第一章三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

第1章 三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识三角形 1.1 三角形的概念与表示 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。三角形用符号”“表示。顶点是 ，， 的三角形记作”“，读作”三角形 “。线段 ， 和 是 的三条边，由相邻两边组成的 ，， 称为三角形的内角，简称三角形的角。 示例： 的三条边是 ，，，三个内角是 ，，。 1.2 三角形三个内角的和 三角形三个内角的和等于 。 示例：在 中，若 ，，则 。 1.3 三角形按内角的大小分类 类别 定义 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形是直角三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 示例：三个内角分别是 ，， 的三角形，因为有一个内角是直角，所以是直角三角形。 1.4 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边。 如图1-3，把 的三个顶点 ，， 的对边 ，， 分别记为 ，，，就有 ，，。 图1-3：三角形的三边关系 示例：三条线段的长分别为 cm， cm， cm，因为 ，所以它们能组成三角形。 1.5 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 示例： 中， 的平分线交 于点 ，线段 就是 的一条角平分线。 1.6 三角形的中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线。 示例： 中， 为 的中点，线段 就是 的 边上的中线。 1.7 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。 示例： 中， 于点 ，线段 就是 的 边上的高线。 2. 定义与命题 2.1 定义 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。 示例：”在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。 2.2 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。 示例：”对顶角相等”“鸟是动物”都是命题；“画一个角等于已知角”没有对事情作出判断，不是命题。 2.3 命题的条件和结论 命题一般由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。这样的命题可以写成”如果……那么……“的形式，其中以”如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 示例：”互为相反数的两个数的和为 “可以改写成”如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 “。 2.4 真命题与假命题 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 示例：”三角形的任意两边之和大于第三边”是真命题；“会飞的动物是鸟”是假命题。 2.5 反例 命题的反例是指具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例。 示例：命题”若 ，则 “是假命题。取 ，，则 ，但 ，所以 与 就是该命题的一个反例。 2.6 基本事实与定理 本书挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实。 用推理的方法判断为正确的命题叫作定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 示例：”两点之间线段最短”“两点确定一条直线”都是基本事实；“对顶角相等”“三角形的任意两边之和大于第三边”都是定理。 3. 证明 3.1 证明 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 示例：证明”三角形三个内角的和等于 “，可过 的顶点 作直线 ，由两直线平行、内错角相等推得结论成立。 3.2 三角形的外角 如图1-15， 是由 的一条边 的延长线和另一条相邻的边 组成的角，这样的角叫作该三角形的外角。 图1-15：三角形的外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论。推论也可以作为推理的依据。 示例：在 中，若 ，，则与 ， 不相邻的外角 。 3.3 证明的表述格式与辅助线 证明几何命题时，表述格式一般是： 1. 按题意画出图形。 1. 分清命题的条件和结论，结合图形，在”已知”中写出条件，在”求证”中写出结论。 1. 在”证明”中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中。辅助线通常画成虚线。 4. 全等三角形 4.1 全等图形 能够重合的两个图形称为全等图形。 示例：边长都是 cm 的两个正方形能够重合，是全等图形。 4.2 全等三角形及其对应元素 能够重合的两个三角形叫作全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫作全等三角形的对应边，互相重合的角叫作全等三角形的对应角。 “全等”用符号”≌“表示。 与 全等，记作” ≌ “，读作”三角形 全等于三角形 “。 注意：用符号”≌“表示两个三角形全等时，常把对应顶点的字母写在对应位置上。 4.3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 示例：若 ≌ ，则 ，，，，，。 5. 三角形全等的判定 5.1 三边分别相等（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（简写成”边边边”或”“）。 示例：在 和 中，若 ，，，则 ≌ （）。 5.2 两边及其夹角分别相等（边角边） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成”边角边”或”“）。 示例：在 和 中，若 ，，，则 ≌ （）。 5.3 两角及其夹边分别相等（角边角） 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成”角边角”或”“）。 示例：在 和 中，若 ，，，则 ≌ （）。 5.4 两角及其中一组等角的对边分别相等（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成”角角边”或”“）。 示例：在 和 中，若 ，，，则 ≌ （）。 5.5 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 示例：房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等都采用三角形结构，以起到稳固的作用。 6. 线段垂直平分线的性质 6.1 线段垂直平分线（中垂线） 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 示例：直线 垂直 于点 ，且 ，则直线 就是线段 的垂直平分线。 6.2 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 示例：直线 是线段 的垂直平分线， 是 上任意一点，则 。 7. 角平分线的性质 7.1 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。 示例：点 在 的平分线上， 于点 ， 于点 ，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 三角形任意两边之差小于第三边 三角形任意两边之差小于第三边，即 ，，。 1.2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角 由”三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可知三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 1.3 直角三角形两锐角互余 直角三角形中，除直角外的两个锐角的和为 ，即直角三角形两锐角互余（由内角和 减去直角 得到）。 1.4 三角形中线平分三角形面积 三角形的一条中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形（等底同高）。 1.5 全等三角形的周长、面积分别相等 两个全等三角形能够重合，所以它们的周长相等、面积相等。 1.6 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 1.7 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【使用提醒】该结论须强调点在”角的内部”；若点在角的外部，到角两边距离相等的点可能在角平分线的反向延长线上。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明两条线段相等的方法 优先看这两条线段是不是一对全等三角形的对应边（由”全等三角形的对应边相等”得），也可用”线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”“角平分线上的点到角两边的距离相等”或”等量代换”。如要证 ，可证 ≌ 。 2.2 证明两个角相等的方法 优先看这两个角是不是一对全等三角形的对应角（由”全等三角形的对应角相等”得），也可用”对顶角相等”“两直线平行，同位角（内错角）相等”“同角（等角）的余角、补角相等”。如要证 ，可证 ≌ 。 2.3 证明两直线平行的方法 由”同位角相等（或内错角相等、同旁内角互补），两直线平行”判定，也可用”平行于同一条直线的两条直线平行”。如证 ，可证 （同位角相等）。 2.4 证明两直线垂直的方法 证两条直线相交所成的角是 （垂直的定义），常利用三角形内角和定理或平角定义推出某个角为 。如证 ，可证 。 2.5 证明两个三角形全等的思路 先在两个三角形中找对应相等的边或角（重点关注公共边、公共角、对顶角、由中点得等线段、由角平分线得等角），再根据已知条件选择 、、、 中的一种。如已知两组边相等，就去找这两组边的夹角或第三边。 2.6 添加辅助线的常用方法 连结两点构造三角形；延长某条线段；过一点作已知直线的垂线或平行线；倍长中线；截长补短。添辅助线后，其作法要写入证明过程，辅助线通常画成虚线。 3. 找全等与识图小技巧 技巧 要点 示例 找公共边 两个三角形有公共边，常作为一组对应边相等 证 ≌ 时，（公共边） 找公共角 两个三角形有公共角，常作为一组对应角相等 证 ≌ 时，（公共角） 找对顶角 两线段相交产生的对顶角相等，常作为对应角 ， 相交于点 ，则 由中点得等线段 中点把线段分成两条相等的线段 是 的中点，则 由角平分线得等角 角平分线把角分成两个相等的角 平分 ，则 由垂直得直角 垂直得 角，两个直角相等 ，则 4. 常见考试模型 4.1 倍长中线模型 公式：延长 的中线 至点 ，使 ，连结 （或 ），则 ≌ （）。 限定：倍长的是”中线”（ 为 中点，故 ），且须利用对顶角 凑齐 的两个条件。 示例：如已知 中 是 边上的中线，倍长 后可得 ≌ ，从而 。 4.2 截长补短模型 公式：在较长的线段上截取一段等于较短的线段（截长），或把较短的线段延长一段等于较长的线段（补短），构造全等三角形，把分散的条件集中到同一条线段上。 限定：截取（或延长）的长度须由题设的等量关系确定，构造后一般用 或 证全等。 示例：如要证 ，可在 上截取 ，再证 （由 ≌ 得）。 4.3 共顶点旋转（手拉手）模型 公式：两个三角形共顶点，且有两组对应边相等、这两组对应边的夹角也相等，则由 判定全等，进而得到第三组边、角相等。 限定：两组边必须是”对应边”，且相等的角必须是这两组对应边的”夹角”。 示例： 与 中，，，，则 ≌ （），。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断三边能否组成三角形时，漏掉”等于”不能组成的情形 典例：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. cm， cm， cm　　B. cm， cm， cm　　C. cm， cm， cm　　D. cm， cm， cm 错解：选 A。误认为 满足”两边之和大于第三边”，所以能组成三角形。 正解：三角形的任意两边之和必须”大于”第三边（严格不等）。A 中 （等于，不满足”大于”），不能组成；B 中 ，不能组成；C 中 ，不能组成；D 中 ，能组成。故选 D。 原因：把”大于”误记成”大于或等于”，忽略了等号。判断时只需把最长边与其余两边之和比较：最长边严格小于其余两边之和才能组成，等于或大于都不能组成。 易错点 2：外角等于”不相邻”两内角之和，误把相邻内角也算进去 典例：如图， 中 ，，求 的外角 的度数。 错解：，误把相邻的内角 当作外角的组成部分。 正解： 是 的外角，它等于与它不相邻的两个内角的和，即 。（也可先由内角和得 ，再由 得 。） 原因：漏看”不相邻”三个字。外角公式”三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”中，“不相邻”是核心限定，学生常把与它相邻的那个内角也算进去。用外角公式前务必先确认哪个内角与它相邻、哪个不相邻。 易错点 3：用”两边及其中一边的对角”（边边角）误判全等 典例：在 和 中，，，，能否判定 ≌ ？ 错解：能。有两边和其中一边的对角对应相等，符合”边边角”（）判定。 正解：不能。判定定理 中的角必须是两边的夹角；“两边及其中一边的对角”（）不能判定两个三角形全等。题中 是 的对角，不是 与 的夹角，所以不能判定全等。 原因：对判定条件记忆不准。 的字母顺序表明角 夹在两边 、 之间，必须是”夹角”；若角是其中一边的”对角”（），两个三角形不一定全等。 易错点 4：全等三角形找错对应边、对应角 典例：已知 ≌ ，写出各组对应边和对应角。 错解：，，，，（把对应顶点 与 、 与 配对）。 正解： ≌ 表示对应顶点是 对 、 对 、 对 ，故对应角为 ，，；对应边为 ，，。 原因：没有按”对应顶点写在对应位置”的规则读符号。全等符号中字母的顺序本身就蕴含对应关系，学生常随意配对或凭自己画的图去猜。解题时应先把对应顶点一一列清，再写对应边、对应角。 易错点 5：角平分线性质中的”距离”必须是垂线段长 典例：如图， 是 的平分线， 于点 ， 于点 ，已知 ，求 。 错解：把 到 、 的任意线段都当成相等，或漏掉 这一条件，直接认为 与 无关。 正解：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的”距离”是点到直线的距离，即垂线段的长。因为 ，，所以 。 原因：把”距离”与”任意线段”混淆。点到直线的距离专指垂线段的长，角平分线性质中”到两边的距离”必须都是垂线段；若没有作垂线，不能直接使用该性质。 易错点 6：举反例时，反例不满足命题的条件 典例：判断命题”如果 ，那么 “的真假，并说明理由。 错解：举 ，，此时 ，所以该命题是假命题。 正解：反例须”具备命题的条件、但不具备命题的结论”。取 ，，则 （满足条件），但 （不满足结论），所以该命题是假命题。 原因：不理解”反例”的定义。反例必须同时满足”具备命题的条件”和”不具备命题的结论”，学生常举条件都不满足的例子，这不能说明命题为假。举反例时应先取满足条件的数，再看结论是否成立。 学科网（北京）股份有限公司 $