专题03 因式分解（5知识&6题型&2易错）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解（5知识&6题型&2易错） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1.平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2.完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】判断是否是因式分解 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合； B、，符合因式分解的概念，故本选项符合； C、，该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、，该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是几个整式的积的形式化为一个多项式，是整式的乘法，不符合题意； B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； B、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； C、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； D、，从左到右的变形是把多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解． 故选：D 【题型二】公式法因式分解 【例2-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【详解】解： ． 【例2-3】（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【详解】解： ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ． 【题型三】提公因式及其综合公式法分解因式 【例3-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【详解】解：， ， ， ， ． 【例3-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【详解】解： 【变式3-1】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ． 【题型四】十字相乘法 【例4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【例4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【详解】解：原式 ． 【例4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ， ． 【题型五】分组分解法 【例5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【例5-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解： 【例5-4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【详解】解：原式， ， ， ． 【变式5-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【详解】解： ； 【题型六】因式分解的应用 【例6-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等， 可得：，， 解得：，， 故选：C． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【例6-3】（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 【例6-4】（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【详解】（1）解：对多项式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对多项式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 【变式6-1】（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 【变式6-3】（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 【变式6-4】（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式除以多项式，所得的商为． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为． 故答案为：； （3）解：∵多项式分别能被和整除， ∴设，其中A为一次多项式， 当时，， 当时，， 联立解得：， 解得， ∴ ， ∴多项式除以的商为． 故答案为：． 【题型一】因式分解概念理解错误 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B.是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C.右边含分式，不是因式分解，不符合题意； D.是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确； B、是整式的乘法，此项错误； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误； D、是整式的乘法，此项错误， 故选：A． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、24不是一个多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型二】因式分解不彻底致错 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【详解】解： ， ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【详解】解： 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解； ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解（5知识&6题型&2易错） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1.平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2.完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】判断是否是因式分解 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】公式法因式分解 【例2-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【例2-3】（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 【变式2-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【题型三】提公因式及其综合公式法分解因式 【例3-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【例3-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【题型四】十字相乘法 【例4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【例4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【例4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【题型五】分组分解法 【例5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【例5-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【例5-4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【变式5-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【题型六】因式分解的应用 【例6-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【例6-3】（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【例6-4】（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【变式6-1】（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【变式6-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【变式6-3】（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【变式6-4】（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【题型一】因式分解概念理解错误 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】因式分解不彻底致错 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $