黑龙江大庆市肇源县西部联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

西部乡镇十月份九年级数学月考卷 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B C B 题号 6 7 8 9 10 答案 A C B A C 二、填空题（每小题3分，共24分） 题号 11 12 13 14 答案 k ≠ 2 x₁ = 0，x₂ = 5 a = 1 x = 1 题号 15 16 17 18 答案 y = (x − 2)² − 3 13 6 ③④ 【选择题详解】 1. B。一元二次方程要求二次项系数不为零，即 m − 1 ≠ 0，所以 m ≠ 1。（A 项 m = 1 时二次项系数为 0，方程变为 3x − 2 = 0，不是一元二次方程。） 2. B。去括号得 2x² − 6x = 5，移项得 2x² − 6x − 5 = 0，所以 a = 2，b = −6，c = −5。（注意常数项移项后为 −5。） 3. B。Δ = (−4)² − 4×1×4 = 16 − 16 = 0，所以方程有两个相等的实数根。 4. C。把 (−3, 4) 代入 y = ax² 得 4 = a × (−3)² = 9a，所以 a = 4/9。（易错点：把横、纵坐标的位置代入颠倒，或将 (−3)² 误算为 −9 而得 a = −4/9。） 5. B。第一次降价后为 200(1 − x) 元，第二次在此基础上再降 x，得 200(1 − x)² = 128。 6. A。顶点式为 y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)，故顶点是 (3, 1)。 7. C。a = −1 < 0，图象开口向下，所以当 x = −1 时 y 取得最大值 4；对称轴是直线 x = −1。（B 项对称轴写错，D 项“最小值”说法错误。） 8. B。由 x² − 2x − 3 < 0 即 (x + 1)(x − 3) < 0，得 −1 < x < 3。（也可由图象：开口向上，x 轴下方部分在两根之间。） 9. A。Δ = (−2)² − 4m = 4 − 4m > 0，解得 m < 1。 10. C。a < 0 说明抛物线开口向下，与 x 轴交点横坐标为 −1 和 3。结合图象可知，当 −1 < x < 3 时，图象在 x 轴上方，即 y > 0。 【填空题详解】 11. k ≠ 2。二次项系数 k − 2 ≠ 0。（注意：条件是二次项系数不为零，只需 k ≠ 2。） 12. x₁ = 0，x₂ = 5。移项得 x² − 5x = 0，提公因式得 x(x − 5) = 0，所以 x = 0 或 x = 5。（易错：两边同时约去 x，会漏掉根 x = 0。） 13. a = 1。把 x = 0 代入得 0 + 0 + a − 1 = 0，所以 a = 1。（所求 a 值使方程二次项系数为 1 ≠ 0，确为一元二次方程，符合题意。） 14. x = 1。对称轴为直线 x = −b/(2a) = −6/(2×(−3)) = 1。 15. y = (x − 2)² − 3（即 y = x² − 4x + 1）。“右加左减”：向右平移 2 个单位得 y = (x − 2)²；“上加下减”：再向下平移 3 个单位得 y = (x − 2)² − 3。 16. 13。由根与系数的关系得 x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = −2，所以 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 3² − 2×(−2) = 13。 17. 6。令 y = 0：x² − 2x − 3 = 0，解得 x = −1 或 x = 3，所以 A(−1, 0)、B(3, 0)，AB = 4；令 x = 0 得 y = −3，所以 C(0, −3)，OC = 3。S△ABC = 1/2 × 4 × 3 = 6。 18. ③④。设抛物线的表达式为 y = a(x − 1)² + 3（a ≠ 0）。因为图象经过坐标原点 (0, 0)，把 x = 0，y = 0 代入，得 0 = a(0 − 1)² + 3，即 a + 3 = 0，所以 a = −3 < 0。于是 y = −3(x − 1)² + 3 = −3x² + 6x，故 a = −3，b = 6，c = 0。①abc = (−3)×6×0 = 0，故“abc > 0”错误；②4ac − b² = 4×(−3)×0 − 6² = 0 − 36 = −36 < 0，故“4ac − b² > 0”错误；③因为 a = −3 < 0，图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，所以当 x > 1 时 y 随 x 的增大而减小，正确；④关于 x 的方程 ax² + bx + c = 2 即 −3x² + 6x = 2，整理得 3x² − 6x + 2 = 0，Δ = (−6)² − 4×3×2 = 36 − 24 = 12 > 0，所以方程有两个不相等的实数根，正确。综上，正确的是③④。 【解答题详解】 19.（8分） （1）x² − 6x + 5 = 0。 解法一（因式分解法）：左边分解因式，得 (x − 1)(x − 5) = 0，所以 x − 1 = 0 或 x − 5 = 0，即 x₁ = 1，x₂ = 5。 解法二（公式法）：a = 1，b = −6，c = 5，Δ = (−6)² − 4×1×5 = 36 − 20 = 16 > 0，x = (6 ± 4)/2，所以 x₁ = 1，x₂ = 5。 （求出两根即得满分，共4分） （2）2x² − 4x − 1 = 0。 