6.1用树状图或表格求概率（分层作业，7大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 6.1用树状图或表格求概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 列表法或树状图法求概率 题型02 游戏的公平性 B组 能力进阶 题型 根据概率设计配色游戏 C组 思维拔高 题型01 几何概率 题型02 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率 题型03 由概率求平均次数 题型04 概率在保险业中的应用 列表法或树状图法求概率题型01 1．（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，先确定剩余咖啡的总数和其中有奖咖啡的数量，再列举出所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一箱共6瓶咖啡，原本有2瓶有奖，明明连续打开2瓶均未中奖， ∴剩余咖啡数量为瓶，剩余咖啡中有奖咖啡仍为2瓶，未中奖咖啡为2瓶， 将剩余4瓶编号：有奖两瓶记为、，未中奖两瓶记为、， 从4瓶中任意拿2瓶，所有等可能的情况有：，，，，，，共6种， 其中2瓶都中奖的情况只有这1种， ∴所求概率为， 故选：D． 2．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案． 【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等． 点坐标在双曲线上有2种情况: ，． 所以，这个事件的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 3．如图是一张靶纸，共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环，假设小明投中10环，8环，6环的概率相同，小明两次投中概率最大的环数是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】列出两次投中的所有等可能结果，从中找到所得环数的和最多的即可得. 【详解】①投中2个10环，共20环； ②投中2个8环，共得16环； ③投中2个6环，共得12环； ④投中1个10环、1个8环，共得18环； ⑤投中1个10环、1个6环，共得16环； ⑥投中1个8环、1个6环，共得14环； 在以上所列5中结果中，小明两次投中16环次数最多， 所以小明两次投中概率最大的环数是16环. 故选：. 【点睛】本题主要考查概率公式应用，解题的关键是掌握枚举法列出所有等可能结果. 4．一对夫妇生一个孩子，生男孩和生女孩的机会相等，如果有一对夫妇有3个孩子，则既有男孩，也有女孩的概率为______． 【答案】 【分析】先确定3个孩子性别的所有等可能结果总数，再用列举法求出既有男孩也有女孩的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，每个孩子的性别有2种等可能的情况，因此3个孩子的性别所有等可能结果： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，女）（男，女，男），（女，女，男），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，女），总数为8， 其中全为男孩的结果有1种，全为女孩的结果有1种， 因此既有男孩也有女孩的结果数为， 根据概率公式，所求概率为． 5．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有_____种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是________． 【答案】 6 【分析】（1）根据表格中列出的可能的情况求解即可； （2）根据表格中列出的能让灯泡发光的有4种情况，总共有6种等可能的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由表格可得，所有等可能的情况分别为：(S2，S1) ，(S3，S1) ，(S1，S2) ，(S3，S2) ，(S1，S3) ，(S2，S3) ， 所以共有6种等可能的情况， 故答案为：6． 由表格可得，其中能让灯泡发光的情况有：(S3，S1) ，(S3，S2) ，(S1，S3) ，(S2，S3) ， ∴能让灯泡发光的情况有4种， ∴能让灯泡发光的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法求概率．解题的关键是熟练掌握列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是______． 【答案】 【分析】由题意根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：如图假设围棋盘上两个格子的格点分别为， 白球在网格上有6种摆放方法，两棋子不在同一条格线上的摆放记为（白，黑）共有12种摆放方法， 其中，恰好摆放成如图所示位置的情况只有1种， 故概率为：. 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法.注意掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 7．某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇(转盘等分成16份) (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会? (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少?他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少? 【答案】（1）不能；（2）；；；； 【分析】（1）根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件； （2）根据概率的计算方法，可得出答案． 【详解】（1）根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件． 故答案为：不能获得转动转盘的机会． （2）乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会． 由于转盘被均分成16份，每份被转到的机会均等， 其中打折的占5份，故获得打折待遇的概率为P=； 九折占2份，故获得九折待遇的概率为P=； 八折占1份，故获得八折待遇的概率为P=； 七折占1份，故获得七折待遇的概率为P=； 五折占1份，故获得五折待遇的概率为P=． 故答案为：他获得打折待遇的概率为；他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是；；；． 【点睛】本题主要考查概率，掌握概率的计算方法是解答本题的关键． 8．（2025·青海西宁·三模）某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分）                     频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______；所抽取学生理论知识成绩的中位数是______； (2)扇形统计图中对应的圆心角的度数为______． (3)请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为______； (4)学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲的理论知识成绩为95分，实践操作成绩为85分．乙的理论知识成绩为90分，实践操作成绩为90分请利用这种评价方法，比较甲成绩______乙成绩（填，或） (5)现要从理论知识成绩在的2男3女中任选两人进行实践操作培训，请用列举法求出所有等可能结果，并计算出恰好选2男生的概率． 【答案】(1)15；83.5 (2) (3)900 (4) (5) 【分析】本题考查了概率与统计综合，中位数的概念，求扇形圆心角度数，中位数的概念，概率等，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键； （1）先利用A组的人数和占比求出被抽取的学生总人数，再求的值；利用中位数的概念求解； （2）用去乘C组所占的百分比，计算可得结果； （3）利用样本所占百分比估计总体的数量； （4）根据题意计算可得结果； （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，根据题意列举，再求概率即可． 【详解】（1）由图知，理论知识成绩在A组的有5人，占， 抽取的学生总人数为人， ， 这50人成绩从高到低排在第25，26位的平均数为， 所抽取学生理论知识成绩的中位数是83.5 故答案为：15；83.5 （2）． 扇形统计图中对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （3）． 估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为900． 故答案为：900． （4）甲的成绩等于分，乙的成绩等于分， 甲成绩乙成绩． 故答案为：． （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，从中任取两人的情况列举如下： ，，，，，，，，，． 总共有10种等可能结果，其中恰好选2男生的只有1种，其概率为． 游戏的公平性题型02 1．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此来求解． 【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)， 即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是， 则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平． 故选：C． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 3．本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：最多报3个，最少报1个，和为4； 要抢到33，就必须先抢到33﹣4=29，同理，还必须抢到25、21、17、13、9、5，1，所以先报到1就必胜了． 故选A． 4．（2025·辽宁大连·一模）甲和乙按如下规则玩游戏：开始时两人都为0分，每轮随机掷一枚均匀的正方体骰子，若朝上的点数是1或2，则甲得2分；若朝上的点数是3，4，5或6，则乙得1分．重复若干轮，先达到4分者获胜，则这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．公平 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查的是概率的应用——游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，这是关键．通过计算甲和乙在不同得分状态下的获胜概率，得出甲获胜的总概率大于乙，因此游戏规则对甲有利． 【详解】设为甲得分、乙得分时甲获胜的概率， 当，甲已胜，； 当，乙已胜，； 对于且，每轮有两种可能： 甲得2分（概率），此时状态变为； 乙得1分（概率），此时状态变为； 因此：， ：甲再得2分即胜，否则乙胜， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲得2分则胜，否则进入， ； ：甲需两次得2分，否则乙胜， ； ：甲需两次得2分，否则进入， ； ：甲需两次得2分，否则进入， ； 初始状态的值为：， 则甲获胜概率为，乙为， 即游戏对甲有利． 故选：A． 5．盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢．( )赢的可能性大． 【答案】小明 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，游戏规则的公平性，质数和合数的概念，正确掌握相关知识是解题的关键．先列出中质数和合数，再分别算出小红赢的可能性和小明赢的可能性，再比较大小，即可作答． 【详解】解：中质数有、、、、、，共个数； 合数有、、、、、、、，共个数； 小红赢的可能性为， 小明赢的可能性为， ， 小明赢的可能性大． 故答案为：小明 ． 6．小英和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色）每个转盘均被分成面积相等的几个扇形，将两个转盘各转动一次，若配成紫色，则小英获胜，否则小丽获胜，则小英获胜的概率是 __________________，小丽获胜的概率是 __________________，可知这个戏规则 ________．（填“公平”或“不公平”）    【答案】 不公平 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出配成紫色的结果数，然后计算出小英获胜的概率和小丽获胜的概率，于是通过比较两概率大小可判断游戏规则是否公平． 【详解】解：画树状图为：    共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果数为3， 则小英获胜的概率，小丽获胜的概率为， ， 这个游戏规则不公平． 故答案为：，，不公平． 7．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：任意掷出骰子，出现的点数情况如下： 1，2，3，4，5，6，共六种情况． ，，因此这个游戏公平． 故答案为：公平． 8．新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明如下： 将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【详解】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）略 根据概率设计配色游戏题型 1．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，同时转动两个转盘一次，可能出现的结果为（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（白，黄），（白，蓝），（白，绿），共6种等可能的结果，其中配成紫色的结果只有（红，蓝）1种， ∴； 故选A． 2．“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是__________． 【答案】 【分析】列举出所有情况，让她获得现金数不低于50元的情况数除以总情况数即为所求的概率 【详解】解：由题意得，李女士能转动2次转盘，2次可能得到的情况为：(10，10)，(10，20)，(10，30)，(10，40)，(20，10)，(20，20)，(20，30)，(20，40)，(30，10)，(30，20)，(30，30)，(30，40)，(40，10)，(40，20)，(40，30)，(40，40)共计16种， 她获得现金数不低于50元的情况数：1+2+3+4=10 ∴李女士获得现金数不低于50元的概率是：10÷16= 故答案为： 【点睛】本题考查的是列举法求两步事件的概率，注意随机转两次转盘，属于放回事件． 3．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 【答案】答案见详解. 【分析】可把一个转盘分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，这样可进行“配紫色”游戏，且使配得紫色的概率是. 【详解】解：两个转盘，其中一个转盘被分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，同时转动两个转盘，把转盘停止时指针所指的两种颜色进行配色，求配得紫色的概率． 如图，画树状图： 共有6种可能的结果数，其中配得紫色（红+蓝）的结果数为2，所以配得紫色的概率＝． 【点睛】考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3) 设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）略 5．为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)______；D类所在扇形圆心角的度数为______； (2)学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为1－6的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率． 【答案】(1)18，43.2° (2) 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形圆心角的度数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得调查的人数，用调查的人数乘以扇形统计图中A的百分比可得m的值，用乘以D的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小球掉落到5号卡槽的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， ∴，， ∴D类所在扇形圆心角的度数为， 故答案为：18，； （2）解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中小球掉落到5号卡槽的结果有1种， ∴小球掉落到5号卡槽的概率为． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2) 如图所示： 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个． 7．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）指针指向数字5的概率； （2）指针指向数字是偶数的概率； （3）请你用这个转盘设计一个游戏，使自己获胜的概率为． 【答案】（1）P（指向数字5）；（2）P（指向偶数）；（3）（答案不唯一）自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于4时，自己获胜 【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字5的只有1种，由概率公式可得； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字偶数的有2，4，6，共3种，由概率公式可得； （3）由获胜概率为，由概率公式可得有4种能性，从而设计出指针指向的数字不大于4获胜； 【详解】解：（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字5的只有1种，由概率公式可得：P（指向数字5）； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字偶数的有2，4，6，共3种，由概率公式可得：P（指向偶数）； （3）设计游戏为：指针指向的数字不大于4获胜，其获胜概率为，理由如下： 转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向的数字不大于4有1，2，3，4，共4种，由概率公式得：P（指向数字不大于4）． 【点睛】本题主要考查随机事件及其概率的计算，列举出所有等可能出现的结果情况及所求事件包含的情况数是计算相应事件发生概率的关键． 8．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3) 解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 几何概率题型01 1．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率的计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，然后利用它们之间的长度比即可得出答案． 【详解】解：数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，那么该点落在之间的概率为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题侧重考查几何概率，根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形；设出图中两个小三角形面积分别为，根据平行线的性质可得；接下来根据概率的计算公式可求白色部分的面积占平行四边形面积的比，即可求飞镖落在白色区域的概率． 【详解】解：根据平行线的性质可得， 根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 所以飞镖落在阴影区域的概率为：； 故选：B． 3．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．转盘停止转动时，指针落在阴影区域的可能性最大的转盘是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】确定指针落在阴影区域的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出四个选项中转盘停止转动时指针落在阴影区域的概率，然后比较即可． 【解答】解：A、圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，所以指针落在阴影区域的概率是； B、圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，所以指针落在阴影区域的概率是； C、圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，所以指针落在阴影区域的概率是； D、圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，所以指针落在阴影区域的概率是； ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查事件发生的可能性大小和几何概率的求法，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例就是事件（A）发生的可能性即该事件发生的概率．关键是求出每种情况发生的可能性． 4．取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米，从而找出中间1m处的两个界点，即可得出答案． 【详解】解：记“剪得两段的长都不少于1米”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不少于1米， ∴事件A发生的概率为P（A）=； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式；找出中间1m处的两个界点是解题的关键． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴针尖落在阴影区域内的概率为． 故答案为： 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键．由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的，即可求出该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率． 【详解】解：由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的， ∴在图②中任取一点，该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·月考）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 8．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率题型02 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 【答案】(1) 解：我认为以上两位同学的想法是错误的． 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种，这些结果是等可能的．其中红色扇形有2个，黄色扇形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是．因此小杰的想法是错误的． 转盘是均匀的．无论前面转动结果如何，再转一次，结果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率．因此，小颖的想法是错误的． (2) 解：不公平． 由（1）可得小杰获胜的概率是，小颖获胜的概率是， ∵， ∴游戏不公平， 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可． 【分析】本题考查了概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算并判断即可得解； （2）根据概率公式计算即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 【答案】(1) 解：不同意，理由如下： ∵一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球， ∴搅匀后从中任意摸出一个球，白球概率是；红球概率是； ∵， ∴摸出白球和摸出红球这两个事件不是等可能的； (2) (3)添加5个红球 【分析】本题考查了求简单事件的概率及用树状图或列表法求稍复杂事件的概率，分式方程的应用，解答本题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验，同时熟记概率=所求情况数与总情况数之比． （1）求出分别摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率即可； （2）用画树状图法列出所有可能的结果即可判断； （3）设应添加x个红球，根据摸出红球的概率为即可列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：树状图如图： ∴P（两个球都是白球）； （3）解：设应添加x个红球，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴应添加5个红球． 由概率求平均次数题型03 1．（2025·贵州·模拟）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 3．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 4．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 5．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转动停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券15元．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算？ 【答案】 解：转转盘平均可获得（元）， 而直接获得购物券15元， ∴直接获得购物券更合算． 【分析】首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再和直接获得15元购物券作比较即可求得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查概率公式的应用，涉及到概率＝所求情况数与总情况数之比，解本题的关键是求出转转盘可能得到的购物券钱数． 6．有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【答案】(1) (2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利 【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可． （2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可． 【详解】（1）解：对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9． 所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． ∵， ∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． 【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 8．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) (2)选择方案二更划算 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率． （1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据； ②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可； （2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 概率在保险业中的应用题型04 1．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 2．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 3．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.1用树状图或表格求概率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 列表法或树状图法求概率 题型02 游戏的公平性 B组 能力进阶 题型 根据概率设计配色游戏 C组 思维拔高 题型01 几何概率 题型02 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率 题型03 由概率求平均次数 题型04 概率在保险业中的应用 列表法或树状图法求概率题型01 1．（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 2．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一张靶纸，共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环，假设小明投中10环，8环，6环的概率相同，小明两次投中概率最大的环数是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 4．一对夫妇生一个孩子，生男孩和生女孩的机会相等，如果有一对夫妇有3个孩子，则既有男孩，也有女孩的概率为______． 5．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有_____种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是________． 6．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是______． 7．某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇(转盘等分成16份) (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会? (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少?他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少? 8．（2025·青海西宁·三模）某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分）                     频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______；所抽取学生理论知识成绩的中位数是______； (2)扇形统计图中对应的圆心角的度数为______． (3)请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为______； (4)学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲的理论知识成绩为95分，实践操作成绩为85分．乙的理论知识成绩为90分，实践操作成绩为90分请利用这种评价方法，比较甲成绩______乙成绩（填，或） (5)现要从理论知识成绩在的2男3女中任选两人进行实践操作培训，请用列举法求出所有等可能结果，并计算出恰好选2男生的概率． 游戏的公平性题型02 1．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 2．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 3．本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 4．（2025·辽宁大连·一模）甲和乙按如下规则玩游戏：开始时两人都为0分，每轮随机掷一枚均匀的正方体骰子，若朝上的点数是1或2，则甲得2分；若朝上的点数是3，4，5或6，则乙得1分．重复若干轮，先达到4分者获胜，则这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．公平 D．无法确定 5．盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢．( )赢的可能性大． 6．小英和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色）每个转盘均被分成面积相等的几个扇形，将两个转盘各转动一次，若配成紫色，则小英获胜，否则小丽获胜，则小英获胜的概率是 __________________，小丽获胜的概率是 __________________，可知这个戏规则 ________．（填“公平”或“不公平”）    7．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 8．新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 根据概率设计配色游戏题型 1．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 2．“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是__________． 3．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 5．为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)______；D类所在扇形圆心角的度数为______； (2)学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为1－6的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 7．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）指针指向数字5的概率； （2）指针指向数字是偶数的概率； （3）请你用这个转盘设计一个游戏，使自己获胜的概率为． 8．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 几何概率题型01 1．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 3．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．转盘停止转动时，指针落在阴影区域的可能性最大的转盘是（　　） A． B． C． D． 4．取一根长为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于米的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 7．（24-25七年级下·陕西西安·月考）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 8．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率题型02 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 由概率求平均次数题型03 1．（2025·贵州·模拟）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 3．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 4．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 5．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转动停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券15元．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算？ 6．有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 7．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 8．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 概率在保险业中的应用题型04 1．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 2．某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 3．人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $