专题04代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

专题04 代数式（7知识&13题型&1易错&1方法清单） 【清单01】列代数式 （1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。 （2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写。 （3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。 （4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。 【清单02】代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 （2）代数式求值步骤：①代入；②计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。 【清单03】单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。 （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。 【清单04】多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。 【清单05】同类项的判定 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。 （2）注意事项： ①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 【清单06】合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【清单07】整式的混合运算 1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。 2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 【题型一】代数式的概念 【例1】在中，是代数式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式的定义．代数式是由数、字母和运算符号组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，单个的数字或字母也是代数式，注意不能含有、、、、、等符号．根据代数式的定义直接判断即可． 【详解】解：，，，含有、、， ∴不是代数式， 是代数式的有，，，，共4个． 故选：B． 【变式1-1】在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念．代数式即用运算符号把数与字母连接起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可． 【详解】解：在，0，π，，，，中， 代数式有：0，π，，，，，共6个， 故选：C． 【变式1-2】（18-19七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 B．正方形的边长为a，则表示正方形的周长 C．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 D．若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高 【答案】A 【分析】本题考查了用字母表示数，理解题意，掌握用字母表示数是解题的关键．根据用字母表示数的概念，对题目中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，故A选项说法不正确，符合题意； 正方形的边长为a，则表示正方形的周长，故B选项说法正确，不符合题意； 若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额，故C选项说法正确，不符合题意； 若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】在式子3，，，，，中，代数式有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”、“”、“”、“”等符号的不是代数式．直接利用代数式的定义得出答案． 【详解】解：在式子3，，，，，中，代数式有3，，，，一共有4个． 故答案为：4． 【题型二】求代数式的值 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）当时，代数式的值是（　　）． A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值，将代入即可求解 【详解】解：当时， 原式， 故选：B 【变式2-1】（21-22七年级上·浙江台州·期中）若，则的值等于（　　） A．6 B．7 C．11 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 根据已知等式得出，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， 那么， 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若代数式，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握整体思想的应用是解题的关键． 对所求代数式变形，然后整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2-3】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，互为相反数的定义，倒数的定义，熟记相关概念是解题的关键． 根据互为相反数的两个数的和等于可得，互为倒数的两个数的乘积等于可得，再根据有理数的性质求出，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数， ，， ． 故答案为： ． 【变式2-4】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）已知代数式的值是3，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．先将代数式变形后，直接整体代入即可求解． 【详解】解：由题可得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 将已知代数式的值整体代入求解即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【题型三】单项式的概念 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于整式的概念，下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5 C．2是单项式 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题系数考查多项式，单项式的有关概念，关键是掌握：单项式，单项式的系数，次数的定义，多项式的次数，项数的定义． 数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式的个数就是多项式的项数，由此即可判断． 【详解】解：A．单项式的系数是，故A不符合题意； B．的次数是，故B不符合题意； C． 是单项式，正确，故符合题意； D．是三次三项式，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下面的说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．的次数是4 C．的系数是3 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与多项式的次数与项数及正负数，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据单项式的概念、次数、系数及多项式的相关概念进行求解． 【详解】解：A、是单项式，故原说法错误； B、的次数是3，故原说法错误； C、的系数是，故原说法错误； D、是三次二项式，原说法正确； 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列叙述中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．多项式是六次二项式 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握单项式、单项式次数、单项式的系数的定义．根据单项式、单项式次数、单项式的系数的定义，结合各选项判断即可． 【详解】解：A．0是单项式，此选项正确； B．单项式的次数是2，此选项错误； C．单项式的系数为，此选项错误； D．多项式是四次二项式，此选项错误； 故选：A． 【变式3-3】下列关于单项式的说法正确的是（   ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式的系数，次数的概念，根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：单项式 可表示为 ，其中数字因数为 ，因此系数是 ， 的指数是 1， 的指数是 3，次数为 A：系数 ，次数 4，正确； B：次数错误； C和D：系数错误； 故选：A． 【题型四】多项式的概念 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（ ） A．是整式 B．的系数是，次数是2 C．的次数为5 D．是三次二项式 【答案】A 【分析】此题考查了整式、单项式的次数、系数、多项式的次数的定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 本题根据单项式的系数，次数定义，多项式及多项式常数项定义，单项式中数字因数是单项式的次数，所有字母指数的和是单项式的次数；多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，不含字母的项是常数项，逐一核对选项，即可得到答案． 【详解】解：∵是整式， ∴选项A符合题意； ∵的系数是，次数是， ∴选项B不符合题意； ∵的次数为3， ∴选项C不符合题意； ∵是二次二项式， ∴选项D不符合题意， 故选：． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若代数式是关于的三次三项式，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据三次三项式得到，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式是关于的三次三项式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【题型五】多项式系数、指数中字母求值 【例5】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴|m|=4，m-4≠0， ∴m=-4，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【变式5-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）若多项式是一个关于x，y的五次四项式，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高项的次数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故答案为：4 【变式5-2】关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 【变式5-3】若多项式是关于x的四次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式．直接利用四次三项式的次数与项数的定义可得，且，然后解绝对值方程得出m的值即可． 【详解】解：多项式是关于x的四次三项式， ，且， ． 故答案为：． 【题型六】同类项的判断 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的判断，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，注意：两个单独的数是同类项． 【详解】解：A．与是同类项，故此选项不符合题意； B．与是同类项，故此选项不符合题意； C．与是同类项，故此选项不符合题意； D．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】（20-21七年级上·浙江温州·期中）写出一个与是同类项的项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项，根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的项为同类项，进行作答即可. 【详解】解：与是同类项的项可以是； 故答案为：（答案不唯一） 【题型七】已知同类项求指数中字母的值 【例7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，即相同字母的指数相同，可以列出方程组，然后求出方程组的解即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， 故选：C． 【变式7-1】若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义可得，，进而求出的值，再代入到代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：由同类项的定义得，，， ， 故答案为： 【题型八】合并同类项 【例8】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是掌握合并同类项法则． 分别根据合并同类项法则，对四个式子作出计算，再作出判断． 【详解】解：，故A错误； 中没有同类项，不能合并，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 【变式8-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义及合并同类项法则． 根据合并同类项法则，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，合并同类项应为，原计算错误，故此选项不符合题意；． 故选：B． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，根据同类项的法则进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项的法则逐项判断即可得解． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-4】化简： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的基本计算解答即可． 本题考查了合并同类项，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型九】整式加减的应用 【例9】（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，设大长方形的长为，宽为，分别表示出两个阴影部分的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，由图可知： 左下角阴影部分的周长为：， 右上角阴影部分的周长为：， 故左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为； 故选B． 【变式9-1】如图，长方形是由四块小长方形拼成的（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②④是能够完全重合的两块长方形，如果要求出①③两块长方形的周长之和，则只要知道（   ） A．长方形的周长 B．的长 C．长方形②的周长 D．的长 【答案】D 【分析】本题考查长方形周长的表示方法，在于熟悉长方形的周长公式及代数式的运算是解题关键 【详解】解：设的长为y，的长为x，矩形②的长为a，宽为b，由题意可得，①③两块矩形的周长之和是： 故选：D． 【变式9-2】（21-22七年级上·浙江台州·期中）将图1周长为的矩形剪开做成图2的“直角尺”（不重叠无缝隙），用此直角尺测得图3中小正方形的边长为，则的长为 （用含a的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正方形的性质与矩形的周长，掌握相关知识是解题的关键．由题可知，利用正方形的性质可得，，而，，则有，求解出即可． 【详解】解：由题意得： ， 在小正方形和正方形中， ，， 又，， ， ， 则的长为． 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）． (2)先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值等知识点，读懂题意，根据图中各正方形边长之间的关系正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的周长，然后把代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得： 长方形的长为， 宽为， 长方形的周长， 当时， 长方形的周长． 【变式9-4】（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3） 解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 【题型十】整式加减的运算 【例10】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式10-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减． （1）合并同类项即可； （2）先去括号再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 【题型十一】整式的化简求值 【例11】（24-25七年级上·浙江·期末）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． （1）将M、N代入化简后代入a、b值计算即可； （2）根据题意得到，求出b值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式； （2）解：∵代数式的值与字母a的取值无关，， ∴， 解得． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式11-2】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 3 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，原式利用去括号法则去括号后，合并同类项得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【变式11-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减运算，代入求值，掌握算理是解决问题的关键．先去括号合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【题型十二】数字类规律探究 【例12】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 【变式12-1】（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 【变式12-2】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了实数运算规律，解题关键是由表中的例子得到规律和灵活运用其规律解题． （1）根据表中的几个例子进行求解即可； （2）根据表中的几个例子我们可以总结出规律得到答案； （3）根据（2）所求进行求解即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴， 故答案为：或； （3）解： ； 【题型十三】图形类规律探究 【例13】（20-21七年级上·浙江杭州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D， A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的数与正方形的四个顶点的对应关系，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键．正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定2019所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，…四次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是点C． 故选：C． 【变式13-1】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则图100中小黑点的个数为(    ) A．10001 B．9901 C．9890 D．10100 【答案】B 【分析】本题考查了找规律图形类，发现规律是解答本题的关键，根据题意分析可得：第个图中，从中心点分出个分支，每个分支上有个点，不含中心点． 【详解】解：观察可得，第个图中，从中心点分出个分支，每个分支上有个点，不含中心点， 第个图中小黑点的个数为， 第个图中小黑点的个数为， 故选：B． 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象规律探索，理解序号与数量的关系是解题的关键．根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【详解】解：第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故选：D． 【变式13-3】用小棒搭图形（如下图）．按此规律，摆第10个图形需要用 根小棒，摆第n个图形需要用 根小棒． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，根据题意，确定图形变化规律，可知第n个图形需要的小棒数量为个，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，摆第1个图形需要的小棒数量为根， 摆第2个图形需要的小棒数量为根， 摆第3个图形需要的小棒数量为根， 摆第4个图形需要的小棒数量为根， …… 则摆第10个图形需要的小棒数量为根， 摆第n个图形需要的小棒数量为根． 故答案为：21；． 【题型一】不理解整式加减中无关型导致出错 【例1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．将、代入，然后去括号、合并同类项，得，由此代数式与b的取值无关，说明b的系数为0，据此求出的值． 【详解】解：由，， 代数式的结果与b无关， ， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式1-2】已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，化简求值， 对于（1），将A，B代入，再根据整式加减法法则计算即可； 对于（2），将将A，B代入，再根据整式加减法法则计算，然后整理得出x的系数，令系数为0，可得答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： . ∵与x的取值无关， ∴， 解得. 