专题03实数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

专题03 实数（6知识&11题型&3易错&2方法清单） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） ① ② ③ 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 （1）定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. （2）立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 （1）实数的概念：有理数和无理数统称为实数. （2）实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 （3）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【题型一】平方根的概念 【例1】下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【变式1-1】下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【题型二】平方根的计算 【例2】9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 【变式2-1】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-3】的平方根是 ． 【变式2-4】49的平方根是 ． 【题型三】算术平方根的计算 【例3】9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 【变式3-1】的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．8 【变式3-2】若，则x的值为 ． 【题型四】立方根的概念 【例4】如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是（   ）． A．1、0 B． C．0 D．1、、0 【变式4-1】下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【变式4-2】下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【题型五】立方根的计算 【例5】的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】64的立方根是 ． 【题型六】平方根的应用 【例6】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【变式6-1】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【题型七】立方根的应用 【例7】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【变式7-1】如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【题型八】实数的分类 【例8】在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式8-1】把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 【变式8-2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，（两个1之间的0依次多1） (1)正数集合：{                                             …} (2)整数集合：{                                             …} (3)分数集合：{                                             …} (4)无理数集合：{                                             …} 【题型九】实数与数轴 【例9】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-1】如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式9-3】把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 【题型十】实数的大小估算 【例10】估算在哪两个整数之间？（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【变式10-1】最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-2】绝对值小于的所有整数是 ． 【题型十一】实数的混合运算 【例11】计算：． 【变式11-1】（18-19七年级上·浙江舟山·期末）计算： (1) (2) 【变式11-2】（1）计算：．     【题型一】忽略算术平方根的非负性导致出错 【例1】已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若，为实数，且，则的值为 ． 【变式1-2】已知，则 【变式1-2】若与互为相反数，则 ． 【题型二】不能找到实数运算的规律 【例2】阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【变式2-1】已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【题型三】弄混平方根与算术平方根的定义 【例3】下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】已知，求的平方根． 【变式3-2】已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【题型一】已知数的平方根，求未知数 【例1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【变式1-1】若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【变式1-2】已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【变式1-3】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【题型二】实数的定义新运算 【例2】定义新运算“⊕”：若，例如，，， 则 ． 【变式2-1】阅读材料：对实数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． 解决问题： (1)______；______； (2)已知，且，求的值； (3)对于有理数a，满足关系式时，求a的值． 【变式2-2】若A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且满足，则称B为A，C两点的倍距点．例如：若，，，因为，，所以，即B是A，C两点的倍距点． (1)若，，，请说明：B是A，C两点的倍距点； (2)若，B是A，C两点的倍距点，且，求b的值． 【变式2-3】对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 学科网（北京）股份有限公4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（6知识&11题型&3易错&2方法清单） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） ① ② ③ 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 （1）定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. （2）立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 （1）实数的概念：有理数和无理数统称为实数. （2）实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【题型一】平方根的概念 【例1】下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 【变式1-1】下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解本题的关键．根据平方根的定义即可判断． 【详解】解：A、负数没有平方根，故错误，不符合题意； B、没有平方根，故错误，不符合题意； C、0的平方根是0，故正确，符合题意； D、4的平方根是，故错误，不符合题意． 故选：C． 【题型二】平方根的计算 【例2】9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的平方根．一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么x就叫作a的平方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 故选：B 【变式2-1】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：A． 【变式2-2】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：，则16的平方根是， 故选：C． 【变式2-3】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，先计算出结果，再根据平方根概念即可求出结果． 【详解】解：∵，16的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式2-4】49的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是理解平方根的概念并能正确计算． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，来求解49的平方根． 【详解】解∶49的平方根是． 故答案为：． 【题型三】算术平方根的计算 【例3】9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为, ∴9的算术平方根3， 故选：A． 【变式3-1】的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先化简，再求出4的算术平方根是2，即可作答． 【详解】解：， ∴4的算术平方根是2， 故选：C． 【变式3-2】若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 原式利用算术平方根的定义即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4． 【题型四】立方根的概念 【例4】如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是（   ）． A．1、0 B． C．0 D．1、、0 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 根据立方根的定义作答即可． 【详解】∵，，， ∴立方根等于本身的数是，1，0． 故选D． 【变式4-1】下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，掌握相关定义是解题关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、0有算术平方根，原说法不正确，符合题意； 故选：D． 【题型五】立方根的计算 【例5】的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 那么的立方根是：， 故选：B． 【变式5-1】64的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴64的立方根是4， 故答案为：4． 【题型六】平方根的应用 【例6】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【变式6-1】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 【题型七】立方根的应用 【例7】（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键； 根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可； 【详解】解：由题意得长方体体积为：（立方厘米）， ∴立方体棱长（厘米）， 答：锻造成的立方体铁块的棱长是厘米； 【变式7-1】如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 【题型八】实数的分类 【例8】在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个). 【详解】解：是分数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是整数，是有理数， 共有个无理数． 故选：B． 【变式8-1】把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】根据正整数的定义，整数，非负数定义，有理数分类解答即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． 【详解】解：正整数集合{15，171…}； 非负数集合{15，，，171，0，，…}； 整数集合{15，，，171，0…}； 有理数集合{ 15，，，，，，，171，0，，…}． 【变式8-2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，（两个1之间的0依次多1） (1)正数集合：{                                             …} (2)整数集合：{                                             …} (3)分数集合：{                                             …} (4)无理数集合：{                                             …} 【答案】(1) (2) (3) (4)（两个1之间的0依次多1） 【分析】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数，无限不循环小数是无理数是解题的关键． （1）根据正数为大于0的数即可求解； （2）根据整数包括：正整数、0和负整数即可求解； （3）根据分数包括正分数和负分数即可求解； （4）根据无限不循环小数是无理数，即可求解． 【详解】（1）解：，， 正数集合：； （2）解：整数集合：； （3）解：分数集合：； （4）解：无理数集合：（两个1之间的0依次多1）． 【题型九】实数与数轴 【例9】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点，圆的周长，掌握相关知识是解题关键．分两种情况讨论：当圆沿着数轴往右或往左滚动一周，所经过的路径长为圆的周长，据此解答． 【详解】解：圆滚动一周所经过的路径长为： 当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：； 当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：， 综上所述，点A表示的数是或， 故选：C． 【变式9-1】如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数大小估算，先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点表示数的取值范围，即可求出点表示的可能数值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设表示的数为， 由数轴可知， 、由，不符合题意； 、不符合题意； 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 【变式9-2】如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴． 先估算出的大小，再判断即可． 【详解】∵ ∴最接近于的是点： 故选：A 【变式9-3】把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵；，即；；； ∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故选：C； 【题型十】实数的大小估算 【例10】估算在哪两个整数之间？（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算得到的范围，进而得到答案即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 【变式10-1】最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：， ， ， 最接近的整数是6． 故选：C． 【变式10-2】绝对值小于的所有整数是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了无理数的估算，找出绝对值小于的整数即可． 【详解】解：， ∴符合条件的数为，，，． 故答案为：，，，． 【题型十一】实数的混合运算 【例11】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的意义，绝对值的意义，算术平方根，有理数的乘方进行运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式11-1】（18-19七年级上·浙江舟山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的立方根． （1）直接计算加减即可； （2）先计算括号里的减法，再计算乘方，立方根，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式11-2】（1）计算：．     【答案】（1）； 【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根定义解方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据立方根，平方根，绝对值的意义化简，再计算即可； 【详解】解：（1） ； 【题型一】忽略算术平方根的非负性导致出错 【例1】已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，平方根，有理数的加法，正确计算是解题的关键．两数相加得零则两数互为相反数，而两个加数皆为非负数，则两个加数都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故选：A． 【变式1-1】若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方的非负性和二次根式的双重非负性，有理数的乘方，解决此题定关键是正确的计算；先根据非负性得到，的值，代入求值即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式1-2】已知，则 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性得到，求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程组，进而解题． 【详解】解：依题意得： ∵ 和 ， ∴， ∴ ，即 ． 故答案为 6． 【题型二】不能找到实数运算的规律 【例2】阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 【变式2-1】已知有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是的差倒数是，如果是的差倒数，是的差倒数是的差倒数．．．依此类推，解答下面的问题： (1)___________，___________，___________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了差倒数的定义及数列循环规律的应用，解题的关键是找出数列的循环周期并利用周期计算总和． （1）根据差倒数定义依次计算； （2）确定数列循环周期，计算单个周期和，结合总项数求总和． 【详解】（1）由题知， 故答案为：； （2）根据（1）的计算结果可知， 所以从开始相邻三个数的和为定值． 又， 【变式2-2】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：； （3）解：原式 ． 【题型三】弄混平方根与算术平方根的定义 【例3】下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 【变式3-1】已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求平方根，先根据非负数的性质求出，，再代入所求代数式，最后根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 【变式3-2】已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【题型一】已知数的平方根，求未知数 【例1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 【变式1-1】若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【答案】1或25 【分析】本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，从而可求出一个平方根，再由平方根的平方，可得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 【变式1-2】已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 【变式1-3】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 【题型二】实数的定义新运算 【例2】定义新运算“⊕”：若，例如，，， 则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数四则混合运算，解题关键是理解新定义运算． 先比较与的大小，与的大小，与1的大小，根据新定义，将转化为，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式2-1】阅读材料：对实数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． 解决问题： (1)______；______； (2)已知，且，求的值； (3)对于有理数a，满足关系式时，求a的值． 【答案】(1)2；5； (2)16； (3)或 【分析】题考查的是新定义运算，利用平方根的含义解方程，理解新定义的运算法则是解本题的关键． （1）利用新定义计算解题即可； （2）根据，且，可得，再根据题意求解即可； （3）根据，得出，结合义的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； 故答案为：2，5； （2）∵，且 ， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 综上可得：或． 【变式2-2】若A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且满足，则称B为A，C两点的倍距点．例如：若，，，因为，，所以，即B是A，C两点的倍距点． (1)若，，，请说明：B是A，C两点的倍距点； (2)若，B是A，C两点的倍距点，且，求b的值． 【答案】(1)详见解析； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值的应用问题，有理数中的新定义问题等，掌握题中的倍距点的定义是解题的关键． （1）分别求出和，证明相等即可； （2）根据B是A，C两点的倍距点，得到关于a，b，c的等式，结合，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解： ，，， 即， B是A，C两点的倍距点； （2） B是A，C两点的倍距点， ， ，， ， 或，解得或， 或． 【变式2-3】对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 【答案】(1) (2) (3)相等，详情见解析． 【分析】本题考查新定义运算，有理数的运算，弄清新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则进行计算即可； （1）根据新运算规则进行计算即可； （1）令，，根据新运算规则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3）令，， 则，， 所以． 学科网（北京）股份有限公4 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $