6.2《用频率估计概率》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第六章 概率的进一步认识 6.2 用频率估计概率 本节知识点总结 1. 当试验的所有可能结果不是等可能的，或试验结果数量很多时，我们无法用列举法求出概率。这时可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计事件发生的概率。 2. 频率的稳定性：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性。 3. 用频率估计概率：当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在某个常数 P 附近，我们就把这个常数 P 作为该事件发生的概率的估计值，即 P（A）≈ 频率。 4. 频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。试验次数越多，频率越稳定，对概率的估计就越精确。 5. 模拟试验：当实际试验费时费力，甚至具有破坏性时，可以用模拟试验代替。例如：用 365 个编有号码的球代表一年 365 天，通过摸球试验估计 50 个人中有 2 人生日相同的概率；也可以用计算器产生 1～365 的随机整数来模拟。 6. 用频率估计概率的应用：可以估计口袋中红球和白球的比例，可以估计鱼塘中鱼的数量（标记重捕法），可以估计产品的合格率、种子的发芽率等。 7. 标记重捕法估计数量：先捕捉 a 只个体做标记后放回，待充分混合后再捕捉 b 只，其中带标记的有 c 只，则总体数量约为 a × b ÷ c。 分层作业 📅 一、基础过关题 （一）频率与概率的关系 【考查要点】理解频率与概率的区别与联系。 【解题方法】频率是某次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，它随试验变化；概率是事件固有的客观属性，是常数。试验次数很大时，频率稳定在概率附近。 1. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上 B. 某事件发生的概率为 ，则在两次重复试验中，一定有一次发生 C. 连续掷一枚硬币，前 5 次都是正面朝上，第 6 次正面朝上的概率仍然是 D. 某篮球运动员投篮命中的概率是 0.8，则他投 10 次球一定命中 8 次 2. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 试验次数越多，频率越接近概率 C. 试验次数足够大时，频率等于概率 D. 概率是随机的，频率是常数 3. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A. 频率与试验次数无关 B. 概率是随机的，在试验前不能确定 C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越稳定在概率附近 D. 频率就是概率 （二）用频率估计概率的基本概念 【考查要点】理解用频率估计概率的思想方法。 【解题方法】当试验结果不是等可能或结果很多时，通过大量重复试验，用频率的稳定值估计概率。 4. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下列做法最合理的是（ ） A. 只移植 10 棵，看成活几棵 B. 移植 10000 棵，统计成活频率，用频率估计成活率 C. 根据经验直接判断成活率 D. 移植 2 棵都活了，就说成活率是 100% 5. 某工厂为了确定一批产品的次品率，下列方法最合理的是（ ） A. 从这批产品中任意抽取 1 件，看是否为次品 B. 从这批产品中任意抽取 1000 件，统计次品频率 C. 凭经验估计次品率 D. 抽取 5 件产品，全是正品，就说没有次品 6. 下列试验中，最适合用“大量重复试验，用频率估计概率”的方法来求概率的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，求点数为 6 的概率 B. 某射手射击一次，命中靶心的概率 C. 抛一枚质地均匀的硬币，求正面朝上的概率 D. 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中摸出 1 个红球的概率 （三）大量重复试验中的频率估计概率 【考查要点】根据试验数据表，用频率的稳定值估计概率。 【解题方法】观察频率随试验次数变化的趋势，找到频率稳定在哪个常数附近，该常数即为概率的估计值。 7. 某同学做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验，得到的数据如下表： 表1 抛掷硬币试验数据 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 正面朝上的频率 0.530 0.490 0.520 0.505 0.488 根据上表数据，估计抛掷这枚硬币正面朝上的概率约为（ ） A. 0.49 B. 0.50 C. 0.52 D. 0.53 8. 某科技小组做“某种油菜籽在相同条件下的发芽试验”，结果如下： 表2 油菜籽发芽试验数据 每批试验粒数 n 100 300 500 1000 2000 3000 发芽粒数 m 96 282 475 951 1900 2850 发芽频率 m/n 0.960 0.940 0.950 0.951 0.950 0.950 这种油菜籽发芽的概率估计值是（精确到 0.01）（ ） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 9. 某篮球队教练对一名运动员进行投篮测试，结果如下： 表3 投篮测试数据 投篮次数 50 100 150 200 250 300 投中次数 28 58 85 118 148 180 投中频率 0.560 0.580 0.567 0.590 0.592 0.600 根据上表，估计该运动员投篮一次投中的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 （四）模拟试验 【考查要点】理解模拟试验的思想，能设计简单的模拟试验方案。 【解题方法】当实际试验费时费力时，用摸球、计算器产生随机数等方式模拟实际试验。 10. 课本中估计“50 个人中有 2 人生日相同”的概率时，采用的模拟试验方法是（ ） A. 