专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+5种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+5种题型解读） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 2、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【清单06】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】因式分解的意义（共4小题） 【例1】（2023秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是　　 A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋•奉贤区期中）下列从左到右变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•宝山区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋•普陀区期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【考点题型二】因式分解-提公因式法（共6小题） 【例2】（2024•青浦区二模）分解因式：　 　． 【变式2-1】（2023秋•松江区校级期中）因式分解：． 【变式2-2】．（2022秋•嘉定区期中）因式分解： 【变式2-3】（2022秋•青浦区期中）因式分解：． 【变式2-4】（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：． 【变式2-5】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【考点题型三】因式分解-运用公式法（共7小题） 【例3】（2023秋•宝山区期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2024•奉贤区二模）因式分解：　 　． 【变式3-2】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【变式3-3】（2023秋•宝山区校级月考）分解因式：． 【变式3-4】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：． 【变式3-5】（2022秋•青浦区校级期末）分解因式：． 【变式3-6】（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：． 【考点题型四】因式分解-分组分解法（共8小题） 【例4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【变式4-1】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【变式4-2】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【变式4-3】（2023秋•金山区期末）因式分解：． 【变式4-4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【变式4-5】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：． 【变式4-6】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【变式4-7】（2023秋•崇明区期末）分解因式：． 【考点题型五】因式分解-十字相乘法等（共8小题） 【例5】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　 　． 【变式5-1】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：　 　． 【变式5-2】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：． 【变式5-3】（2023秋•普陀区校级期中）分解因式：． 【变式5-4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【变式5-5】（2023秋•普陀区期末）因式分解：． 【变式5-6】（2022秋•上海期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多个项的整式添上某些项，使添项后的整式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多个项的整式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个整式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式：（1）； （2）． 【变式5-7】（2022秋•长宁区校级期中）阅读：分解因式． 解：原式， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+5种题型解读） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 2、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【清单06】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】因式分解的意义（共4小题） 【例1】（2023秋•浦东新区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解的定义和要求判断即可． 【解答】解：因式分解是将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积。 ，不合题意． ． 不合题意． ． 符合题意． 故选：． 【点评】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义和要求是求解本题的关键． 【变式1-1】（2023秋•奉贤区期中）下列从左到右变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：与不相等，则不符合题意； ，它是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； 符合因式分解的定义，则符合题意； ，它是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1-2】（2023秋•宝山区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，是乘法运算，不是因式分解，则不符合题意； ，符合因式分解的定义，则符合题意； ，等式的左边不是一个多个项的整式，它不是因式分解，则不符合题意； ，等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•普陀区期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、不是一个多个项的整式，故不符合题意； 、多个项的整式化为几个次数更低的整式的积的形式，故符合题意； 、是整式的乘法，故不符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故不符合题意； 故选：． 【考点题型二】因式分解-提公因式法（共6小题） 【例2】（2024•青浦区二模）分解因式：　 　． 【分析】直接提取公因即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有直接提公因式法，公式法，十字相乘法等． 【变式2-1】（2023秋•松江区校级期中）因式分解：． 【分析】把提公因式，即可作答． 【解答】解： ． 【变式2-2】．（2022秋•嘉定区期中）因式分解： 【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键． 【变式2-3】（2022秋•青浦区期中）因式分解：． 【分析】用提公因式法分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算． 【变式2-4】（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：． 【分析】根据提公因式法分解因式求解即可 【解答】解： ． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． 【变式2-5】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【分析】先提取公因式，合并后再提取公因式2即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【考点题型三】因式分解-运用公式法（共7小题） 【例3】（2023秋•宝山区期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式进行因式分解分别判断即可． 【解答】解：不能进行因式分解， 故不符合题意； 不能因式分解， 故不符合题意； ， 故符合题意； 不能因式分解， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式3-1】（2024•奉贤区二模）因式分解：　 　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 【变式3-2】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【分析】先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解． 【解答】解：原式， ， ， ． 【点评】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 【变式3-3】（2023秋•宝山区校级月考）分解因式：． 【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键． 【变式3-4】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：． 【分析】先利用平方差公式，再利用提公因式法进行因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式3-5】（2022秋•青浦区校级期末）分解因式：． 【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底． 【变式3-6】（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：． 【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键． 【考点题型四】因式分解-分组分解法（共8小题） 【例4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【分析】把后三项分为一组，再利用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是因式分解分组分解法，熟记完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式4-1】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【分析】先把前三项作为一组，提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是因式分解分组分解法，熟知因式分解的各种方法是解题的关键． 【变式4-2】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：． 【分析】先把各式分组，再提取公因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的分组分解法是解题的关键． 【变式4-3】（2023秋•金山区期末）因式分解：． 【分析】先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案． 【解答】解：原式， ， ． 【点评】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 【变式4-4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【分析】直接将原式分组，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 【变式4-5】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：． 【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是利用分组分解法分解因式，熟练的分组是解本题的关键． 【变式4-6】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【分析】先提公因式，再三、一分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和分组分解法是解决本题的关键． 【变式4-7】（2023秋•崇明区期末）分解因式：． 【分析】前两项用平方差公式分解后提取公因式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】考查了分组分解法分解因式；前后两项分别组合是关键． 【考点题型五】因式分解-十字相乘法等（共8小题） 【例5】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：　 　． 【分析】运用方法进行求解． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式的因式分解能力，关键是能准确理解并运用十字相乘法进行求解． 【变式5-1】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：　 　． 【分析】二次三项式常数项12分为，利用完全平方公式变形后，再利用平方差公式分解即可得到结果． 【解答】解： （2） ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键． 【变式5-2】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：． 【分析】先根据完全平方公式分解因式，再次根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：分解因式的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等． 【变式5-3】（2023秋•普陀区校级期中）分解因式：． 【分析】把看成一个整体，先利用十字相乘法，再利用十字相乘法和完全平方公式分解． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的十字相乘法和完全平方公式是解决本题的关键． 【变式5-4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【分析】直接利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法是关键． 【变式5-5】（2023秋•普陀区期末）因式分解：． 【分析】把看成一个整体，利用十字相乘法分解，然后利用十字相乘法和完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底． 【变式5-6】（2022秋•上海期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多个项的整式添上某些项，使添项后的整式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多个项的整式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个整式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式：（1）； （2）． 【分析】仿照题例：（1）加上再减去，先利用完全平方公式再利用平方差公式； （2）加上再减去，先利用完全平方公式再利用平方差公式． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，理解题例，掌握完全平方公式和平方差公式是解决本题的关键． 【变式5-7】（2022秋•长宁区校级期中）阅读：分解因式． 解：原式， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了因式分解，看懂题例，掌握题例方法是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$