第一章有理数（期中知识清单）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 有理数的引入 1.1 正数与负数 像 、、 这样，前面有”“（正）号的数叫作正数；像 、、 这样，前面有”“（负）号的数叫作负数。一个数前面的”““”号是它的符号。正数前面的符号”“通常可以省略不写。 既不是正数，也不是负数。 和正数统称为非负数。 示例：、、 是正数，可分别写作 、、；、、 是负数； 既不是正数，也不是负数。 注意：一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量。例如规定零上温度为”正”，则零上 记作 ，零下 记作 。 1.2 有理数 我们把正整数、负整数和零统称为整数。实际上，所有整数都可以写成分母为 的分数。 能够写成分数 （、 是整数，）的数叫作有理数。 自然数是整数的一部分，整数是有理数的一部分。 示例：，，；、 都是有理数。 注意：有限小数和无限循环小数都可以写成分数，所以它们也是有理数。 1.3 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示。用数轴上的点表示数，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边。原点（表示 的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点。 示例： 可以用数轴上位于原点右边、距离原点 个单位长度的点表示； 可以用数轴上位于原点左边、距离原点 个单位长度的点表示。 1.4 相反数 只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数。 的相反数是 。 互为相反数的两个数（ 除外）可以用数轴上的两个点表示，这两个点分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。一般地，数 和数 互为相反数，也就是数 的相反数是 ，数 的相反数是 。 示例： 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ；。 1.5 绝对值 数 在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数 的绝对值，记作 。 的绝对值是 ，即 。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 ，即： 的取值 的值 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或 ；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或 。绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数。 示例：，，。 注意：绝对值等于正数 的数有两个，分别是 和 。 1.6 有理数的大小比较 用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 正数大于零，零大于负数，正数大于负数。比较两个负数的大小，绝对值大的那个数反而小。 示例：，，；因为 ，所以 。 2. 有理数的加法与减法 2.1 有理数的加法 有理数的加法法则： 类型 法则 同号两数相加 取原来加数的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为 ；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 任何一个数与 相加 仍得这个数 互为相反数的两个数的和为 。 示例：；；。 加法交换律：。其中 、 表示有理数。 加法结合律：。其中 、、 表示有理数。 示例：。 2.2 有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，可以表示成 。 示例：；。 3. 有理数的乘法与除法 3.1 有理数的乘法 有理数的乘法法则： 类型 法则 同号两数相乘 得正，并把绝对值相乘 异号两数相乘 得负，并把绝对值相乘 任何数与 相乘 积为 几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定。当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正。 示例：；；。 乘法交换律：。 乘法结合律：。 乘法对加法的分配律：。其中 、、 表示有理数。 示例：。 3.2 有理数的除法 如果两个有理数的乘积为 ，那么这两个有理数互为倒数。当 时， 和 互为倒数。 有理数的除法法则：两数相除，除以一个不等于 的数，等于乘这个数的倒数，即 。其中 、 表示有理数，且 不等于 。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 除以任何不为 的数，都得 。 示例：；。 4. 有理数的乘方 4.1 有理数的乘方 我们将 （ 为正整数）个相同乘数 相乘，记作 ，读作” 的 次方”。在 中， 称为底数， 称为指数（当指数 为 时可以省略不写）。 求 个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方。 正数的任何次方都是正数；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数。 示例：；；。 注意： 与 的意义不同。 表示 的相反数，即 ； 表示 的 次方，即 。 5. 有理数的混合运算 5.1 有理数的混合运算 有理数的混合运算，可以按照以下顺序进行：先算乘方，再算乘除，最后算加减。同级运算，从左到右进行。如果有括号，先进行括号内的运算。 括号前带负号，去掉负号和括号后，原括号内各数要变号，即 ，。 示例：（先算括号内，再算乘方，最后算除法）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数、倒数与 的运算特征 若 与 互为相反数，则 ；若 与 互为倒数，则 。 1.2 绝对值的非负性 任何有理数 都有 ，且 时 。绝对值最小的有理数是 。 1.3 由绝对值反推符号 若 ，则 （ 是正数或 ）；若 ，则 （ 是负数或 ）。 1.4 数轴上两点间的距离 数轴上点 、点 所表示的数分别为 、，则 、 两点的距离为 。如点 、点 对应的数分别是 和 ，则两点距离为 。 1.5 有理数乘方的符号速判 设 为正整数，则 （偶数次方为正），（奇数次方为负）。特殊地，，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加减混合运算 先把减法统一化成加法，再按”同号相加、相反数相加得 、能凑整的先结合”简化计算。如 。 2.2 有理数乘除混合运算 先定符号（数出负因数或负除数的个数），再统一化成乘法（除以一个数等于乘它的倒数），最后约分计算。如 。 2.3 有理数混合运算的顺序 按”乘方、乘除、加减”三级进行；同级运算从左到右；有括号先算括号内。如 （乘除同级，从左到右）。 2.4 比较两个负数的大小 先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小。如 与 ：，，因 ，故 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 多重符号化简 负号个数为奇数得负、偶数得正 ， 分数小数互化 混算时统一成分数或小数再算 乘法分配律逆用 ，用于提取公因数 凑整运算 用交换律、结合律先把和为 或积为 的数结合 平方数符号 ；平方等于 的数是 得 或 4. 常见考试模型 4.1 用正负数表示相反意义的量 公式：先规定基准与”正”的方向，则相反方向记作”负”；温差 最高气温 最低气温，水位变化 当日水位 前一日水位。 限定：正负号必须与实际意义对应；求和时把收入记为正、支出记为负。 示例：某地最高气温 、最低气温 ，温差 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略 0 的特殊性，“0 既不是正数，也不是负数” 典例：判断：“正数和负数统称为有理数。”这个说法正确吗？ 错解：正确。 正解：错误。有理数分为正有理数、零、负有理数三类，“正数和负数”漏掉了 ； 既不是正数，也不是负数。 原因：概念理解错误，忽略了 的特殊地位。学生习惯把”数”二分成正数和负数，遗漏了 这个既不正也不负的特殊数。有理数的分类必须是”正有理数、零、负有理数”三类（或”整数、分数”两类），不能漏掉 。 易错点 2：“” 不一定是负数 典例：判断：当 是有理数时， 一定是负数。 错解：正确。因为 前面有负号，所以它是负数。 正解：错误。 表示 的相反数，它的正负取决于 的符号：当 时，；当 时，；当 时，。 原因：符号处理的惯性思维。学生看到”“就本能地把它等同于负数，忽略了”“表示” 的相反数”的代数意义。字母可以表示任意有理数，“”既可能是正数、负数，也可能是 。 易错点 3：绝对值等于它本身的数，漏掉 0 典例：若 ，则 是什么数？ 错解： 是正数。因为绝对值等于它本身的数是正数。 正解： 是正数或 （即 ，非负数）。同理，若 ，则 是负数或 （非正数）。 原因：遗漏 的边界情况。学生把”绝对值等于它本身的数是正数”当结论，忘了 ， 也满足条件。凡由绝对值性质反推符号，都要补上 这一特例。 易错点 4： 与 的底数识别错误 典例：计算 和 。 错解：，（或两者都等于 ）。 正解：；。 表示” 的相反数”，底数是 ； 表示” 的 次方”，底数是 。 原因：底数识别错误。学生不清楚乘方中负号是否包含在底数里：不带括号时，负号在底数之外，先算乘方再取相反数；带括号时，负号随底数一起参与乘方。 易错点 5：异号两数相加取错符号 典例：计算 。 错解：（或 ）。 正解：。异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 原因：加法法则记忆混乱。学生把”同号相加（绝对值相加）“与”异号相加（绝对值相减）“弄混，或符号取错。异号相加的本质是”抵消”：绝对值大的数占上风，符号跟它，绝对值相减。 易错点 6：同级运算应从左到右，先乘除再加减的层级记错 典例：计算 。 错解：。 正解：。乘、除是同级运算，应按从左到右的顺序计算。 原因：运算顺序错误。学生误以为”先乘后除”，把 先算。有理数混合运算中，乘、除同级，须从左到右；只有”乘方、乘除、加减”才是三级递减的顺序。 学科网（北京）股份有限公司 $