直接调查 50 个人的生日 B. 用 365 个编有号码的球代表 365 天，通过摸球来模拟 C. 凭经验猜测 D. 用列举法计算 11. 下列模拟试验中，不合理的是（ ） A. 用抛硬币模拟“生男生女”的概率 B. 用摸球试验模拟抽签中奖的概率 C. 用计算器产生随机整数模拟随机抽样 D. 用抛骰子模拟“明天是否下雨”的概率 12. 某同学想估计“掷一枚瓶盖，盖口朝上”的概率，下列方法最合适的是（ ） A. 掷 1 次瓶盖，看盖口是否朝上 B. 掷 1000 次瓶盖，统计盖口朝上的频率 C. 用抛硬币代替瓶盖试验 D. 凭直觉判断 （五）用频率估计概率的应用——估计比例 【考查要点】根据摸球频率估计袋中两种球的比例。 【解题方法】大量有放回摸球后，某种颜色球的频率稳定在该颜色球所占比例附近，据此估计袋中球的比例。 13. 一个不透明的口袋中有红球和白球共 30 个，这些球除颜色外都相同。在多次摸球试验中，摸到红球的频率稳定在 0.4 附近，则口袋中红球约有（ ） A. 6 个 B. 9 个 C. 12 个 D. 15 个 14. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共 40 个。某学习小组进行摸球试验：每次摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸。下表是试验的一组统计数据： 表4 摸球试验数据 摸球次数 100 200 300 500 800 1000 摸到白球的次数 36 71 103 165 266 333 摸到白球的频率 0.360 0.355 0.343 0.330 0.333 0.333 由此估计口袋中白球的个数约为（ ） A. 10 个 B. 13 个 C. 16 个 D. 20 个 15. 一个口袋中有红球、白球共 10 个，不将球倒出来数，能估计出其中红球和白球的比例吗？写出你的试验方案。 （六）用频率估计概率的应用——估计数量 【考查要点】用标记重捕法估计总体数量。 【解题方法】先捕捉 a 只做标记后放回，待充分混合后再捕捉 b 只，其中带标记的有 c 只，则总体数量约为 a × b ÷ c。 16. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中打捞 30 条鱼做上标记，然后放回鱼塘。经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再打捞 200 条鱼，发现其中带标记的鱼有 5 条。估计鱼塘中鱼的总数约为（ ） A. 600 条 B. 800 条 C. 1000 条 D. 1200 条 17. 生物小组为了估计一片树林中某种鸟的数量，先捕获了 40 只这种鸟，给它们做上标记后放回。一周后，又捕获了 30 只这种鸟，发现其中带标记的有 4 只。估计这片树林中这种鸟约有（ ） A. 200 只 B. 300 只 C. 400 只 D. 500 只 18. 某车间为了估计一批零件的总数，先从中随机抽取 100 个零件做上标记，然后放回零件箱中充分混合。再从中随机抽取 50 个零件，发现其中带标记的有 2 个。估计这批零件的总数约为（ ） A. 1000 个 B. 1500 个 C. 2000 个 D. 2500 个 （七）综合应用 【考查要点】综合运用频率估计概率解决实际问题。 【解题方法】从实际问题中抽象出大量重复试验，用频率的稳定值估计概率，再解决问题。 19. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表： 表5 射击试验数据 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心频率 m/n （1）计算表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 20. 某水果超市为了估计一箱苹果（约 200 个）中好坏苹果的比例，从箱中随机摸出 10 个苹果检查，发现有 2 个是坏苹果。据此估计这箱苹果中坏苹果约有多少个？ 21. 某食品厂抽检一批袋装食品的质量，随机抽取了 100 袋，检测出合格 95 袋。根据这一结果，估计生产 10000 袋这样的食品，合格品约有多少袋？ 二、进阶思维题 （一）选择题 22.（2025·江苏盐城）某林业部门统计某种树苗在一定条件下的移植成活率，结果如下： 表6 树苗移植成活率数据 移植棵数 400 750 1500 3500 7000 14000 成活棵数 369 691 1335 3203 6335 12628 成活频率 0.923 0.921 0.890 0.915 0.905 0.902 根据表中数据，估计这种树苗移植成活的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.9 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.98 23.（2025·山东青岛）在一个不透明的袋子中装有红白玻璃球共 40 个。小颖做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动中的一组统计数据： 表7 摸球试验数据 摸球次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数 m 28 42 60 150 240 301 摸到红球的频率 m/n 0.280 0.280 0.300 0.300 0.300 0.301 则袋子中红球约有（ ） A. 12 个 B. 15 个 C. 18 个 D. 28 个 24.（2025·四川成都）某事务所在评估一款地震预警系统的可靠性时，进行了大量模拟试验。结果显示：该系统成功预警的频率稳定在 0.85 附近。下列说法正确的是（ ） A. 该系统每次都能成功预警 B. 该系统成功预警的概率约为 0.85 C. 该系统试验 100 次，一定成功预警 85 次 D. 再做一次试验，该系统一定能成功预警 25.（2026·广东）某质检员抽检一批口罩的质量，随机抽取了 200 只，检测出不合格 4 只。下列说法合理的是（ ） A. 这批口罩全部合格 B. 这批口罩的不合格率约为 2% C. 再抽取 200 只，一定有 4 只不合格 D. 这批口罩共有 4 只不合格 26.