【题型一】整体代入思想 【例1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （1）把所求代数式的后两项先变形，再把代入进行计算即可； （2）把所求式子按照去括号法则去掉括号，写成含有和的形式，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2），， ． 【变式1-2】同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，根据 即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：（1）， ∵， ∴原式， 故答案为：； （2） ， ∵， ∴原式 ； （3）∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； （2）由已知条件可得，然后将原式代入已知数值计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； 掌握整体思想和整式的加减运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公14 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 代数式（7知识&13题型&1易错&1方法清单） 【清单01】列代数式 （1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。 （2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写。 （3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。 （4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。 【清单02】代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 （2）代数式求值步骤：①代入；②计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。 【清单03】单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。 （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。 【清单04】多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。 【清单05】同类项的判定 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。 （2）注意事项： ①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 【清单06】合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【清单07】整式的混合运算 1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。 2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 【题型一】代数式的概念 【例1】在中，是代数式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-1】在，0，π，，，，中，代数式的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（18-19七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 B．正方形的边长为a，则表示正方形的周长 C．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 D．若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高 【变式1-3】在式子3，，，，，中，代数式有 个． 【题型二】求代数式的值 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）当时，代数式的值是（　　）． A． B． C． D．7 【变式2-1】（21-22七年级上·浙江台州·期中）若，则的值等于（　　） A．6 B．7 C．11 D． 【变式2-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若代数式，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式2-3】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为 ． 【变式2-4】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）已知代数式的值是3，则代数式的值是 ． 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则代数式的值为 ． 【题型三】单项式的概念 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于整式的概念，下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5 C．2是单项式 D．是五次三项式 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下面的说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．的次数是4 C．的系数是3 D．是三次二项式 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列叙述中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．多项式是六次二项式 【变式3-3】下列关于单项式的说法正确的是（   ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【题型四】多项式的概念 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（ ） A．是整式 B．的系数是，次数是2 C．的次数为5 D．是三次二项式 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若代数式是关于的三次三项式，的值是 ． 【题型五】多项式系数、指数中字母求值 【例5】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A．4 B． C． D．4或 【变式5-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）若多项式是一个关于x，y的五次四项式，则m的值为 ． 【变式5-2】关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【变式5-3】若多项式是关于x的四次三项式，则m的值为 ． 【题型六】同类项的判断 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列选项中的两个代数式，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-1】（20-21七年级上·浙江温州·期中）写出一个与是同类项的项： ． 【题型七】已知同类项求指数中字母的值 【例7】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）单项式与是同类项，则的值是 ． 【题型八】合并同类项 【例8】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】化简： ． 【题型九】整式加减的应用 【例9】（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，长方形是由四块小长方形拼成的（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②④是能够完全重合的两块长方形，如果要求出①③两块长方形的周长之和，则只要知道（   ） A．长方形的周长 B．的长 C．长方形②的周长 D．的长 【变式9-2】（21-22七年级上·浙江台州·期中）将图1周长为的矩形剪开做成图2的“直角尺”（不重叠无缝隙），用此直角尺测得图3中小正方形的边长为，则的长为 （用含a的式子表示）． 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）． (2)先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长． 【变式9-4】（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【题型十】整式加减的运算 【例10】化简： (1)； (2)． 【变式10-1】化简： (1)； (2)． 【题型十一】整式的化简求值 【例11】（24-25七年级上·浙江·期末）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母a的取值无关，求b的值． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【变式11-2】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-3】先化简，再求值：，其中． 【题型十二】数字类规律探究 【例12】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 【题型十三】图形类规律探究 【例13】（20-21七年级上·浙江杭州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D， A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式13-1】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则图100中小黑点的个数为(    ) A．10001 B．9901 C．9890 D．10100 【变式13-2】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【变式13-3】用小棒搭图形（如下图）．按此规律，摆第10个图形需要用 根小棒，摆第n个图形需要用 根小棒． 【题型一】不理解整式加减中无关型导致出错 【例1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【变式1-2】已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 【题型一】整体代入思想 【例1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【变式1-2】同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【变式1-3】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 学科网（北京）股份有限公6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $