精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 4. 抛物线的对称轴是（　　） A. y轴 B. 直线x=2 C. 直线 D. 直线x=﹣3 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 8. 如图，四边形内接于是的直径，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 若正n边形的一个外角为，则_____________． 14. 如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为__________． 15. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 16. 点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是_______． 三、解答题（本题共9小题．共86分） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 19. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 20. 杭州第19届亚运会吉祥物“江南忆”，具体指A．琮琮、B．宸宸、C．莲莲．如图是三张吉祥物的不透明卡片（卡片除内容外，其余均相同）．将这三张卡片背面朝上洗匀放好，小李同学从这三张卡片中随机抽取一张后，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用树状图法或列表法，求两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的概率． 21. （1）如图1，在中，，，则的外接圆的半径为______； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，（不写作法，保留作图痕迹）． 22. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 23. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 24. 如图，是的外接圆，，点是上一点，连接，作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接交于点，若，求的值． 25. 如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； （2）若，求m的值； （3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 4. 抛物线的对称轴是（　　） A. y轴 B. 直线x=2 C. 直线 D. 直线x=﹣3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为， 故对称轴为x==0， 所以对称轴为y轴． 故选：A． 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程的解代入方程，即可求出的值， 掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 故选： ． 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 7. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，四边形内接于是的直径，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：连， ∵四边形内接与，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 9. 如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，解答本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点关于原点对称的点是， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 若正n边形的一个外角为，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为． 14. 如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率．因为骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，由此计算即可． 【详解】∵骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近， ∴可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的， 即画上被污染部分的面积约为． 故答案为： 15. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据矩形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得：，再利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形四边形， 解得： 故答案为：． 16. 点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得，，再结合求出，再结合计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵设抛物线的对称轴为直线，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题．共86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选用合适的方法是解答本题的关键．根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）点在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴点在这条抛物线的图象上． 19. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 20. 杭州第19届亚运会吉祥物“江南忆”，具体指A．琮琮、B．宸宸、C．莲莲．如图是三张吉祥物的不透明卡片（卡片除内容外，其余均相同）．将这三张卡片背面朝上洗匀放好，小李同学从这三张卡片中随机抽取一张后，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用树状图法或列表法，求两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有6种等可能的结果，两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸有2种结果， 所以两次抽取的卡片上恰好是琮琮和宸宸的概率为． 21. （1）如图1，在中，，，则的外接圆的半径为______； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）6； （2）如图2中，作的垂直平分线，交于点O； 以O为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点P， 则点P为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、作图-复杂作图、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题， （1）连接，只要证明是等边三角形即可； （2）如图2中，作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点P，则点P为所求． 【详解】解：（1）如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6； （2）略 22. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分． （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转得，因为于点H，所以，则垂直平分； （2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点F在的延长线上，由，求得，进而利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 23. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】（1） （2）12.5米 （3） ①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥； 理由：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【小问1详解】 解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 24. 如图，是的外接圆，，点是上一点，连接，作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接交于点，若，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是的外接圆， ， 是一个平角， ， ； （2）的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得到，结合圆内接四边形性质及平角定义得到、，从而得证； （2）由平行线的性质得到，结合（1）中的结论，由三角形相似的判定定理得到，从而列比例式代值求解即可得到答案； （3）设，，，则，，通过证明得到，再利用勾股定理得到，代入化简即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知， ， ，即， ，， ； 【小问3详解】 解：设，，，则，， ， ． 由（2）知， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆综合问题，涉及圆的有关性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握上述几何性质是解题的关键． 25. 如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； （2）若，求m的值； （3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得； （2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解； （3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． 【小问1详解】 当时，． 解方程，得，． ∵点A在点B的左侧，且， ∴，． 当时，． ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 方法一：如图1，连接AE． ∵， ∴，． ∴，，． ∵点A，点B关于对称轴对称， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴解方程，得． 方法二：如图2，过点D作交BC于点H． 由方法一，得，． ∴． ∵， ∴， ． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． ∵， ∴解方程，得． 【小问3详解】 ． 设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． ∵， ∴． ， ， ∴． 解得， 又， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $