）， ∴和时的函数值相等，都大于0， ∴，故④错误； 故正确的是①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 8．C 【分析】由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 9．A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 10．A 【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置判断的符号，根据开口方向以及对称轴判断的符号，即可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可得点的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶点坐标为，由此可得为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开口向下，且对称轴为，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵ ∴ 故②错误； 对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下， ∴点在第二象限， ∴， 由①得，，即， ∴， 即，故③正确； 对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线开口向下， ∴为抛物线的最大值， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为， 观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大， ∴，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个， 故选：A． 11． 【分析】由表格中和的值相等，可得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性可知与的纵坐标相等，即可求出． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上关于对称轴对称的点的纵坐标相等，且直线与直线关于直线对称， 又∵ 当时，， ∴当时，． 12．/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 13．10 【分析】设参加这次聚会的人是x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设参加这次聚会的人是x人， 依题意得45， ∴x2﹣x﹣90＝0， ∴x＝10或x＝﹣9(负值舍去)． 答：参加这次聚会的人是10人． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 14． 【分析】设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x轴上截得的线段长为6，求出a的值即可． 【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a（x-2）2+9， ∵且它在x轴上截得的线段长为6， 令y=0得，方程0=a（x-2）2+9， 即：ax2-4ax+4a+9=0， ∵抛物线ya（x-2）2+9在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x1，x2， ∴x1+x2=4，x1•x2= ， ∴|x1-x2|= 即16-4×=36 解得：a=-1， y=-（x-2）2+9， 故答案为：y=-（x-2）2+9． 【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得， 故答案为：． 16． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 17．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴， 18． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 19． 【分析】先求出，，从而可得，，作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，从而可得，最后再代入二次函数解析式，计算即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 20．(1)； (2)落水点到喷头立柱的水平距离为米； (3)不能，喷头至少向上调整高度米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【详解】（1）解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 21．(1) 证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 22．(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 23．(1) (2)时，最大面积是 【分析】（1）根据等量关系式：，列出方程进行求解，并检验根是否符合实际意义，即可求解； （2）设，面积为，则有（），列出函数解析式，根据的取值范围求出最值即可． 【详解】（1）解：设，则有（），由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ， 解得：， （不合题意，舍去）， ， 答：的长为． （2）解：设，面积为，则有（），由题意得 由（1）同理可求， ， 当时， ， 故当时，矩形地的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据等量关系式列出方程及函数解析式，并进行正确求解是解题的关键． 24．(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 25．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或. 【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． 详解：（1）依题意得：，解得：， ∴抛物线的解析式为. ∵对称轴为，且抛物线经过， ∴把、分别代入直线， 得，解之得：， ∴直线的解析式为. （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， ∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为. （注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）. （3）设，又，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则，即：解得：， ②若点为直角顶点，则，即：解得：， ③若点为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述的坐标为或或或. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $