第十一章整式的乘除（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

第11章 整式的乘除　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 同底数幂的乘法 1.1 乘方的概念与幂 一般地，将 个 相乘的运算叫作乘方，（ 个 ）记作 ，乘方的结果叫作幂。在 中， 叫作底数，正整数 叫作指数。 读作“ 的 次方”，当 被看作是 的 次方的结果时，也读作“ 的 次幂”。当 时，我们规定：。 示例：，读作“ 的立方”或“ 的三次方”，其中 是底数， 是指数。 1.2 同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：（、 是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算。 示例：；。 注意：一般地，（、、 都是正整数）。 示例：。 2. 幂的乘方 2.1 幂的乘方性质 幂的乘方性质：（、 是正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算。 示例：；。 3. 积的乘方 3.1 积的乘方性质 积的乘方性质：（ 是正整数）。积的乘方，等于乘方的积。 示例：；。 4. 整式的乘法 4.1 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。 示例：。 4.2 单项式乘整式 单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 4.3 整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 5. 平方差公式 5.1 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差。平方差公式：。 示例：；。 图1：平方差公式的几何解释 注意：满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果。 示例：。 6. 完全平方公式 6.1 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍。完全平方公式：，。 示例：；。 图2：完全平方公式的几何解释 注意：对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写出运算结果。平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式。 7. 同底数幂的除法 7.1 同底数幂的除法性质 同底数幂的除法性质：（、 是正整数且 ，）。同底数幂相除，底数不变，指数相减。同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算。 示例：；。 7.2 零指数幂 （），即任何不等于零的数的零次幂都等于 。 示例：；。 注意：在本章中进行除法运算时，总是默认除数不为零。 8. 整式的除法 8.1 单项式除以单项式 两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除。 示例：。 8.2 整式除以单项式 整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 幂的符号规律 （ 为正整数），负数的偶次幂是正数；，负数的奇次幂是负数。如 ，。 1.2 底数互为相反数的幂 ，偶次方与底数的符号无关；，奇次方变号。如 ，。 1.3 逆用幂的运算性质 ，，。用来把指数化相同、底数化相同，简化计算或比较大小。如 。 1.4 幂的大小比较 底数相同（底数大于 ）时，指数大的幂较大；底数相同（ 底数 ）时，指数大的幂较小；指数相同时，底数大的幂较大（底数为正）。优先化为同底数或同指数再比较。如比较 、、：，，，故 。 1.5 完全平方公式的常用变形 ；；。 1.6 平方差公式的变形与推广 （由平方差公式用等式性质变形得到，便于心算）；（把前两项看作一个整体）；连续使用平方差公式，如 。 1.7 三项式的完全平方 。如 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 幂的混合运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的；同级运算按顺序或用同底数幂的性质先合并。底数是负数、分数或单项式时，先加括号再乘方。如 。 2.2 乘法公式的识别与套用 观察式子的结构：两项的和与这两项的差相乘，用平方差公式；两数（式）和或差的平方，用完全平方公式。先分清“相同的项”与“互为相反数的项”，再套公式。如 。 2.3 用乘法公式简便计算 把接近整十、整百、整千的数拆成整数部分与零头部分，套用公式心算。如 ；。 2.4 求代数式的值 先化简（去括号、合并同类项），再代入求值；能整体代入的用整体代入，减少计算量和符号错误。如已知 ，，则 。 2.5 完全平方式与待定系数 形如 （ 为正数）是完全平方式的条件是 。如 ，则 ，解得 或 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 符号先定 单项式相乘除先定符号（负因式个数为奇则负、为偶则正），再算绝对值 ； 凑整套公式 接近 、 的数拆成整数部分与零头部分，套平方差或完全平方公式 整体代换 相同底数式（如 ）看作一个整体，套用幂运算性质或乘法公式 先化简再代入 求值先化简，减少代入计算量，避免符号出错 ， 时 配凑公式 缺项时补凑中间项，构造完全平方或平方差形式 4. 常见考试模型 4.1 “知二求二”模型 公式：，（、 为任意实数）。 限定：先确认已知的两个量的值，再整体代入。 示例：如 ，，则 ，。 4.2 图形面积与乘法公式模型 公式：剩余（阴影）面积 大图形面积 小图形面积，列式后套乘法公式化简。 限定：边长、半径等为正，如边框宽 须满足 ，不合题意的根舍去。 示例：如长 、宽 的相框四周留宽 的边，中间小长方形的面积为 。 4.3 完全平方式模型（待定系数） 公式：（）是完全平方式时，。 限定：一次项系数 有两个取值（一正一负），成对写出，不能漏。 示例：如 是完全平方式，则 ， 或 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：同底数幂相乘，指数误作相乘 典例：计算 的结果。 错解：。 正解：。 原因：混淆了两条幂运算性质。 是同底数幂的乘法，指数相加； 才是幂的乘方，指数相乘。学生看到“两个幂相乘”就条件反射把指数相乘，本质是没有抓住“底数相同且是乘法 指数相加”“幂的乘方 指数相乘”这两个判断点。 易错点 2：积的乘方，漏乘系数或字母 典例：计算 的结果。 错解：。 正解：。 原因：漏乘了系数。积的乘方要求“每个因式”都分别乘方， 中的系数 和字母 都要平方。学生往往只乘方字母、漏掉系数，或只乘方系数、漏掉字母，根源是对“积的乘方，等于乘方的积”理解不到位，把 当成了 。 易错点 3：完全平方公式漏掉中间项 典例：计算 的结果。 错解：。 正解：。 原因：漏了 这一项。学生受积的乘方 的负迁移，误以为“和的平方等于平方的和”。 是 展开再合并同类项的结果，共三项，交叉项 不可丢。同理 ，中间项是负的 。 易错点 4： 与 符号混淆 典例：计算 与 的结果。 错解：；。 正解：；。 原因：分不清负号是否在底数内。 表示“ 的相反数”，负号在乘方之外，结果是负的； 表示“ 的平方”，负号参与乘方，结果是正的。判断口诀：负号在括号内才参与乘方，在括号外只看作符号不参与。 易错点 5：底数互为相反数的幂，符号处理失误 典例：化简 。 错解：。 正解：因为 与 互为相反数，，所以 （或写成 ）。 原因：漏了底数不同这一前提。同底数幂的乘法要求底数完全相同； 与 互为相反数，不是同底数，不能直接指数相加。应先把底数统一（利用偶次幂与底数符号无关、奇次幂变号的结论），再按同底数幂运算。 易错点 6：同底数幂相除，指数误作相除或忽略条件 典例：计算 的结果。 错解：。 正解：（）。 原因：把“同底数幂相除，指数相减”记成了“指数相除”。同底数幂的除法性质 要求 且 ，指数是相减不是相除。同时注意零指数幂 也以 为前提，底数为 时无意义。 学科网（北京）股份有限公司 $