（2026·浙江）在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除颜色外其他都相同，其中有 4 个是白球。某人每次摸出一个球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 27.（2025·湖北武汉）某商场为了调查顾客对一款新产品的满意度，随机调查了 100 名顾客，其中有 85 人表示满意。若该商场一天接待该产品的顾客为 2000 人，则估计对该产品表示满意的顾客约有（ ） A. 850 人 B. 1700 人 C. 1850 人 D. 2000 人 （二）填空题 28.（2025·湖南）某射手在一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24、0.28、0.19。这个射手在一次射击中，射中 10 环或 9 环的概率约为______。 29.（2026·陕西）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 6 个白球，它们除颜色外都相同。某小组通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.3 附近，则口袋中红球约有______个。 30.（2025·福建）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞 100 条鱼做上标记，然后放回湖里。经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群中，再捕捞第二次鱼共 200 条，其中有 5 条带标记。估计湖里约有______条鱼。 31.（2026·重庆）某同学掷一枚瓶盖 1000 次，经过统计发现“盖面朝上”的频率约为 0.44，则由此估计掷这枚瓶盖出现“盖面朝下”的概率约为_____。 32.（2025·安徽）某厂为了表彰在一次产品质量抽检中表现优秀的员工，准备了 1000 件奖品。根据抽检数据，产品的合格率约为 0.96。若该厂生产了 10000 件产品，则合格品约为______件。 （三）解答题 33.（2025·北京）某商场为了制定营销策略，随机调查了 200 名顾客在该商场的消费金额，结果如下：消费金额在 500 元以上的有 60 人，500 元以下的有 140 人。 （1）估计顾客在该商场消费 500 元以上的概率； （2）若该商场一天接待顾客 3000 人，估计消费 500 元以上的顾客约有多少人？ 34.（2026·天津）某农科所为了考察一种玉米种子的发芽情况，在相同条件下做了大量重复试验，结果如下： 表8 玉米种子发芽试验数据 试验种子数 n 100 200 500 1000 2000 3000 发芽种子数 m 98 192 485 951 1900 2850 发芽频率 （1）计算并填写表中发芽频率； （2）根据表中数据，估计这种玉米种子发芽的概率（精确到 0.01）； （3）若该农科所要保证有 950 粒种子发芽，估计至少需要准备多少粒种子？ 35.（2025·江苏南京）某生物兴趣小组为了估计一片草地中某种蚱蜢的数量，先捕捉了 50 只蚱蜢，做上标记后放回草地。一周后，再次捕捉了 40 只蚱蜢，其中有标记的有 5 只。 （1）估计这片草地中这种蚱蜢的数量； （2）若第二次捕捉时，带标记的蚱蜢有 8 只，结果又如何？ 36.（2026·山东济南）某商场设置了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成若干个扇形），顾客购物满 100 元即可获得一次转动机会。下表是活动进行中的一组统计数据： 表9 转盘试验数据 转动转盘次数 100 150 200 500 800 1000 落在“纸巾”区域次数 19 28 40 102 160 201 落在“纸巾”区域频率 0.190 0.187 0.200 0.204 0.200 0.201 （1）估计转动一次转盘，指针落在“纸巾”区域的概率； （2）若该转盘被等分成 20 个扇形，则“纸巾”区域约占几个扇形？ 三、中考链接题 37.（2025·江苏盐城）某林业部门统计某种幼树移植成活率，结果如下：移植棵数 400 时成活 369 棵，移植棵数 1500 时成活 1335 棵，移植棵数 3500 时成活 3203 棵，移植棵数 7000 时成活 6335 棵。根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.8 B. 0.9 C. 0.95 D. 0.99 38.（2025·山东青岛）在一个不透明的袋子中装有红白玻璃球共 40 个。小颖做摸球试验，摸到红球的频率稳定在 0.30 附近。则袋子中红球约有（ ） A. 10 个 B. 12 个 C. 15 个 D. 28 个 39.（2025·四川成都）某系统成功预警的频率稳定在 0.85 附近。下列说法正确的是（ ） A. 该系统每次都能成功预警 B. 该系统成功预警的概率约为 0.85 C. 该系统试验 100 次，一定成功预警 85 次 D. 再做一次试验，该系统一定能成功预警 40.（2026·广东）某质检员抽检一批口罩，随机抽取 200 只，检测出不合格 4 只。下列说法合理的是（ ） A. 这批口罩全部合格 B. 这批口罩的不合格率约为 2% C. 再抽取 200 只，一定有 4 只不合格 D. 这批口罩共有 4 只不合格 41.（2026·浙江）在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，其中有 4 个是白球。大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 42.（2025·湖北武汉）某商场随机调查了 100 名顾客，其中 85 人表示对某新产品满意。若商场一天接待该产品顾客 2000 人，估计满意顾客约有（ ） A. 850 人 B. 1700 人 C. 1850 人 D. 2000 人 43.（2025·福建）为估计湖里鱼的数量，先捕捞 100 条鱼做标记后放回。再捕捞 200 条鱼，其中带标记的有 5 条。估计湖里约有鱼（ ） A. 1000 条 B. 2000 条 C. 3000 条 D. 4000 条 44.（2026·重庆）某同学掷一枚瓶盖 1000 次，“盖面朝上”的频率约为 0.44。估计掷这枚瓶盖“盖面朝下”的概率约为（ ） A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D. 0.56 45.（2025·北京）某商场随机调查 200 名顾客，消费 500 元以上的有 60 人。若商场一天接待顾客 3000 人，估计消费 500 元以上的顾客约有多少人？ 46.（2026·天津）某农科所做玉米种子发芽试验，试验种子数 3000 粒时发芽 2850 粒。若要保证有 950 粒种子发芽，估计至少需要准备多少粒种子？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第六章 概率的进一步认识 6.2 用频率估计概率 本节知识点总结 1. 当试验的所有可能结果不是等可能的，或试验结果数量很多时，我们无法用列举法求出概率。这时可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计事件发生的概率。 2. 频率的稳定性：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性。 3. 用频率估计概率：当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在某个常数 P 附近，我们就把这个常数 P 作为该事件发生的概率的估计值，即 P（A）≈ 频率。 4. 频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。试验次数越多，频率越稳定，对概率的估计就越精确。 5. 模拟试验：当实际试验费时费力，甚至具有破坏性时，可以用模拟试验代替。例如：用 365 个编有号码的球代表一年 365 天，通过摸球试验估计 50 个人中有 2 人生日相同的概率；也可以用计算器产生 1～365 的随机整数来模拟。 6. 用频率估计概率的应用：可以估计口袋中红球和白球的比例，可以估计鱼塘中鱼的数量（标记重捕法），可以估计产品的合格率、种子的发芽率等。 7. 标记重捕法估计数量：先捕捉 a 只个体做标记后放回，待充分混合后再捕捉 b 只，其中带标记的有 c 只，则总体数量约为 a × b ÷ c。 分层作业 📅 一、基础过关题 （一）频率与概率的关系 【考查要点】理解频率与概率的区别与联系。 【解题方法】频率是某次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，它随试验变化；概率是事件固有的客观属性，是常数。试验次数很大时，频率稳定在概率附近。 1. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上 B. 某事件发生的概率为 ，则在两次重复试验中，一定有一次发生 C. 连续掷一枚硬币，前 5 次都是正面朝上，第 6 次正面朝上的概率仍然是 D. 某篮球运动员投篮命中的概率是 0.8，则他投 10 次球一定命中 8 次 【答案】C。 【解析】概率是事件发生可能性的大小，是一个常数，每次试验的结果是随机的，不等于“一定”发生。抛掷硬币正面朝上的概率始终为 ，与之前的试验结果无关。 【解答】选 C。抛掷硬币正面朝上的概率为 ，每次试验相互独立，第 6 次正面朝上的概率仍然是 。A、B、D 都把概率当成了“必然发生的比例”，是错误的。 故选：C. 2. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率就是概率 B. 试验次数越多，频率越接近概率 C. 试验次数足够大时，频率等于概率 D. 概率是随机的，频率是常数 【答案】B。 【解析】频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。试验次数越大，频率越稳定在概率附近，但频率始终只是概率的估计值，不等于概率。 【解答】选 B。频率随试验变化，概率是常数；试验次数越多，频率越接近概率，但不会等于概率。 故选：B. 3. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A. 频率与试验次数无关 B. 概率是随机的，在试验前不能确定 C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越稳定在概率附近 D. 频率就是概率 【答案】C。 【解析】这是频率稳定性的基本含义：试验次数越大，频率越稳定在概率附近。 【解答】选 C。大量重复试验时，事件发生的频率会在某个常数附近摆动，且摆动幅度越来越小，这个常数就是概率。 故选：C. （二）用频率估计概率的基本概念 【考查要点】理解用频率估计概率的思想方法。 【解题方法】当试验结果不是等可能或结果很多时，通过大量重复试验，用频率的稳定值估计概率。 4. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下列做法最合理的是（ ） A. 只移植 10 棵，看成活几棵 B. 移植 10000 棵，统计成活频率，用频率估计成活率 C. 根据经验直接判断成活率 D. 移植 2 棵都活了，就说成活率是 100% 【答案】B。 【解析】用频率估计概率需要大量重复试验，试验次数越多，估计越精确。 【解答】选 B。移植 10000 棵属于大量重复试验，成活频率稳定后即可作为成活率的估计值。 故选：B . 5. 某工厂为了确定一批产品的次品率，下列方法最合理的是（ ） A. 从这批产品中任意抽取 1 件，看是否为次品 B. 从这批产品中任意抽取 1000 件，统计次品频率 C. 凭经验估计次品率 D. 抽取 5 件产品，全是正品，就说没有次品 【答案】B。 【解析】用频率估计概率需要足够多的试验次数。 【解答】选 B。抽取 1000 件属于大样本，次品频率稳定后即可估计整批产品的次品率。 故选：B . 6. 下列试验中，最适合用“大量重复试验，用频率估计概率”的方法来求概率的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，求点数为 6 的概率 B. 某射手射击一次，命中靶心的概率 C. 抛一枚质地均匀的硬币，求正面朝上的概率 D. 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中摸出 1 个红球的概率 【答案】B。 【解析】A、C、D 都可以用列举法求出等可能结果的概率；B 中射手命中靶心不是等可能结果，且结果数量无法列举，需要通过大量射击试验用频率估计。 【解答】选 B。射击命中靶心的概率无法用列举法求出，需要通过大量射击试验，用命中频率来估计。 故选：B . （三）大量重复试验中的频率估计概率 【考查要点】根据试验数据表，用频率的稳定值估计概率。 【解题方法】观察频率随试验次数变化的趋势，找到频率稳定在哪个常数附近，该常数即为概率的估计值。 7. 某同学做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验，得到的数据如下表： 表1 抛掷硬币试验数据 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 正面朝上的频率 0.530 0.490 0.520 0.505 0.488 根据上表数据，估计抛掷这枚硬币正面朝上的概率约为（ ） A. 0.49 B. 0.50 C. 0.52 D. 0.53 【答案】B。 【解析】随着抛掷次数增加，正面朝上的频率在 0.50 附近摆动，故估计概率约为 0.50。 【解答】观察频率列：0.530、0.490、0.520、0.505、0.488，随着试验次数增加，频率稳定在 0.50 附近。故选 B。 8. 某科技小组做“某种油菜籽在相同条件下的发芽试验”，结果如下： 表2 油菜籽发芽试验数据 每批试验粒数 n 100 300 500 1000 2000 3000 发芽粒数 m 96 282 475 951 1900 2850 发芽频率 m/n 0.960 0.940 0.950 0.951 0.950 0.950 这种油菜籽发芽的概率估计值是（精确到 0.01）（ ） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 【答案】B。 【解析】随着试验粒数增加，发芽频率稳定在 0.95 附近。 【解答】观察频率列：0.960、0.940、0.950、0.951、0.950、0.950，频率稳定在 0.95。 故选 B。 9. 某篮球队教练对一名运动员进行投篮测试，结果如下： 表3 投篮测试数据 投篮次数 50 100 150 200 250 300 投中次数 28 58 85 118 148 180 投中频率 0.560 0.580 0.567 0.590 0.592 0.600 根据上表，估计该运动员投篮一次投中的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B。 【解析】随着投篮次数增加，投中频率稳定在 0.6 附近。 【解答】观察频率列：0.560、0.580、0.567、0.590、0.592、0.600，频率稳定在 0.6 附近。 故选 B。 （四）模拟试验 【考查要点】理解模拟试验的思想，能设计简单的模拟试验方案。 【解题方法】当实际试验费时费力时，用摸球、计算器产生随机数等方式模拟实际试验。 10. 课本中估计“50 个人中有 2 人生日相同”的概率时，采用的模拟试验方法是（ ） A. 直接调查 50 个人的生日 B. 用 365 个编有号码的球代表 365 天，通过摸球来模拟 C. 凭经验猜测 D. 用列举法计算 【答案】B。 【解析】课本中用 365 个编号球模拟 365 天，每次摸出 50 个球作为一次试验，重复多次估计概率。 【解答】选 B。用 365 个编号球代表一年 365 天，每次摸出 50 个球代表 50 个人的生日，重复多次试验，用频率估计概率。 故选：B . 11. 下列模拟试验中，不合理的是（ ） A. 用抛硬币模拟“生男生女”的概率 B. 用摸球试验模拟抽签中奖的概率 C. 用计算器产生随机整数模拟随机抽样 D. 用抛骰子模拟“明天是否下雨”的概率 【答案】D。 【解析】抛骰子只有 6 种等可能结果，而“下雨/不下雨”只有两种结果，且不是等可能的，抛骰子不能模拟。 【解答】选 D。抛骰子有 6 种等可能结果，不能模拟只有“下雨/不下雨”两种结果且非等可能的事件。 故选：D . 12. 某同学想估计“掷一枚瓶盖，盖口朝上”的概率，下列方法最合适的是（ ） A. 掷 1 次瓶盖，看盖口是否朝上 B. 掷 1000 次瓶盖，统计盖口朝上的频率 C. 用抛硬币代替瓶盖试验 D. 凭直觉判断 【答案】B。 【解析】瓶盖质地不均匀，不能用硬币代替；需要大量重复试验用频率估计。 【解答】选 B。瓶盖正反面不均匀，硬币正反面均匀，二者不同；应通过大量掷瓶盖试验，用盖口朝上的频率估计概率。 故选：B . （五）用频率估计概率的应用——估计比例 【考查要点】根据摸球频率估计袋中两种球的比例。 【解题方法】大量有放回摸球后，某种颜色球的频率稳定在该颜色球所占比例附近，据此估计袋中球的比例。 13. 一个不透明的口袋中有红球和白球共 30 个，这些球除颜色外都相同。在多次摸球试验中，摸到红球的频率稳定在 0.4 附近，则口袋中红球约有（ ） A. 6 个 B. 9 个 C. 12 个 D. 15 个 【答案】C。 【解析】摸到红球的频率稳定在 0.4，估计摸到红球的概率为 0.4，故红球数约为 30 × 0.4 = 12。 【解答】P（摸到红球）≈ 0.4，红球数 ≈ 30 × 0.4 = 12（个）。 故选 C。 14. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共 40 个。某学习小组进行摸球试验：每次摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸。下表是试验的一组统计数据： 表4 摸球试验数据 摸球次数 100 200 300 500 800 1000 摸到白球的次数 36 71 103 165 266 333 摸到白球的频率 0.360 0.355 0.343 0.330 0.333 0.333 由此估计口袋中白球的个数约为（ ） A. 10 个 B. 13 个 C. 16 个 D. 20 个 【答案】B。 【解析】摸到白球的频率稳定在 0.33 附近，估计 P（白球）≈ 0.33，白球数 ≈ 40 × 0.33 ≈ 13。 【解答】观察频率列，随着摸球次数增加，白球频率稳定在 0.333 附近。白球数 ≈ 40 × 0.333 ≈ 13（个）。 故选 B。 15. 一个口袋中有红球、白球共 10 个，不将球倒出来数，能估计出其中红球和白球的比例吗？写出你的试验方案。 【答案】能。方案：每次从袋中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回、搅匀，重复多次。统计摸到红球的频率，当频率稳定后，该频率即可作为袋中红球所占比例的估计值。 【解析】这是课本“尝试·交流”中的问题。大量有放回摸球后，红球频率稳定在红球所占比例附近。 【解答】能估计。方案如下： ①每次从袋中随机摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀； ②重复上述过程 500 次或更多； ③统计摸到红球的次数，计算红球频率； ④当频率稳定在某个常数附近时，该常数即为袋中红球所占比例的估计值，进而可得红球与白球的比例。 （六）用频率估计概率的应用——估计数量 【考查要点】用标记重捕法估计总体数量。 【解题方法】先捕捉 a 只做标记后放回，待充分混合后再捕捉 b 只，其中带标记的有 c 只，则总体数量约为 a × b ÷ c。 16. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中打捞 30 条鱼做上标记，然后放回鱼塘。经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再打捞 200 条鱼，发现其中带标记的鱼有 5 条。估计鱼塘中鱼的总数约为（ ） A. 600 条 B. 800 条 C. 1000 条 D. 1200 条 【答案】D。 【解析】设鱼塘中共有 x 条鱼，则 5:200 = 30:x，解得 x = 1200。 【解答】设鱼塘中估计有 x 条鱼。根据标记鱼在样本中的比例等于在总体中的比例： = ，解得 x = 1200。 故选 D。 17. 生物小组为了估计一片树林中某种鸟的数量，先捕获了 40 只这种鸟，给它们做上标记后放回。一周后，又捕获了 30 只这种鸟，发现其中带标记的有 4 只。估计这片树林中这种鸟约有（ ） A. 200 只 B. 300 只 C. 400 只 D. 500 只 【答案】B。 【解析】设总数为 x，则 4:30 = 40:x，解得 x = 300。 【解答】设这种鸟约有 x 只。 = ，解得 x = 300。 故选 B。 18. 某车间为了估计一批零件的总数，先从中随机抽取 100 个零件做上标记，然后放回零件箱中充分混合。再从中随机抽取 50 个零件，发现其中带标记的有 2 个。估计这批零件的总数约为（ ） A. 1000 个 B. 1500 个 C. 2000 个 D. 2500 个 【答案】D。 【解析】设总数为 x，则 2:50 = 100:x，解得 x = 2500。 【解答】设这批零件约有 x 个。 = ，解得 x = 2500。 故选 D。 （七）综合应用 【考查要点】综合运用频率估计概率解决实际问题。 【解题方法】从实际问题中抽象出大量重复试验，用频率的稳定值估计概率，再解决问题。 19. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表： 表5 射击试验数据 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心频率 m/n 0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 （1）计算表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 【答案】（1）见上表；（2）约为 0.90。 【解析】随着射击次数增加，击中靶心的频率稳定在 0.90 附近。 【解答】（1）频率依次为 0.80、0.95、0.88、0.92、0.89、0.91，已填入表中。 （2）观察频率变化趋势，随着射击次数增加，频率稳定在 0.90 附近，故估计这个射手射击一次击中靶心的概率约为 0.90。 20. 某水果超市为了估计一箱苹果（约 200 个）中好坏苹果的比例，从箱中随机摸出 10 个苹果检查，发现有 2 个是坏苹果。据此估计这箱苹果中坏苹果约有多少个？ 【答案】约 40 个。 【解析】样本中坏苹果频率为 = 0.2，估计总体坏苹果率为 0.2。 【解答】样本中坏苹果的频率为 = 0.2。据此估计这箱苹果中坏苹果率约为 0.2。 坏苹果数 ≈ 200 × 0.2 = 40（个）。 21. 某食品厂抽检一批袋装食品的质量，随机抽取了 100 袋，检测出合格 95 袋。根据这一结果，估计生产 10000 袋这样的食品，合格品约有多少袋？ 【答案】约 9500 袋。 【解析】样本合格率为 = 0.95，估计总体合格率为 0.95。 【解答】样本合格率为 = 0.95。据此估计这批食品的合格率约为 0.95。 合格品数 ≈ 10000 × 0.95 = 9500（袋）。 二、进阶思维题 （一）选择题 22.（2025·江苏盐城）某林业部门统计某种树苗在一定条件下的移植成活率，结果如下： 表6 树苗移植成活率数据 移植棵数 400 750 1500 3500 7000 14000 成活棵数 369 691 1335 3203 6335 12628 成活频率 0.923 0.921 0.890 0.915 0.905 0.902 根据表中数据，估计这种树苗移植成活的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.9 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.98 【答案】A。 【解析】随着移植棵数增加，成活频率稳定在 0.90 附近。 【解答】观察频率列，随着试验次数增加，成活频率稳定在 0.90 附近。 故选 A。 23.（2025·山东青岛）在一个不透明的袋子中装有红白玻璃球共 40 个。小颖做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动中的一组统计数据： 表7 摸球试验数据 摸球次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数 m 28 42 60 150 240 301 摸到红球的频率 m/n 0.280 0.280 0.300 0.300 0.300 0.301 则袋子中红球约有（ ） A. 12 个 B. 15 个 C. 18 个 D. 28 个 【答案】A。 【解析】红球频率稳定在 0.30，红球数 ≈ 40 × 0.30 = 12。 【解答】红球频率稳定在 0.30 附近，红球数 ≈ 40 × 0.30 = 12（个）。 故选 A。 24.（2025·四川成都）某事务所在评估一款地震预警系统的可靠性时，进行了大量模拟试验。结果显示：该系统成功预警的频率稳定在 0.85 附近。下列说法正确的是（ ） A. 该系统每次都能成功预警 B. 该系统成功预警的概率约为 0.85 C. 该系统试验 100 次，一定成功预警 85 次 D. 再做一次试验，该系统一定能成功预警 【答案】B。 【解析】频率稳定在 0.85 附近，说明成功预警的概率估计值约为 0.85，但每次试验结果是随机的。 【解答】选 B。大量试验中成功预警的频率稳定在 0.85，故估计成功预警的概率约为 0.85；但每次试验结果是随机的，不能说“一定”。 故选：B . 25.（2026·广东）某质检员抽检一批口罩的质量，随机抽取了 200 只，检测出不合格 4 只。下列说法合理的是（ ） A. 这批口罩全部合格 B. 这批口罩的不合格率约为 2% C. 再抽取 200 只，一定有 4 只不合格 D. 这批口罩共有 4 只不合格 【答案】B。 【解析】样本不合格率为 = 0.02 = 2%，据此估计总体不合格率约为 2%。 【解答】样本不合格率为 = 2%，据此估计这批口罩的不合格率约为 2%。 故选 B。 26.（2026·浙江）在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除颜色外其他都相同，其中有 4 个是白球。某人每次摸出一个球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A。 【解析】 ≈ 0.4，解得 n ≈ 10。 【解答】由题意，摸到白球的概率约为 0.4，即 ≈ 0.4，解得 n ≈ 10。 故选 A。 27.（2025·湖北武汉）某商场为了调查顾客对一款新产品的满意度，随机调查了 100 名顾客，其中有 85 人表示满意。若该商场一天接待该产品的顾客为 2000 人，则估计对该产品表示满意的顾客约有（ ） A. 850 人 B. 1700 人 C. 1850 人 D. 2000 人 【答案】B。 【解析】样本满意率为 0.85，估计总体满意人数 ≈ 2000 × 0.85 = 1700。 【解答】样本满意率为 = 0.85，估计满意人数 ≈ 2000 × 0.85 = 1700（人）。 故选 B。 （二）填空题 28.（2025·湖南）某射手在一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24、0.28、0.19。这个射手在一次射击中，射中 10 环或 9 环的概率约为___0.52___。 【答案】0.52。 【解析】射中 10 环或 9 环的概率为 0.24 + 0.28 = 0.52。 【解答】P（10 环或 9 环）= 0.24 + 0.28 = 0.52。 29.（2026·陕西）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 6 个白球，它们除颜色外都相同。某小组通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.3 附近，则口袋中红球约有___14___个。 【答案】14。 【解析】设红球有 x 个，则 ≈ 0.3，解得 x ≈ 14。 【解答】设红球有 x 个。 ≈ 0.3，解得 x ≈ 14。 30.（2025·福建）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞 100 条鱼做上标记，然后放回湖里。经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群中，再捕捞第二次鱼共 200 条，其中有 5 条带标记。估计湖里约有___4000___条鱼。 【答案】4000。 【解析】设总数为 x，则 = ，解得 x = 4000。 【解答】设湖里约有 x 条鱼。 = ，解得 x = 4000。 31.（2026·重庆）某同学掷一枚瓶盖 1000 次，经过统计发现“盖面朝上”的频率约为 0.44，则由此估计掷这枚瓶盖出现“盖面朝下”的概率约为___0.56___。 【答案】0.56。 【解析】盖面朝上和朝下是对立事件，概率之和为 1。 【解答】P（盖面朝下）≈ 1 - 0.44 = 0.56。 32.（2025·安徽）某厂为了表彰在一次产品质量抽检中表现优秀的员工，准备了 1000 件奖品。根据抽检数据，产品的合格率约为 0.96。若该厂生产了 10000 件产品，则合格品约为___9600___件。 【答案】9600。 【解析】合格品数 ≈ 10000 × 0.96 = 9600。 【解答】合格品数 ≈ 10000 × 0.96 = 9600（件）。 （三）解答题 33.（2025·北京）某商场为了制定营销策略，随机调查了 200 名顾客在该商场的消费金额，结果如下：消费金额在 500 元以上的有 60 人，500 元以下的有 140 人。 （1）估计顾客在该商场消费 500 元以上的概率； （2）若该商场一天接待顾客 3000 人，估计消费 500 元以上的顾客约有多少人？ 【答案】（1）约为 0.3；（2）约 900 人。 【解析】样本中消费 500 元以上的频率为 = 0.3，用此估计总体。 【解答】（1）样本中消费 500 元以上的频率为 = 0.3，估计顾客消费 500 元以上的概率约为 0.3。 （2）估计消费 500 元以上的顾客数 ≈ 3000 × 0.3 = 900（人）。 34.（2026·天津）某农科所为了考察一种玉米种子的发芽情况，在相同条件下做了大量重复试验，结果如下： 表8 玉米种子发芽试验数据 试验种子数 n 100 200 500 1000 2000 3000 发芽种子数 m 98 192 485 951 1900 2850 发芽频率 0.980 0.960 0.970 0.951 0.950 0.950 （1）计算并填写表中发芽频率； （2）根据表中数据，估计这种玉米种子发芽的概率（精确到 0.01）； （3）若该农科所要保证有 950 粒种子发芽，估计至少需要准备多少粒种子？ 【答案】（1）见上表；（2）约为 0.95；（3）约 1000 粒。 【解析】频率稳定在 0.95 附近；用 950 ÷ 0.95 反推所需种子数。 【解答】（1）发芽频率已填入表中。 （2）随着试验种子数增加，发芽频率稳定在 0.95 附近，故估计这种玉米种子发芽的概率约为 0.95。 （3）设需要准备 x 粒种子，则 x × 0.95 ≈ 950，解得 x ≈ 1000（粒）。 35.（2025·江苏南京）某生物兴趣小组为了估计一片草地中某种蚱蜢的数量，先捕捉了 50 只蚱蜢，做上标记后放回草地。一周后，再次捕捉了 40 只蚱蜢，其中有标记的有 5 只。 （1）估计这片草地中这种蚱蜢的数量； （2）若第二次捕捉时，带标记的蚱蜢有 8 只，结果又如何？ 【答案】（1）约 400 只；（2）约 250 只。 【解析】用标记重捕法公式：总数 ≈ 标记数 × 重捕数 ÷ 重捕中标记数。 【解答】（1）设这种蚱蜢约有 x 只。 = ，解得 x = 400。 （2）若带标记的有 8 只，则 = ，解得 x = 250。 36.（2026·山东济南）某商场设置了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成若干个扇形），顾客购物满 100 元即可获得一次转动机会。下表是活动进行中的一组统计数据： 表9 转盘试验数据 转动转盘次数 100 150 200 500 800 1000 落在“纸巾”区域次数 19 28 40 102 160 201 落在“纸巾”区域频率 0.190 0.187 0.200 0.204 0.200 0.201 （1）估计转动一次转盘，指针落在“纸巾”区域的概率； （2）若该转盘被等分成 20 个扇形，则“纸巾”区域约占几个扇形？ 【答案】（1）约为 0.20；（2）约占 4 个扇形。 【解析】频率稳定在 0.20 附近；20 × 0.20 = 4。 【解答】（1）观察频率列，随着转动次数增加，频率稳定在 0.20 附近，故估计 P（落在“纸巾”区域）≈ 0.20。 （2）“纸巾”区域约占 20 × 0.20 = 4（个）扇形。 三、中考链接题 37.（2025·江苏盐城）某林业部门统计某种幼树移植成活率，结果如下：移植棵数 400 时成活 369 棵，移植棵数 1500 时成活 1335 棵，移植棵数 3500 时成活 3203 棵，移植棵数 7000 时成活 6335 棵。根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率约为（精确到 0.1）（ ） A. 0.8 B. 0.9 C. 0.95 D. 0.99 【答案】B。 【解析】成活频率依次为 0.923、0.890、0.915、0.905，稳定在 0.9 附近。 【解答】成活频率稳定在 0.9 附近， 故选 B。 38.（2025·山东青岛）在一个不透明的袋子中装有红白玻璃球共 40 个。小颖做摸球试验，摸到红球的频率稳定在 0.30 附近。则袋子中红球约有（ ） A. 10 个 B. 12 个 C. 15 个 D. 28 个 【答案】B。 【解析】红球数 ≈ 40 × 0.30 = 12。 【解答】红球数 ≈ 40 × 0.30 = 12（个）。 故选 B。 39.（2025·四川成都）某系统成功预警的频率稳定在 0.85 附近。下列说法正确的是（ ） A. 该系统每次都能成功预警 B. 该系统成功预警的概率约为 0.85 C. 该系统试验 100 次，一定成功预警 85 次 D. 再做一次试验，该系统一定能成功预警 【答案】B。 【解析】频率稳定值是概率的估计，但每次试验结果随机。 【解答】选 B。频率稳定在 0.85，说明成功预警概率估计值约为 0.85。 故选 B。 40.（2026·广东）某质检员抽检一批口罩，随机抽取 200 只，检测出不合格 4 只。下列说法合理的是（ ） A. 这批口罩全部合格 B. 这批口罩的不合格率约为 2% C. 再抽取 200 只，一定有 4 只不合格 D. 这批口罩共有 4 只不合格 【答案】B。 【解析】样本不合格率为 = 2%，估计总体不合格率约为 2%。 【解答】样本不合格率为 = 2%， 故选 B。 41.（2026·浙江）在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，其中有 4 个是白球。大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A。 【解析】 ≈ 0.4，解得 n ≈ 10。 【解答】 ≈ 0.4，解得 n ≈ 10。 故选 A。 42.（2025·湖北武汉）某商场随机调查了 100 名顾客，其中 85 人表示对某新产品满意。若商场一天接待该产品顾客 2000 人，估计满意顾客约有（ ） A. 850 人 B. 1700 人 C. 1850 人 D. 2000 人 【答案】B。 【解析】满意率 0.85，2000 × 0.85 = 1700。 【解答】估计满意人数 ≈ 2000 × 0.85 = 1700（人）。 故选 B。 43.（2025·福建）为估计湖里鱼的数量，先捕捞 100 条鱼做标记后放回。再捕捞 200 条鱼，其中带标记的有 5 条。估计湖里约有鱼（ ） A. 1000 条 B. 2000 条 C. 3000 条 D. 4000 条 【答案】D。 【解析】 = ，解得 x = 4000。 【解答】设湖里约有 x 条鱼。 = ，解得 x = 4000。 故选 D。 44.（2026·重庆）某同学掷一枚瓶盖 1000 次，“盖面朝上”的频率约为 0.44。估计掷这枚瓶盖“盖面朝下”的概率约为（ ） A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D. 0.56 【答案】D。 【解析】盖面朝下概率 ≈ 1 - 0.44 = 0.56。 【解答】P（盖面朝下）≈ 1 - 0.44 = 0.56。 故选 D。 45.（2025·北京）某商场随机调查 200 名顾客，消费 500 元以上的有 60 人。若商场一天接待顾客 3000 人，估计消费 500 元以上的顾客约有多少人？ 【答案】约 900 人。 【解析】样本频率 0.3，3000 × 0.3 = 900。 【解答】样本中消费 500 元以上的频率为 = 0.3，估计消费 500 元以上的顾客数 ≈ 3000 × 0.3 = 900（人）。 46.（2026·天津）某农科所做玉米种子发芽试验，试验种子数 3000 粒时发芽 2850 粒。若要保证有 950 粒种子发芽，估计至少需要准备多少粒种子？ 【答案】约 1000 粒。 【解析】发芽率 ≈ 0.95，950 ÷ 0.95 = 1000。 【解答】发芽率 ≈ = 0.95。设需要准备 x 粒种子，则 x × 0.95 ≈ 950，解得 x ≈ 1000（粒）。 学科网（北京）股份有限公司 $