专题01 三角形的初步知识（13知识&23题型&3易错&3方法）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形的初步知识（13知识&23题型&3易错&3方法清单） 【清单01】三角形的有关概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC， 读作“三角形ABC”. 【清单02】三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【清单03】三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行分类： 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 有一个内角是直角的三角形是直角三角形 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 【清单04】三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 【清单05】三角形的高、中线、角平分线 ★★★一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. ★★★二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ★★★三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【清单06】定义与命题 一、定义： 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 二、命题定义及其结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 三、命题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 四、基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 【清单07】证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 3、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 4、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 【清单08】三角形的外角 1、三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补. 2、外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 3、三角形外角的其他结论 （1）三角形的外角和为360°. （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 【清单09】全等图形及全等三角形 1、全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 2、全等三角形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 32、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 【清单10】全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【清单11】全等三角形的判定方法 ★★利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ★★利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ★★利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ★★利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 【清单12】线段垂直平分线的性质 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.简称：中垂线. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如下图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 【清单13】角平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 【题型一】三角形有关的概念 【例1】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-2】如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【题型二】三角形的内角和定理 【例2】如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，，，求的度数． 【题型三】三角形的分类 【例3】一个三角形，三个内角度数比是，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式3-1】三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【变式3-2】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【题型四】三角形的三边关系 【例4】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为奇数，求c的值． 【题型五】与三角形的高、中线、角平分线有关的计算 【例5】 如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式5-1】如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【变式5-2】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 【变式5-3】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【题型六】命题的相关概念 【例6】下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【变式6-2】下列命题是假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和为 C．相等的两个角不是同位角，就是内错角 D．两条直线被第三条直线所截，若截得的内错角相等，则截得的同位角相等 【题型七】命题的证明 【例7】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 【变式7-1】求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是边上的中线， ． 求证： ． 证明： 【变式7-2】如图，直线AB，CD，BE，CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明． ①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF；③∠ABE＝∠DCF． 【题型八】三角形外角性质的运用 【例8】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式8-1】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明： ． 【变式8-2】如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． (1)与的数量关系是_________； (2)若，求的度数． 【变式8-3】如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数． （2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数． 【题型九】全等三角形的概念 【例9】下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么对应边AB　 　，BC＝　 　，对应角∠CAB＝　 　，∠B＝　 　． 【变式9-2】如图所示，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边及对应角． 【题型十】利用全等三角形的性质求角度 【例10】如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，若，且，，则（       ） A． B． C． D． 【题型十一】利用全等三角形的性质求线段长 【例11】如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【变式11-1】如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式11-2】如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 【题型十二】利用全等三角形的性质证明 【例12】如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝40°，∠D＝50°，探索线段AD与BC的位置关系．并说明理由． 【变式11-1】已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．证明AF∥DE． 【变式12-1】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【题型十三】 利用SSS证明全等 【例13】如图，，．求证：． 【变式13-1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【变式13-2】如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【题型十四】利用SAS证明全等 【例14】如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式14-1】如图，已知，． 求证：(1)； (2)． 【变式14-2】如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【题型十五】利用ASA证明全等 【例15】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【变式15-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED． 【变式15-2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE． 【题型十六】 利用AAS证明 【例16】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【变式16-1】 如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【变式16-2】如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型十七】添加条件使三角形全等 【例17】如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【变式17-2】）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【变式17-3】如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【题型十八】全等三角形的实际应用 【例18】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 cm． 【变式18-2】如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转90°向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． （1）根据题意，画出示意图； （2）求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 【变式18-1】如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH＝HD），都为2米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的米尺 测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF＝2米，AB＝4米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由； （2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明． 【题型十九】 全等三角形的性质与判定的综合 【例21】如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【变式21-1】如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． (1)试说明：； (2)试说明：． 【变式21-2】在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【题型二十】线段垂直平分线的性质 【例20】 在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【变式20-1】如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式20-2】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 【题型二十一】 作线段的垂直平分线 【例21】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 【变式21-1】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【变式21-2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 【题型二十二】 角的平分线的性质 【例22】 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【变式22-1】已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距 离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【变式22-2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【题型二三十】 角平分线的尺规作图 【例23】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【变式23-2】如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【题型一】三角形角度计算中的“分类讨论思想”与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】已知，在△ABC中，∠C＝30°，AH是BC边上的高，若∠BAH＝40°，则∠BAC＝　 　°． 【变式1-1】在△ABC中，∠B＝20°，AD为BC边上的高，∠DAC＝30°，AE平分∠BAC交BC于点E，则∠DAE等于　 　度． 【变式1-2】在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为　 　． 【题型二】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例2】如图①，已知线段相交于点O，连接，我们把形如图①的图形称之为“对顶三角形”．如图②，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M，N． (1)仔细观察，在图②中有 个以线段为边的“对顶三角形”； (2)如图②，若，，求的度数． 【变式2-1】在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为 　 　； （2）点D在BA，AC边上运动． ①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC； ②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC三者之间的数量关系． 【变式2-2】如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】 （1）的度数为，的度数为； 【问题再探】 （2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论] ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系． 【题型三】三角形折叠中的角度问题 【例3】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为　 　． 【变式3-1】综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【变式3-2】（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【题型一】利用“角平分线”构造全等三角形 【例1】如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【变式1-1】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式1-2】如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 【题型二】利用“截长补短法”构造全等三角形 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E． 求证：AB+CD＝BC． 【变式2-1】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 【变式2-2】截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【题型三】倍长中线模型 【例3】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【变式3-1】【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【变式3-2】综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的初步知识（13知识&23题型&3易错&3方法清单） 【清单01】三角形的有关概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC， 读作“三角形ABC”. 【清单02】三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【清单03】三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行分类： 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 有一个内角是直角的三角形是直角三角形 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 【清单04】三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 【清单05】三角形的高、中线、角平分线 ★★★一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. ★★★二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ★★★三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【清单06】定义与命题 一、定义： 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 二、命题定义及其结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 三、命题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 四、基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 【清单07】证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 3、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 4、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 【清单08】三角形的外角 1、三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补. 2、外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 3、三角形外角的其他结论 （1）三角形的外角和为360°. （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 【清单09】全等图形及全等三角形 1、全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 2、全等三角形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 32、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 【清单10】全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【清单11】全等三角形的判定方法 ★★利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ★★利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ★★利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ★★利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 【清单12】线段垂直平分线的性质 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.简称：中垂线. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如下图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 【清单13】角平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 【题型一】三角形有关的概念 【例1】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 【变式1-1】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 【变式1-2】如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 【题型二】三角形的内角和定理 【例2】如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角和三角形内角和定理，根据方位角的概念求出三角形中相关角的度数，再利用三角形内角和定理即可． 【详解】解：由题意可知平行于，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2-1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式2-2】如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 【题型三】三角形的分类 【例3】一个三角形，三个内角度数比是，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据题意，最大角的度数为，判断是钝角三角形解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类是解题的关键． 【详解】解：根据题意，最大角的度数为， 故三角形是钝角三角形， 故选：B． 【变式3-1】三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 【变式3-2】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角． 根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形． 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【题型四】三角形的三边关系 【例4】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； B、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； C、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； D、∵，∴，，长的三根木棒可以摆成三角形． 故选：D 【变式4-1】将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，进而得该三角形的周长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，，即， ∴该三角形周长， 即该三角形周长， ∴四个选项中，三角形的周长可能是，只有D选项符合， 故选：D． 【变式4-2】如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形边之间的关系是解题的关键． 先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，然后再求其周长的取值范围即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：第三边大于，且小于． 则周长的取值范围是，即． 故选：C． 【变式4-3】已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为奇数，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，c为奇数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：，，是的三边长， ，，， ； （2）∵，， ， 即， c为奇数， ． 【题型五】与三角形的高、中线、角平分线有关的计算 【例5】 如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得△ABC的面积，根据△CDE的面积△ACD的面积，△ACD的面积△ABC的面积计算即可． 【详解】解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2， 即AB﹣AC＝2①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝16， 解得AB＝8， ∴AC＝14﹣AB＝6， ∴AB和AC的长分别为：AB＝8，AC＝6； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴S△ABCAB•AC24， ∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点， ∴S△ACDS△ABC，S△CDE， ∴S△CDES△ABC24＝6． 【变式5-3】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【题型六】命题的相关概念 【例6】下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 【变式6-1】下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【分析】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 【变式6-2】下列命题是假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和为 C．相等的两个角不是同位角，就是内错角 D．两条直线被第三条直线所截，若截得的内错角相等，则截得的同位角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质与判定、对顶角及线段的意义，熟练掌握各个定理是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质与判定、对顶角及线段可进行求解． 【详解】解：A、“两点之间线段最短”是基本的几何公理，是经过大量实践验证的真命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和为”是三角形的基本性质定理，可通过多种方法(如剪拼法、平行线法证明)，是真命题，故不符合题意； C、相等的角有多种情况，除了同位角和内错角，还有对顶角等；对顶角是相等的，但对顶角既不是同位角也不是内错角，所以该命题忽略了对顶角等其他情况，是假命题，故符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出这两条直线平行；再根据“两直线平行同位角相等”，可知同位角相等，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【题型七】命题的证明 【例7】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【变式7-1】求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是边上的中线， ． 求证： ． 证明： 【答案】分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；；证明见解析． 【分析】根据题意，写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，求证即可． 【详解】已知：如图，在中，是边上的中线，分别过点作的垂线，交和的延长线于点、． 求证：． 证明：由题意可得：， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴ 故答案为：分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，命题的已知和求证，解题的关键是理解题意，正确写出已知和求证，并掌握全等三角形的判定方法与性质． 【变式7-2】如图，直线AB，CD，BE，CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明． ①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF；③∠ABE＝∠DCF． 【分析】可以由①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC＝∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC＝∠FCB，可得到∠ABC﹣∠EBC＝∠DCB﹣∠FCB，即有∠ABE＝∠DCF．或者由①③得到②，都是真命题；但是由②③不能得到①，是假命题． 【详解】已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF． 求证：∠ABE＝∠DCF． 证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB， 又∵BE∥CF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠DCB﹣∠FCB， ∴∠ABE＝∠DCF． 已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，∠ABE＝∠DCF． 求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵∠ABE＝∠DCF， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DCB﹣∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵BE∥CF． 已知：如图，BE∥CF，∠ABE＝∠DCF． 求证：AB⊥BC、CD⊥BC， 证明：∵BE∥CF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC+∠ABE＝∠FCB+∠DCF， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD， 但是AB⊥BC、CD⊥BC不一定成立，所以此命题是假命题， 【题型八】三角形外角性质的运用 【例8】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】B． 【分析】根据三角形外角性质得出∠CBD，进而利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠CBD＝50°+60°＝110°， ∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴∠EBD， 故选：B． 【变式8-1】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明： ． 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B+∠BAC＝∠ACD，再由角平分线的定义得出∠ECD（∠B+∠BAC），同理可得∠ECD＝∠E+∠B，进而得出结论． 【详解】证明：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ECD（∠B+∠BAC）， ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ECD＝∠E+∠B， ∴（∠B+∠BAC）＝∠E+∠B， ∴∠E（∠BAC﹣∠B）． 【变式8-2】如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． (1)与的数量关系是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 【变式8-3】如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数． （2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数． 【分析】（1）利用角平分线的意义，及∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E两次外角定理即可求解； （2）设∠E＝α，通过外角定理表示出∠DCE＝3α，通过直角三角形的性质表示出，最后由平角的性质建立关于α的方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝20°， ∴∠DCE＝35°+20°＝55°， ∴∠ACE＝55°， ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝55°+20°＝75°． （2）∵∠B＝2∠E， ∴设∠E＝α，则∠B＝2α， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠DCE＝3α， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝3α， ∵∠ECD＝2∠FAC， ∴， ∵AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴， ∵∠ACF+∠DCE+∠ACE＝180°， ∴， 解得：α＝20°， ∴， ∵∠EAC＝∠B+∠ACF， ∴∠EAC＝60°+40°＝100°． 【题型九】全等三角形的概念 【例9】下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意． C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意； D、圆内两个正方形不能完全重合，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式9-1】如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么对应边AB　 　，BC＝　 　，对应角∠CAB＝　 　，∠B＝　 　． 【分析】根据旋转的性质、结合图形得出即可． 【详解】解：∵把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE， ∴△ACB≌△AED， ∴AB＝AD，BC＝DE，∠CAB＝∠EAD，∠B＝∠D， 故答案为：＝AD，DE，∠EAD，∠D． 【变式9-2】如图所示，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边及对应角． 【分析】由全等三角形的对应顶点、对应边及对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴对应顶点是点A和点A、点B和点D、点E和点C，对应边是AB和AD、BC和DE、AE和AC，对应角是∠B和∠D、∠E和∠C、∠BAC和∠DAE． 【题型十】利用全等三角形的性质求角度 【例10】如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解： ，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 【变式10-1】如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，由三角形全等得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 【变式10-2】如图，若，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质可知，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【题型十一】利用全等三角形的性质求线段长 【例11】如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式11-1】如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是正确解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式11-2】如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 【分析】根据全等三角形的性质得出BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，代入DE＝BD﹣BE求出即可． 【详解】解：∵△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm， ∴BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm， ∴DE＝BD﹣BE＝3（cm）， 故答案为：3． 【题型十二】利用全等三角形的性质证明 【例12】如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝40°，∠D＝50°，探索线段AD与BC的位置关系．并说明理由． 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠D＝50°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB＝90°，根据垂直的定义解答即可． 【详解】解：AD⊥BC． 理由如下：∵△ABC≌△ADE，∠D＝50°， ∴∠B＝∠D＝50°， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣40°﹣50°＝90°， ∴AD⊥BC． 【变式11-1】已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．证明AF∥DE． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，根据三角形外角性质求出∠AFE＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE， ∴∠B+∠BAF＝∠C+∠CDE， ∴∠AFE＝∠DEF， ∴AF∥DE． 【变式12-1】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十三】 利用SSS证明全等 【例13】如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 【变式13-1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式13-2】如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等． （1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等． （2）利用全等三角形对应角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中，， ∴（） （2）证明：∵， 【题型十四】利用SAS证明全等 【例14】如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 【变式14-1】如图，已知，． 求证：(1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得，从而利用判定； （2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ． 【变式14-2】如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型十五】利用ASA证明全等 【例15】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论． 【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°， ∴∠DEC＝∠B＝90°， ∵BC⊥CD， ∴CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△CED和△ABC中， ， ∴△CED≌△ABC（ASA）． 【变式15-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED． 【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED． 【详解】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式15-2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE． 【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE． 【详解】证明：∵点C是AB的中点， ∴AC＝CB， ∵AD∥CE， ∴∠A＝∠BCE， 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（ASA）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）． 【题型十六】 利用AAS证明 【例16】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【变式16-1】 如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式16-2】如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【题型十七】添加条件使三角形全等 【例17】如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，结合已知条件、，分析每个选项添加的条件能否判定． 【详解】解：由，得，且 A、，“SSA”不能判定全等，不符合题意； B、，则，即。此时，，根据“”可判定，符合题意； C、是已知推出的，非添加条件，无法判定，不符合题意； D、，不满足全等判定条件，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理与平行线的性质，掌握利用及平行线性质判定三角形全等是关键． 【变式17-1】如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 【变式17-2】）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 【详解】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【变式17-3】如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 【题型十八】全等三角形的实际应用 【例18】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 cm． 【答案】30． 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故答案为：30． 【变式18-2】如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转90°向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． （1）根据题意，画出示意图； （2）求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可判断AC＝CD＝30米，ED＝140﹣AC﹣CD＝80米，即可画出示意图； （2）根据题意直接利用“ASA”可判断△BAC≌△EDC，根据全等三角形的性质可得出AB＝ED＝80米． 【详解】解：（1）根据题意可知：AC＝CD＝30米，ED＝140﹣AC﹣CD＝140﹣30﹣30＝80（米）， 故可作示意图如下： （2）小亮在点A处时他与电线塔的距离为80米；理由如下： 根据题意可知：∠BAC＝∠EDC＝90°， 在△BAC和△EDC中， ， ∴△BAC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED， ∵ED＝80米， ∴AB＝80米， ∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为80米． 【变式18-1】如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH＝HD），都为2米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的米尺 测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF＝2米，AB＝4米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由； （2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明． 【分析】（1）由已知条件得出DF＝DH＝AC，DE＝AB，从而得证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等得证； （2）由△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠BCA＝∠EFD，再根据直角三角形两锐角互余，从而得证． 【详解】解：（1）BC＝EF．理由如下： 由题意可知，∠CAB＝∠EDF＝90°，DF＝DH＝AC＝2米，DE＝2×2＝5＝AB． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF，即BC和EF的长相等； （2）BC⊥EF． 证明：如图，延长BC交EF于点G． ∵△ABC≌△DEF， ∴∠BCA＝∠EFD． 由题意得∠BAC＝90°， ∴∠CBA+∠BCA＝90°， ∴∠CBA+∠EFD＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∴BC⊥EF． 【题型十九】 全等三角形的性质与判定的综合 【例21】如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 【变式21-1】如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可； （2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式21-2】在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型二十】线段垂直平分线的性质 【例20】 在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式20-1】如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式20-2】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型二十一】 作线段的垂直平分线 【例21】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 【变式21-1】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A， 点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 【变式21-2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）结合线段垂直平分线的性质可求出，再利用三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）可得，， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 【题型二十二】 角的平分线的性质 【例22】 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 【变式22-1】已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距 离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 【变式22-2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型二三十】 角平分线的尺规作图 【例23】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的作法、全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用作法得到，，则根据全等三角形的判定方法可判断，然后根据全等三角形的性质得到，进而得到就是所求作的的角平分线． 【详解】解：如图所示，连接、， 由题可得，，， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线（角平分线定义）． ∴作图依据是“”， 故选：D． 【变式23-1】如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作图，以及角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 可根据所给的作图步骤，结合角平分线的性质和判定定理来逐一分析选项． 【详解】解：由题意可知，平分， 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 平分， ，因此选项符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意． 故选：． 【变式23-2】如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 【题型一】三角形角度计算中的“分类讨论思想”与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】已知，在△ABC中，∠C＝30°，AH是BC边上的高，若∠BAH＝40°，则∠BAC＝　 　°． 【答案】100°或20． 【分析】分为两种情况画出图形，求出∠BAD的度数，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图1， ∵AH为BC边上的高， ∴∠AHB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAH＝60°， ∵∠CAH＝40°， ∴∠BAC＝∠BAH+∠CAH＝60°+40°＝100°； ②如图2， ∵AH为BC边上的高， ∴∠AHB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAH＝60°， ∵∠CAH＝40°， ∴∠BAC＝∠BAH﹣∠CAH＝60°﹣40°＝20°； 故答案为：100°或20． 【变式1-1】在△ABC中，∠B＝20°，AD为BC边上的高，∠DAC＝30°，AE平分∠BAC交BC于点E，则∠DAE等于　 　度． 【答案】20或50． 【分析】分为两种情况，画出图形，先求出∠ADC＝90°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAE，再求出答案即可． 【详解】解：有两种情况：①当∠BAC是钝角时，如图： ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAEBAC＝50°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣30°＝20°； ②当∠BAC是锐角时，如图： ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAEBAC＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE+∠CAD＝20°+30°＝50°； 故答案为：20或50． 【变式1-2】在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为　 　． 【答案】100°或140°． 【分析】分两种情形：①如图1中，当高BD在三角形内部时．②如图2中，当高BD在△ABC外时，分别求解即可． 【解答】解：①如图1中，当高BD在三角形内部时， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠ECB＝30°， ∵∠ABD：∠ACF＝2：3， ∴∠ABD＝20°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝30°+20°＝50°， ∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣30°﹣50°＝100° ②如图2中，当高BD在△ABC外时， 同法可得：∠ABD＝20°，∠CBD＝30°， ∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝30°﹣20°＝10°， ∴∠BEC＝180°﹣30°﹣10°＝140°， 综上所述，∠BEC＝100°或140°， 故答案为100°或140°． 【题型二】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例2】如图①，已知线段相交于点O，连接，我们把形如图①的图形称之为“对顶三角形”．如图②，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M，N． (1)仔细观察，在图②中有 个以线段为边的“对顶三角形”； (2)如图②，若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了“对顶三角形”的定义、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是根据“对顶三角形”的特征识别图形数量，利用三角形内角和与角平分线性质推导角度关系． （1）根据“对顶三角形”（两条线段相交形成，含公共交点且两边分属两条相交线段）的定义，找出以为边的三角形，再对应确定其对顶三角形，统计总数； （2）利用对顶三角形的内角关系（三角形内角和为，对顶角相等），结合角平分线定义得出等角关系，推导与、的数量关系，代入数值计算． 【详解】（1）解：根据“对顶三角形”的定义，以为边的“对顶三角形”有： 与、与,共4个， 故答案为：4； （2）和的平分线和相交于点P， ． ， ， ． ， ． 【变式2-1】在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为 　 　； （2）点D在BA，AC边上运动． ①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC； ②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC三者之间的数量关系． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝144°，由角平分线定义可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，再根据三角形内角和定理计算，即可得出结果； （2）①由AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，可得∠AOC＝90°∠ABC，利用三角形外角的性质可得∠ADO＝∠ABO+∠BOD＝90°∠ABC，即可证明结论； ②分两种情况讨论：当点D在AE上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得2∠ADP＝∠BAC﹣∠ACB+360°，当点D在CE上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得2∠ADP＝∠ACB﹣∠BAC． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝36°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣36°＝144°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ACB+∠ABC）144°＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣72°＝108°， 故答案为：108°； （2）①∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB， ∴∠OAC∠BAC，∠OCA∠ACB， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°∠ABC）＝90°∠ABC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∵∠ADO是△BOD的一个外角， ∴∠ADO＝∠ABO+∠BOD＝90°∠ABC， ∴∠ADO＝∠AOC， ②如图，当点D在AE上时， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC， ∴∠AEP＝∠ABE+∠BAC， ∠ABC+∠BAC， （180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+∠BAC，∠BAC∠ACB+90°， ∵DP⊥OB， ∴∠BPD＝90°， ∵∠ADP是△DEP的一个外角， ∴∠ADP＝∠AEP+∠DPE， ∠BAC∠ACB+90°+90°， ∴2∠ADP＝∠BAC﹣∠ACB+360°， 如图，当点D在CE上时， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC， ∴∠PED＝∠ABE+∠BAC， ∠ABC+∠BAC， （180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+∠BAC， ∠BAC∠ACB+90°， ∵DP⊥OB， ∴∠ADP＝90°﹣∠PED， ＝90°﹣（∠BAC∠ACB+90°）， ∠ACB∠BAC， ∴2∠ADP＝∠ACB﹣∠BAC， 综上所述，2∠ADP＝∠BAC﹣∠ACB+360°或2∠ADP＝∠ACB﹣∠BAC． 【变式2-2】如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】 （1）的度数为，的度数为； 【问题再探】 （2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论] ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系． 【答案】（2）①；②，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识． （2）①根据两个三角形有两个同角相等，则第三个角也相等即可求解； ②由，根据同位角相等两直线平行即可得； （3）由题意得；过点C作，分点在射线上与点在射线上两种情况考虑即可求解． 【详解】解：（2）①∵在中，， ∴． ②， 理由：∵， ∴， ∴． (3)若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到， ∵平分， ∴； 如图，过点C作； 当点在射线上时， ∵， ∴， ∴； 当点在射线上时， ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【题型三】三角形折叠中的角度问题 【例3】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为　 　． 【答案】55°或85°． 【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，∠CMB′，再根据折叠的性质求出∠NMB′即可解决问题． 【详解】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°， 当∠CB′M＝90°， ∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°， 由折叠的性质可知：∠NMB′∠BMB′＝75°， ∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°， 当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°， ∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°， 故答案为55°或85°． 【变式3-1】综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式3-2】（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 【题型一】利用“角平分线”构造全等三角形 【例1】如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD． 【详解】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF， ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 而∠PDO+∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PC＝PD． 【变式1-1】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【分析】本题通过角平分线到角两边距离相等这一性质，再通过三角形的全等证得． 【详解】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°， ∵AD是∠EAF的平分线， ∴DM＝DN， ∵∠ACD+∠ABD＝180°， ∠ACD+∠MCD＝180°， ∴∠MCD＝∠NBD， 在△CDM和△BDN中， ∠CMD＝∠BND＝90°， ∠MCD＝∠NBD， DM＝DN， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD＝DB． 【变式1-2】如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 【分析】延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE＝EF，证△BOD≌△AOF推出BD＝AF即可． 【详解】证明：延长BO，AE并交于F， ∵BD平分∠ABO，AF⊥BD， ∴∠1＝∠2，∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE和△FBE中 ∴△ABE≌△FBE ∴AE＝EF， ∵∠AOB＝90゜，∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDO， ∴∠2＝∠OAF， ∵∠AOB＝90°， ∴∠DOB＝∠FOA＝90°， ∴在△OBD和△OAF中 ∴△OBD≌△OAF， ∴BD＝AF， ∵AE＝EF， ∴BD＝2AE． 【题型二】利用“截长补短法”构造全等三角形 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E． 求证：AB+CD＝BC． 【分析】先利用角平分线的特点构造出△ABE≌△FBE，得出∠BAE＝∠BFE，借助平行线的性质判断出∠CFE＝∠CDE，得出△FCE≌△DCE即可． 【解答】证明：在BC上截取BF＝AB， ∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE， 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE， ∴∠BAE＝∠BFE， ∵AB∥CD， ∴∠BAE+∠CDE＝180°， ∴∠BFE+∠CDE＝180°， ∵∠BFE+∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝∠CDE， 在△FCE和△DCE中，， ∴△FCE≌△DCE， ∴CF＝CD， ∴BC＝BF+CF＝AB+CD． 【点评】此题是全等三角形的性质和判定，主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，同角或等角的补角相等，邻补角的定义，解本题的关键是判断出∠CFE＝∠CDE． 【变式2-1】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 【分析】解法一：在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明△AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可； 解法二：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD，证明△ADP≌△ABP，得PD＝PB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【详解】解：解法一：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE， 在△AEP和△ACP中， ， ∴△AEP≌△ACP（SAS）， ∴PE＝PC， 在△PBE中，BE＞PB﹣PE， 即AB﹣AC＞PB﹣PC； 解法二：如图，延长AC到D，使AD＝AB，连接PD， 在△ADP和△ABP中， ， ∴△ADP≌△ABP（SAS）， ∴PD＝PB， 在△PCD中，CD＞PD﹣PC， 即AB﹣AC＞PB﹣PC． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题． 【详解】证明：（1）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键． 【题型三】倍长中线模型 【例3】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 【变式3-1】【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又 ，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又 ，， ， ， ； （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $