第十章 整式的加减（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

第十章 整式的加减　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 整式 1.1 单项式的定义 数和字母的乘积叫作单项式。 示例：、、、、 都是单项式。 注意：单独一个数或一个字母也是一个单项式。 示例：、、 都是单项式。 1.2 单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 示例： 的系数是 ； 的系数是 ； 的系数是 。 1.3 单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 示例：、、、、 的次数分别为 、、、、。 注意：特别地，非零的数是零次单项式，如 、 都是零次单项式。 1.4 同类项 对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项。 示例： 与 是同类项； 与 不是同类项。 1.5 整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式。整式也叫作多项式。 示例： 是由 、 和 三个单项式求和得到的整式。 注意：单项式也是整式。 2. 合并同类项 2.1 合并同类项的定义 把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项。 示例：。 2.2 合并同类项的法则 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变。 示例：。 2.3 整式的项、常数项、次数与几项式 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。 示例： 的次数为 ，有 项，所以称为二次三项式；其中 是二次项， 是一次项， 是常数项。 2.4 升幂排列与降幂排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列。按 的指数从大到小的顺序排列，称为按 降幂排列；按 的指数从小到大的顺序排列，称为按 升幂排列。 示例： 按 降幂排列为 。 3. 整式的加法和减法 3.1 整式加减的法则 几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就得到这几个整式相加减的运算结果。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 单项式的次数只看字母，不看数字因数 单项式的次数是各字母指数的和，数字因数（系数）不参与次数计算。如 的次数是 （不是 ）， 的次数是 。 1.2 系数为 或 时省略不写 系数是 或 时，“” 省略不写，只保留字母；判断系数时要把省略的 补回来。如 的系数是 ， 的系数是 。 1.3 同类项满足”两同”，与系数、字母顺序无关 同类项须”所含字母相同、相同字母的指数也相同”，与系数大小无关、与字母排列顺序无关。如 与 是同类项， 与 不是同类项。 1.4 整式的次数由最高次项决定 整式的次数等于次数最高项的次数，而不是各项次数之和。如 的次数是 ，不是 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断同类项的步骤 先看所含字母是否完全相同，再看相同字母的指数是否分别相同；两个条件同时满足才是同类项。如 与 ：字母都是 、，且 、 的指数分别相同，是同类项。 2.2 合并同类项的步骤 先标出同类项，再把同类项的系数相加作新系数，字母和字母的指数不变。如 。 2.3 整式加减的步骤 先去括号（括号前是负号时括号内各项都变号），再合并同类项。如 。 2.4 先化简，再求值 含字母的整式求值，应先合并同类项化简，再代入求值，减少计算量、降低出错率。如 ，再代入 得 。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 去括号变号 括号前是负号，去括号时括号内各项都变号 带符号合并 合并同类项时，每项连同前面的符号一起移动 先化简再求值 求值前先合并同类项，避免复杂代入 ，再代入 整体合并 相同的式子可看作整体进行合并 4. 常见考试模型 4.1 不含某项 / 与某个字母无关 公式：合并同类项后，令某一项的系数为 ，即可使该项消失，整式不含该项。 限定：先合并同类项，再令目标项的系数为 列方程求解。 示例：如 不含 的一次项和二次项，则 且 ，得 ，。 4.2 绝对值非负性求值 公式：若 ，则 且 。 限定：绝对值非负，两个非负数之和为 ，当且仅当每个都为 。 示例：如 ，则 且 ，得 ，，再代入整式求值。 4.3 求整式（和差逆运算） 公式：已知 与某整式的和为 ，则该整式 ；已知 与某整式的差为 ，则该整式 。 限定：分清”和”还是”差”，注意运算顺序和括号。 示例：如已知 与某整式的和是 ，则所求整式 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：单项式的次数把数字因数的指数也算进去 典例：单项式 的次数是____。 错解：把 中的指数 也算进去，次数为 。 正解：单项式的次数是所有字母的指数的和，与数字因数 的指数无关，次数 。 原因：概念理解错误。学生把”所有字母的指数的和”误记成”所有指数的和”，把数字因数中的指数也算进去。要抓住”次数只看字母、不看数字”这一关键，先圈出字母部分再对其指数求和。 易错点 2：系数为 或 时漏写、漏判断 典例：单项式 的系数是____。 错解： 没有数字因数，所以系数是 （或空着不写）。 正解：，所以系数是 。 原因：忽略隐含条件。系数为 或 时省略不写是书写约定，但系数本身仍然存在。学生把”省略不写”误当成”没有”，导致系数填 或漏填。凡字母前无数字，都要补出隐含的系数 或 。 易错点 3：判断同类项时只看字母、忽略指数 典例：判断 与 是不是同类项。 错解：两者都含字母 、，所以是同类项。 正解： 中 的指数是 、 的指数是 ； 中 的指数是 、 的指数是 ，相同字母的指数不相同，所以不是同类项。 原因：忽略隐含条件。同类项要求”字母相同”和”相同字母的指数相同”两个条件同时满足，学生只记得”字母相同”而漏掉了”指数相同”。判断时要逐字母核对指数，不能只看字母种类。 易错点 4：去括号时括号前是负号，漏变号 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：符号处理失误。去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要改变符号；学生往往只变第一项、漏掉后面的项。去括号后要逐项检查符号，尤其是最后一项最容易漏变。 易错点 5：整式的次数误求为各项次数之和 典例：整式 的次数是____。 错解：次数 。 正解：次数最高项是 ，其次数为 ，所以整式的次数是 。 原因：概念理解错误。整式的次数是”次数最高项的次数”，不是各项次数之和。学生混淆了”单项式次数（各字母指数之和）“与”整式次数（最高次项的次数）“这两个概念。 学科网（北京）股份有限公司 $