第一章二次函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

第1章 二次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 二次函数的意义 1.1 二次函数的定义 我们把形如 （其中 ，， 是常数，且 ）的函数叫作二次函数，称 为二次项系数， 为一次项系数， 为常数项。 示例： 是二次函数，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ； 是一次函数，不是二次函数。 注意：定义中的二次项系数 是二次函数成立的关键条件；当 时， 就退化为一次函数（或常数函数），不再是二次函数。 1.2 自变量的取值范围 二次函数 （，， 为常数，）的自变量 的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义。 示例：函数 的自变量 可取全体实数；若长方形的周长为 ，一边长为 ，则另一边长为 ，此时 。 2. 二次函数的图象 2.1 抛物线 二次函数 的图象是一条关于 轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线。像二次函数 的图象这样的曲线叫作抛物线。 图1：二次函数 的图象 抛物线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。例如，抛物线 的顶点是坐标原点，也是图象的最低点。 示例：抛物线 开口向上，关于 轴对称，顶点为 。 2.2 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它关于 轴对称，顶点是坐标原点。当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 影响抛物线的开口大小和方向。 图2：二次函数 、、 的图象 示例： 开口向上，顶点是 ，是图象的最低点； 开口向下，顶点是 ，是图象的最高点。 2.3 二次函数 的图象 函数 （）的图象与函数 的图象只是位置不同，它可由 的图象向右（当 ）或向左（当 ）平移 个单位得到。函数 的图象的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 图3：二次函数 、、 的图象 示例： 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到，顶点为 ，对称轴是直线 。 2.4 二次函数 的图象 函数 （）的图象，可以由函数 的图象先向右（当 ）或向左（当 ）平移 个单位，再向上（当 ）或向下（当 ）平移 个单位得到，顶点是 ，对称轴是直线 。 图4：二次函数 与 的图象 示例： 的图象可由 的图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，顶点为 。 2.5 二次函数 的图象 对于二次函数的一般形式 ，通过变形，可以将其转化为 。 二次函数 的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 。当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 示例： 中 ，，，对称轴是直线 ，顶点坐标为 。 3. 二次函数的性质 3.1 二次函数的性质 二次函数 有以下性质： 的取值 增减性 最大（小）值 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大 当 时， 达到最小值 ，无最大值 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 当 时， 达到最大值 ，无最小值 根据二次函数的表达式，可以求出图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与 轴、 轴的交点坐标等，由此能画出函数的大致图象，并得到这个二次函数的有关性质。 示例：，当 时 取最小值 ；当 时 随 的增大而减小，当 时 随 的增大而增大。 3.2 函数的最大值与最小值 在自变量的取值范围内，函数值满足 （或 ），且等号能成立，我们就说函数有最大值 （或最小值 ）。 示例：函数 ，当 时 ；当 取其他值时 ，所以 是这个函数的最小值。 4. 二次函数与一元二次方程的关系 4.1 图象与 轴的交点和方程的根 二次函数 与一元二次方程 之间有如下关系： 的值 图象与 轴的交点情况 一元二次方程 的根的情况 图象与 轴有两个交点 ， 有两个不相等的实数根 ， 图象与 轴有一个交点 有两个相等的实数根 图象与 轴没有交点 没有实数根 图5：二次函数与 轴交点的三种情况 示例： 中 ，图象与 轴有两个交点 ，，方程 有两个不相等的实数根 ，。 4.2 用图象求方程的解 由以上规律，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解，也可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与 轴（或平行于 轴的直线）的交点坐标。 示例：求方程 的解，就是求二次函数 的图象与 轴交点的横坐标。 5. 二次函数的应用 5.1 用二次函数求实际问题中的最值 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。值得注意的是，由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。 示例：用长为 的铝合金围成矩形窗框，设宽为 ，则长为 ，透光面积 （），当 时面积最大，最大面积为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 二次函数系数与图象的关系 决定开口方向和大小（ 开口向上， 开口向下， 越大开口越小）； 决定图象与 轴交点的纵坐标（交点为 ）；、 共同决定对称轴的位置 （、 同号时对称轴在 轴左侧，异号时在右侧）。 1.2 三种表达式的互化 一般式 、顶点式 （顶点 ）、交点式 （与 轴两交点为 、）可互相转化：一般式配方得顶点式，一般式由两根（或因式分解）得交点式。 1.3 抛物线上点的大小比较 开口向上（）时，点离对称轴越远函数值越大；开口向下（）时相反。比较函数值大小可比较各点横坐标到对称轴的距离，不必代入计算。 【使用提醒】两点在对称轴同侧时可直接用增减性判断，异侧时用”到对称轴的距离”判断。 1.4 抛物线与直线的交点 抛物线 与直线 交点的横坐标，是消去 所得一元二次方程 的解；该方程根的个数就是交点的个数。 1.5 图象平移规律 抛物线平移”左加右减、上加下减”： 相对 ， 换成 （ 右移）实现左右平移，加 （ 上移）实现上下平移；平移只改变顶点位置，不改变开口方向和大小（ 不变）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求二次函数表达式 设出适当形式（已知顶点设顶点式 ；已知与 轴两交点设交点式 ；否则设一般式 ），再把已知点的坐标代入列方程组，解出待定系数。如已知图象顶点 且过点 ，设 ，代入 得 ，故 。 2.2 求顶点坐标与对称轴的两种方法 配方法：把一般式配成 ，直接读顶点 与对称轴 ；公式法：由 得对称轴，再代入求顶点纵坐标（或用 ）。如 ，顶点 ，对称轴 。 2.3 画二次函数大致图象的步骤 先由 定开口方向，求对称轴 与顶点坐标，再求与 轴交点 及与 轴交点（令 解方程），最后用平滑曲线连点成图。画大致图象不必逐点描点，关键点（顶点、与坐标轴交点）即可。 2.4 求最值的规范流程 先求自变量的取值范围（实际问题），再求顶点坐标，判断顶点是否在取值范围内：在范围内则顶点处取最值；不在范围内则结合增减性在端点处取最值。如 ， 时取最小值 。 【使用提醒】实际问题中最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，顶点越界时最值在端点处取得，须回代检验。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方求顶点 ，二次项系数不是 先提取 再配方 ，顶点 平移速记 “左加右减、上加下减”，只改 和常数项， 不变 右移 个单位得 交点个数速判 看 ： 两交点、 一交点、 无交点 ，，与 轴无交点 函数值大小比较 开口向上离对称轴越远值越大，开口向下相反 中， 比 离 远，故函数值更大 求与坐标轴交点 与 轴交点令 得 ；与 轴交点令 解方程 与 轴交于 ，与 轴交于 、 4. 常见考试模型 4.1 最大面积 / 最大利润模型 公式：设自变量为决定尺寸的边长（或售价变化量），由题意列出面积（或利润）关于 的二次函数，配方或利用顶点公式求最值，并回检 是否在取值范围内。 限定：边长、销量须为正，售价一般有上下限，不合题意的根舍去。 示例：如用 篱笆靠墙围矩形，设垂直于墙的边为 ，则面积 （），当 时 最大为 。 4.2 抛物线形（拱桥 / 投篮 / 抛体）建模 公式：以拱形顶点（或对称轴与地面交点）为原点建系，设顶点式 或 ，把已知点的坐标代入求 ，再求所需量。 限定：建系方法不唯一，但应使顶点落在坐标轴上以简化表达式；抛物线开口向下时 。 示例：如拱桥水面宽 、桥洞顶部离水面 ，以顶点为原点建系，设 ，把 代入得 ，即 。 4.3 抛物线上求最值（竖直上抛、斜抛） 公式：竖直上抛 ，当 时达最大高度；落地点（回到地面）由 求根。 限定：，负根舍去；最大高度对应的 须在实际时间范围内。 示例：如 ，当 时最高 ；由 得 ，，故 秒后落回地面。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参数的函数是”二次函数”，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若函数 是关于 的二次函数，求 的值。 错解：由 ，得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“二次函数”的定义包含两个缺一不可的条件：自变量的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着”次数”这个显性条件，忽略了 时二次项 的系数为 、函数退化为一次函数。凡由定义反求参数，都要回代检查二次项系数是否为 。 易错点 2：图象平移方向搞反（“左加右减”记混） 典例：将抛物线 向左平移 个单位后，所得抛物线的表达式是（　　）。 错解：（以为”向左平移”就是 减 ）。 正解：抛物线 向左平移 个单位，得 。 原因：口诀记忆错误。平移规律是”左加右减、上加下减”： 换成 表示图象向左移， 换成 表示向右移，这与直觉”向左用减”相反。可结合顶点坐标理解： 的顶点是 ，正是 的顶点 向左移 个单位，不易记错。 易错点 3：求最值时顶点不在自变量取值范围内 典例：已知二次函数 ，当 时，求 的最大值和最小值。 错解：因为顶点是 ，所以当 时 有最小值 ，无最大值。 正解：顶点横坐标 不在 范围内。函数开口向上，在 上 随 的增大而减小，所以当 时 最大为 ，当 时 最小为 。 原因：忽略自变量取值范围。顶点处取最值的前提是顶点横坐标在自变量的取值范围内；当顶点越界时，最值在范围的端点处取得。学生机械套用”顶点即最值”，没有先把顶点的横坐标与自变量范围对照，也没有结合增减性讨论端点值。 易错点 4：用顶点公式求坐标时符号出错 典例：求抛物线 的顶点坐标。 错解：，，所以 ，顶点横坐标为 。 正解：，，所以顶点坐标为 。 原因：符号处理失误。顶点横坐标公式 中，分母是 而非 ；当 时 ， 为正。学生常漏掉 的负号，把分母当成 计算，得 ，符号正好相反。此外 中 时 为负，代入时须连同符号一起算。计算前先把 、、（含符号）写清，再逐项代入。 易错点 5：“与 轴有交点”与”与 轴有两个交点”混淆 典例：已知二次函数 的图象与 轴有交点，求 的取值范围。 错解：图象与 轴有交点，则 ，即 ，所以 。 正解：图象与 轴”有交点”包括一个交点和两个交点两种情况，应满足 ，即 ，所以 。 原因：概念理解不准确。“有交点”对应判别式 （含 时相切、有一个交点）；“有两个交点”才对应 。学生把”有交点”误当作”有两个交点”，漏掉了 的临界情形 。审题时要先辨清”有交点 / 两个交点 / 没有交点”三种问法与判别式的对应关系。 学科网（北京）股份有限公司 $