a = 2，b = −4，c = −1，Δ = (−4)² − 4×2×(−1) = 16 + 8 = 24 > 0。 x = (4 ± √24)/4 = (4 ± 2√6)/4 = (2 ± √6)/2。 所以 x₁ = (2 + √6)/2，x₂ = (2 − √6)/2。（4分） 20.（8分） （1）方程有两个相等的实数根，则 Δ = (−4)² − 4×1×m = 16 − 4m = 0， 解得 m = 4。（3分） 此时方程为 x² − 4x + 4 = 0，即 (x − 2)² = 0，所以 x₁ = x₂ = 2。（1分） （2）因为 x = 1 是方程的一个根，把 x = 1 代入，得 1² − 4×1 + m = 0， 即 1 − 4 + m = 0，解得 m = 3。（2分） 此时方程为 x² − 4x + 3 = 0，分解因式得 (x − 1)(x − 3) = 0， 所以方程的另一个根是 x = 3。（2分） 21.（8分） （1）y = x² − 4x + 3 = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1。 所以图象的顶点坐标是 (2, −1)，对称轴是直线 x = 2。（3分） （2）画图要点（3分）： ① 抛物线开口向上，顶点 (2, −1)，对称轴 x = 2； ② 与 x 轴交于 (1, 0)、(3, 0) 两点； ③ 与 y 轴交于 (0, 3)，其关于对称轴的对称点为 (4, 3)； ④ 用平滑曲线顺次连接上述各点，参考图象如下： （3）当 y ≤ 0 时，1 ≤ x ≤ 3。（2分，由图象直接读出；注意 x = 1 和 x = 3 时 y = 0，端点应取到。） 22.（8分） （1）令 y = 0，得 −x² + 2x + 3 = 0，即 x² − 2x − 3 = 0， 分解因式得 (x + 1)(x − 3) = 0，解得 x₁ = −1，x₂ = 3。 所以抛物线与 x 轴交点的坐标是 (−1, 0)、(3, 0)。（3分） （2）令 x = 0，得 y = 3，所以抛物线与 y 轴交点的坐标是 (0, 3)。（2分） （3）抛物线 y = −x² + 2x + 3 的开口向下，对称轴是直线 x = 1。 当 x < 1 时，y 随 x 的增大而增大。因为 x₁ < x₂ < 1，所以 y₁ < y₂。（3分） 23.（8分） （1）售价每上涨 1 元，销售量减少 10 件。当售价为 x 元时， 每天销售量为 200 − 10(x − 40) 件， W = (x − 30) × [200 − 10(x − 40)] = (x − 30)(600 − 10x) = −10x² + 900x − 18000。（3分） （2）W = −10x² + 900x − 18000 = −10(x² − 90x) − 18000 = −10(x − 45)² + 2250。 因为 −10 < 0，抛物线开口向下，所以当 x = 45 时，W 取最大值 2250。 即售价定为每件 45 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 2250 元。（3分） （3）由题意得 −10x² + 900x − 18000 ≥ 2000， 整理得 x² − 90x + 2000 ≤ 0，即 (x − 40)(x − 50) ≤ 0，解得 40 ≤ x ≤ 50。 又题设要求 x 为整数且 x ≥ 40，所以售价 x 的取值范围是 40 ≤ x ≤ 50（x 为整数）。（2分） 24.（8分） 函数 y = x² − 2x + c，Δ = (−2)² − 4×1×c = 4 − 4c。 （1）图象与 x 轴有两个交点，则 Δ > 0，即 4 − 4c > 0，解得 c < 1。（2分） （2）图象与 x 轴只有一个交点，则 Δ = 0，即 4 − 4c = 0，解得 c = 1。（2分） 此时 y = x² − 2x + 1 = (x − 1)²，令 y = 0 得 x = 1，所以交点的坐标是 (1, 0)。 （3）图象与 x 轴没有交点，则 Δ < 0，即 4 − 4c < 0，解得 c > 1。（1分） 因为 a = 1 > 0，抛物线开口向上，所以函数有最小值。 配方得 y = (x − 1)² + c − 1，当 x = 1 时，y 取最小值 c − 1。（3分） 25.（8分） （1）垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为 (40 − 2x) 米。 所以 S = x(40 − 2x) = −2x² + 40x。 由实际意义知 x > 0 且 40 − 2x > 0，解得 0 < x < 20， 即自变量 x 的取值范围是 0 < x < 20。（4分） （2）S = −2x² + 40x = −2(x² − 20x) = −2(x − 10)² + 200。 因为 −2 < 0，抛物线开口向下，所以当 x = 10 时，S 取最大值。 而 x = 10 满足 0 < x < 20，符合实际意义。 所以当 x = 10 米时，矩形大棚的面积最大，最大面积是 200 平方米。（4分） 26.（10分） （1）令 y = 0，得 x² − 2x − 3 = 0，分解因式得 (x + 1)(x − 3) = 0， 解得 x = −1 或 x = 3。因为点 A 在点 B 的左侧，所以 A(−1, 0)，B(3, 0)。 令 x = 0，得 y = −3，所以 C(0, −3)。（3分） （2）设直线 BC 的表达式为 y = kx + b。 把 B(3, 0)、C(0, −3) 代入，得 3k + b = 0 且 b = −3，解得 k = 1，b = −3。 所以直线 BC 的表达式为 y = x − 3，即 x − y − 3 = 0。 设点 P 的坐标为 (m, m² − 2m − 3)。 点 P 到直线 BC 的距离为 d = |m − (m² − 2m − 3) − 3| / √2（√(1² + (−1)²) = √2） = |−m² + 3m| / √2。 因为 B(3, 0)、C(0, −3)，所以 BC = √(3² + 3²) = 3√2。 S△PBC = 1/2 × BC × d = 1/2 × 3√2 × |−m² + 3m| / √2 = (3/2)|−m² + 3m|。 因为点 P 在第一象限且在 x 轴上方，所以 m > 0 且 m² − 2m − 3 > 0； 由 m² − 2m − 3 > 0 得 (m + 1)(m − 3) > 0，即 m < −1 或 m > 3。 结合 m > 0，得 m > 3，此时 −m² + 3m < 0，所以 |−m² + 3m| = m² − 3m。 由 (3/2)(m² − 3m) = 6 得 m² − 3m = 4，即 m² − 3m − 4 = 0， 分解因式得 (m + 1)(m − 4) = 0，解得 m = −1（舍去）或 m = 4。 当 m = 4 时，m² − 2m − 3 = 16 − 8 − 3 = 5，且 4 > 3、5 > 0，符合题设。 所以点 P 的坐标为 (4, 5)。（6分） （3）△PBC 面积的最大值是 27/8，此时点 P 的坐标是 (3/2, −15/4)。（1分） 【附：推证过程】设 P(m, m² − 2m − 3)。由（2）知 S△PBC = (3/2)|−m² + 3m|。 题设要求 P 在直线 BC 下方，即点 P 的纵坐标小于直线 BC 上对应点的纵坐标： (m² − 2m − 3) − (m − 3) = m² − 3m < 0，解得 0 < m < 3。 此时 −m² + 3m > 0，所以 S△PBC = (3/2)(−m² + 3m) = −(3/2)(m − 3/2)² + 27/8。 因为 −3/2 < 0，所以当 m = 3/2 时 S△PBC 取最大值 27/8， 此时 m² − 2m − 3 = 9/4 − 3 − 3 = −15/4，即 P(3/2, −15/4)。 （注：题设限定 P 在直线 BC 下方后，m 的取值范围是 0 < m < 3，此时 S△PBC 是关于 m 的开口向下的二次函数，故有最大值；若不加“P 在直线 BC 下方”这一条件，S△PBC = (3/2)|−m² + 3m| 会随 |m| 无限增大而无最大值，题目将不成立。） 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西部乡镇十月份九年级数学月考卷 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 答题时间：120分钟 总分：120分 学校：______________ 班级：________ 姓名：__________ 考号：____________ 考试说明：本试卷共三道大题，满分120分。答题前请仔细阅读题目，请将答案写在相应位置，写在试卷上的答案无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1. 若关于 x 的方程 (m − 1)x² + 3x − 2 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m = 1 B. m ≠ 1 C. m > 1 D. m < 1 2. 把一元二次方程 2x(x − 3) = 5 化为一般形式 ax² + bx + c = 0（a > 0），则 a、b、c 的值分别是（ ） A. 2，−6，5 B. 2，−6，−5 C. 2，6，−5 D. 2，−1，−5 3. 一元二次方程 x² − 4x + 4 = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 若点 P(−3, 4) 在二次函数 y = ax² 的图象上，则 a 的值是（ ） A. 4/3 B. −4/3 C. 4/9 D. 9/4 5. 某商品原价每件 200 元，经过连续两次降价后售价为每件 128 元。若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，则可列方程（ ） A. 200(1 + x)² = 128 B. 200(1 − x)² = 128 C. 200(1 − 2x) = 128 D. 200(1 − x²) = 128 6. 抛物线 y = 2(x − 3)² + 1 的顶点坐标是（ ） A. (3, 1) B. (−3, 1) C. (3, −1) D. (−3, −1) 7. 关于二次函数 y = −(x + 1)² + 4，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 x = 1 C. 当 x = −1 时，y 有最大值 4 D. 当 x = −1 时，y 有最小值 4 8. 已知抛物线 y = x² − 2x − 3，则当 y < 0 时，x 的取值范围是（ ） A. x < −1 或 x > 3 B. −1 < x < 3 C. x < −3 或 x > 1 D. −3 < x < 1 9. 关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. m < 1 B. m > 1 C. m ≤ 1 D. m ≥ 1 10. 已知二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向下，且经过点 A(−1, 0)、B(3, 0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是（ ） A. x < −1 B. x > 3 C. −1 < x < 3 D. x < −1 或 x > 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若关于 x 的方程 (k − 2)x² − 3x + 1 = 0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是__________。 12. 一元二次方程 x² = 5x 的解是__________。 13. 已知关于 x 的一元二次方程 x² + 2x + a − 1 = 0 的一个根是 0，则 a 的值是__________。 14. 抛物线 y = −3x² + 6x − 1 的对称轴是直线__________。 15. 把抛物线 y = x² 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的函数关系式为__________。 16. 已知一元二次方程 x² − 3x − 2 = 0 的两个实数根分别为 x₁、x₂，则 x₁² + x₂² 的值是__________。 17. 已知抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，则△ABC 的面积是__________。 18. 已知二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示，其顶点为 (1, 3)，且经过坐标原点，则下列结论：①abc > 0；②4ac − b² > 0；③当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小；④关于 x 的方程 ax² + bx + c = 2 有两个不相等的实数根。其中正确的是__________（只填序号）。 三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 19.（本题8分）解下列一元二次方程： （1）x² − 6x + 5 = 0； （2）2x² − 4x − 1 = 0。 20.（本题8分）已知一元二次方程 x² − 4x + m = 0。 （1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值，并求出此时方程的根； （2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根。 21.（本题8分）已知二次函数 y = x² − 4x + 3。 （1）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）在下面给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象（只要求画出图象，不必列表）； （3）根据图象直接写出：当 y ≤ 0 时，x 的取值范围。 22.（本题8分）已知抛物线 y = −x² + 2x + 3。 （1）求该抛物线与 x 轴交点的坐标； （2）求该抛物线与 y 轴交点的坐标； （3）若点 M(x₁, y₁)、N(x₂, y₂) 都在该抛物线上，且 x₁ < x₂ < 1，请直接比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 23.（本题8分）某商店销售一种进价为每件 30 元的商品，市场调查发现：当售价定为每件 40 元时，每天可卖出 200 件；售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件。设售价定为每件 x 元（x 为整数，且 x ≥ 40），每天获得的利润为 W 元。 （1）求 W 与 x 之间的函数关系式； （2）当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若商店要求每天获得的利润不低于 2000 元，求售价 x 的取值范围。 24.（本题8分）已知二次函数 y = x² − 2x + c。 （1）若该函数图象与 x 轴有两个交点，求 c 的取值范围； （2）若该函数图象与 x 轴只有一个交点，求 c 的值，并求出这个交点的坐标； （3）若该函数图象与 x 轴没有交点，则当自变量 x 取何值时，函数 y 有最小值？并求出这个最小值（用含 c 的式子表示）。 25.（本题8分）某蔬菜种植基地计划在一边靠墙（墙足够长，可使用），另外三边用栅栏围成一个矩形蔬菜大棚。已知栅栏的总长为 40 米，设垂直于墙的一边长为 x 米，矩形大棚的面积为 S 平方米。 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，矩形大棚的面积最大？最大面积是多少平方米？ 26.（本题10分）综合与探究 已知抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）点 P 是该抛物线在第一象限内的一个动点。若△PBC 的面积为 6，求点 P 的坐标； （3）点 P 是该抛物线上位于直线 BC 下方的一个动点（即点 P 的纵坐标小于它在直线 BC 上对应点的纵坐标）。当△PBC 的面积最大时，求△PBC 面积的最大值，并直接写出此时点 P 的坐标。 评分说明：解答题须写出必要的推理与演算过程；只写结果不写过程的，酌情扣分。严格对标大庆市中考阅卷标准。 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $