25.2随机事件的概率（题型专练）数学华东师大版九年级上册

25.2随机事件的概率 题型一 概率的意义理解 1．（23-24九年级上·全国·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 2．（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 4．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 5．（2022·内蒙古乌海·一模）下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 6．（22-23七年级上·广东东莞·开学考试）一次抽奖活动的中奖率是，抽100次一定会中奖． （判断对错） 题型二 判定几个事件概率的大小关系 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 3．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 4．（2023·福建泉州·一模）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 5．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 7．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型三 关于频率与概率关系说法的正误 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 题型四 求某事件频率 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）某大型生鲜超市购进一批苹果，在运输、储存过程中部分苹果损坏，超市工作人员从这批苹果中随机抽取了若干苹果进行“苹果损坏率”统计，并将得到的数据记录在下表： 苹果的总个数／个 损坏的苹果个数／个 苹果损坏的频率 (1)表格中______，______；（结果精确到） (2)根据上表，若从这批苹果中随机拿取一个苹果，估计这个苹果损坏的概率（结果精确到） 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 7．（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 题型五 由频率估计概率 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 3．（25-26九年级上·福建三明·阶段练习）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数n/粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为（   ） A．4850 B．4750 C．4500 D．4000 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为 ． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格（n为随机抽取的零件个数，m为合格的零件个数），根据表格，若从该批零件中任取1个，取出的零件合格的概率约为 ．（结果精确到0.1） n 20 50 100 500 1000 m 18 49 91 450 910 合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.91 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 题型一 列表法或树状图求概率 1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）将分别标有“文”、“昌”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的概率是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中同一个主题的概率是 ． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”，这些小球除汉字不同之外，没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为_______； (2)小明同学从口袋中任取一个球，记下标有的汉字后放回，再从口袋中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为______； (2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率． 9．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球．它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是．在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积不大于的概率． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动、小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A、B、C、D依次代表这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ； (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 题型二 根据概率公式计算概率 1．（24-25九年级下·广东中山·期中）从实数，0，，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 4．（23-24九年级下·广东·阶段练习）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 ． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是 ． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个，随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为 ． 题型三 已知概率求数量 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 4．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2，则估计口袋中白球的个数为（　　） A．20个 B．16个 C．10个 D．8个 5．（18-19九年级下·广东深圳·阶段练习）不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 6．（2020·辽宁锦州·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 7．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 8．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子中有形状相等，颜色不同的红，白两种球，已知红球有5个，随机摸一个球是白球的概率是，则袋子里有白球 个． 9．（23-24九年级上·全国·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个小球（除颜色不同，其余都相同），其中有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中共有小球 个．10．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 11．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的布袋中装有6枚黑棋子和16枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．现往布袋中再放入m枚黑棋子并混匀，进行如下试验：从布袋中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回布袋中混匀．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计m的值． 题型四 几何概率 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（13-14七年级下·河南开封·期末）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（13-14七年级下·福建漳州·阶段练习）假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 8．（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 9．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 10．（25-26七年级上·北京·阶段练习）如果飞镖随意地投向如图所示的木板且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是 ．（用分数表示） 11．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 题型五 游戏的公平性 1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 2．（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 5．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 7．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 8．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 题型一 概率在生活中的应用 1．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 3．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 6．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 8．（20-21七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 9．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2随机事件的概率 题型一 概率的意义理解 1．（23-24九年级上·全国·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．连续抛一枚均匀硬币2次，都可能反面朝上，原说法错误，符合题意； B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上，原说法正确，不符合题意； C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次，原说法正确，不符合题意； D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 4．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 5．（2022·内蒙古乌海·一模）下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，即可解决，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量，概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生． 【详解】解：A、每个点数出现的机会是相同的， 故错误； B、可能性很小的事件，只是出现的机会比较小，也可能发生，故错误； C、天气预报说明天下雨的概率是，是指降雨这件事发生的可能性是，并不表示下雨的时间占总时间的一半，故错误； D、由于图钉的结构不对称，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以它们的概率不相等，故正确． 故选：D． 6．（22-23七年级上·广东东莞·开学考试）一次抽奖活动的中奖率是，抽100次一定会中奖． （判断对错） 【答案】× 【分析】本题考查了概率的基本概念，正确理解概率的含义是解题的关键． 一次抽奖活动的中奖率是，说明中奖的可能性是，多次抽奖的结果不能保证必然发生． 【详解】解：一次抽奖活动的中奖率是，说明中奖的可能性是，抽奖100次会提高中奖的机会，但不一定能中奖，故原题说法不正确． 故答案为：×． 题型二 判定几个事件概率的大小关系 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 3．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 4．（2023·福建泉州·一模）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】A 【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解． 【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意； 选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【详解】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点睛】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 7．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型三 关于频率与概率关系说法的正误 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 题型四 求某事件频率 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）某大型生鲜超市购进一批苹果，在运输、储存过程中部分苹果损坏，超市工作人员从这批苹果中随机抽取了若干苹果进行“苹果损坏率”统计，并将得到的数据记录在下表： 苹果的总个数／个 损坏的苹果个数／个 苹果损坏的频率 (1)表格中______，______；（结果精确到） (2)根据上表，若从这批苹果中随机拿取一个苹果，估计这个苹果损坏的概率（结果精确到） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了由频率估计概率． 根据表中苹果的总个数与坏果的个数求出苹果损坏的频率、的值即可； 根据表格发现：随着苹果总个数的增加，苹果损坏的频率稳定在，由频率估计概率，可得：随机拿取一个苹果，估计这个苹果损坏的概率为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：根据表格发现：随着苹果总个数的增加，苹果损坏的频率稳定在， 随机拿取一个苹果，估计这个苹果损坏的概率为． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 7．（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式求，根据优秀数量抽取作业数量×优秀频率求即可； （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【答案】(1)；264 (2)见解析 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 题型五 由频率估计概率 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可． 【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 3．（25-26九年级上·福建三明·阶段练习）在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表： 试验种子数n/粒 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 根据试验结果，若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为（   ） A．4850 B．4750 C．4500 D．4000 【答案】B 【分析】本题考查了由频率估计概率，从表格数据可以看出，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在左右，由此计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：从表格数据可以看出，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在左右， 若试验的种子数为5000粒，则发芽数约为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】B 【分析】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为 ． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，通过观察可得出“出现两个正面的频分析:率"将稳定在附近，进而用其值来估计概率即可． 【详解】解：∵随着试验次数的增加，“出现两个正面的频率”将稳定在， ∴“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为， 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格（n为随机抽取的零件个数，m为合格的零件个数），根据表格，若从该批零件中任取1个，取出的零件合格的概率约为 ．（结果精确到0.1） n 20 50 100 500 1000 m 18 49 91 450 910 合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.91 【答案】0.9 【分析】本题考查了通过观察数据变化趋势来估计概率的方法．随着试验次数的增加，合格零件的频率逐渐稳定在一个值附近，这个值即为所求的概率． 【详解】解：∵随着试验次数的增多，合格零件的频率逐渐接近0.9， ∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9． 故答案为：0.9． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 【答案】0.4 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002， ∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近， ∴钉尖朝上的概率约为0.4， 故答案为：0.4． 题型一 列表法或树状图求概率 1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）将分别标有“文”、“昌”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列出表格得到所有等可能性的结果，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的结果，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“文”、“昌”、“中”、“学”分别用、、、表示， 列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的概率为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率． 【详解】解：画树状图如下： 所有等可能的情况有6种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故答案为：D． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中同一个主题的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图或列表法求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”，这些小球除汉字不同之外，没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为_______； (2)小明同学从口袋中任取一个球，记下标有的汉字后放回，再从口袋中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先两边得到所有等可能性的结果数，再找到小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个小球，且每个小球被取出的概率相同，其中写有汉字“爱”的小球有一个， ∴从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为； （2）解：设分别用A、B、C、D表示标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”的小球， 列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的结果数有2种， ∴小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率为． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用白球的个数除以球的总数即可得到答案； （2）先列表得到所有的结果数，再找到摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个球，其中白球有2个，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中任意摸出1个球是白球的概率为； （2）解：设两个白球分别用A、B表示，黑球用C表示，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能性的结果，其中摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的结果有4种， ∴摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率为． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 乙甲 其中A衣服晾干和C冰化成水是物理变化，其余的是化学变化， 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有2种， 所以P（抽出的两张卡片均是化学变化）． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为______； (2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：从中任取一个球，共有种等结果，球上的汉字刚好是“书”的结果只有种， ∴球上的汉字刚好是“书”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能得结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果有种， ∴取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率为． 9．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球．它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是．在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积不大于的概率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先设这三个连续的自然数分别为，，，根据题意可列方程为，求出这三个连续的自然数，然后列表得出两数之积的所有事件数以及两数之积不大于的事件数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设这三个连续的自然数分别为，..，， 由题意得，， 解得或（舍去）， 这三个连续的自然数分别为4，5，6， 列表如下： 4 5 6 4 5 6 共有6种等可能的结果，其中两数之积不大于的结果有：，，共2种， 两数之积不大于的概率为：． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．用树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，作树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能的结果有12种， 其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动、小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A、B、C、D依次代表这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ； (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，正确通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率是解题关键． （1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）（1）解：小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率为． 答：小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 题型二 根据概率公式计算概率 1．（24-25九年级下·广东中山·期中）从实数，0，，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式以及无理数，概率=所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从，0，，，这五个数中随机抽取一个数， 抽到的无理数有，，共2种可能， ∴抽到的无理数的概率是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色， ∴从中任意取出一件正好是蓝色的概率为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法以及画树状图求概率，根据题意列出表格，然后得出总的情况以及摸出的两个球都是黑球的情况，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 黑 （黑，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） 一共有6种情况，摸出的两个球都是黑球的有2种情况， ∴摸出的两个球都是黑球的概率为：， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·广东·阶段练习）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求简单问题的概率．5个标号的小球中是偶数的有2个，据此即可求解． 【详解】解：在这5个标号的小球中是偶数的有2个，分别为：2，4．所以摸出的小球标号为偶数的概率是． 故答案为． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中点数大于4的面有2个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是：． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有9个除颜色外其他均相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球3个红球， ∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个，随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是列出有所事件的数量与符合条件的数量． 先求出黑键的数量，再求出白键的数量，然后利用概率公式求概率 【详解】解：∵一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个， ∴这架钢琴黑键有，白键有， ∴随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为， 故答案为：． 题型三 已知概率求数量 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得摸到红球的频率逐渐稳定在附近，则摸到红球的概率为，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2，则估计口袋中白球的个数为（　　） A．20个 B．16个 C．10个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 经检验是原方程的解， 故选：B． 5．（18-19九年级下·广东深圳·阶段练习）不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过频率求频数，解题的关键是掌握频数和频率的关系． 利用频数和频率的关系进行求解即可． 【详解】解：估计袋中红球的数目为（个）， 故选：A． 6．（2020·辽宁锦州·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子中有形状相等，颜色不同的红，白两种球，已知红球有5个，随机摸一个球是白球的概率是，则袋子里有白球 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式；设袋子里有白球个，根据概率公式列出比例式，求得的值，即可计算出白球的数量． 【详解】解：设袋子里有白球个，根据题意得 ∴ 解得：， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个小球（除颜色不同，其余都相同），其中有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中共有小球 个． 【答案】15 【分析】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键．设口袋中共有个球，根据概率的计算公式即可求解． 【详解】解：设口袋中共有个球， ∴， 解得，，经检验符合题意， ∴口袋中小球共有15个， 故答案为：15． 10．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】(1)0.60 (2)白球3个，黑球2个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，已知概率求数量，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）根据口袋中白色的球的概率即可求出口袋中白球有多少只，即可求出黑球的数量． 【详解】（1）解：根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为： （2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60， ∴摸到白球的概率是0.60； ∴口袋中白球是：（个）， 黑球是（个）． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的布袋中装有6枚黑棋子和16枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．现往布袋中再放入m枚黑棋子并混匀，进行如下试验：从布袋中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回布袋中混匀．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计m的值． 【答案】2 【分析】本题考查了用频率估算概率，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率．首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，从而得到事件的概率，然后根据概率计算即可． 【详解】解：共取了300次，其中有100次取到黑棋子， 摸到黑色棋子的概率约为， 摸到白色棋子的概率约为， 共有16枚白色棋子， ， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：2． 题型四 几何概率 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率．根据该二维码的面积为，点落在黑色区域的频率稳定在左右，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵该二维码的面积为，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 3．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 4．（13-14七年级下·河南开封·期末）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 5．（13-14七年级下·福建漳州·阶段练习）假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）以及三角形面积的比例关系，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率是解题的关键． 由平行得，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率． 故答案为：． 8．（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 9．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】设，，根据勾股定理和菱形的性质求出的长，再求出矩形和菱形的面积，即可得答案． 【详解】解：设，， 四边形是菱形，于E，于F，， ， ， 命中矩形区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法，勾股定理，菱形和矩形面积的求法，解题的关键是求出矩形和菱形的面积． 10．（25-26七年级上·北京·阶段练习）如果飞镖随意地投向如图所示的木板且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是 ．（用分数表示） 【答案】 【分析】本题考查几何概率，阴影部分面积与木板面积的比即为所求． 【详解】解：设小正方形边长为1，则木板的面积为， 阴影部分的面积为， 飞镖落在木板上阴影部分的可能性是：， 故答案为：． 11．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据飞镖落在阴影区域的概率为阴影区域的面积与总面积的比即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积为， 阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 题型五 游戏的公平性 1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 2．（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【答案】不公平，见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）学校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的数字之和大于4，和小于4的结果数，然后根据概率公式分别求出数字之和大于4，和小于4的概率，即可得解． 【详解】解：游戏公平，理由如下： 画树状图如下， 由树状图可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种， ∴小明获胜的概率是，小红获胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴游戏公平． 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． (1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； (2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率公式求解即可； （2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3， ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种 ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； （2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 3 0 1 3 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 5．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 【答案】该游戏不公平，理由和树状图见解析 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到牌面数字之和为奇数和牌面数字之和不为奇数的结果数，最后根据概率计算公式分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】解：该游戏不公平，理由如下： 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中牌面数字之和为奇数的结果数有8种，牌面数字之和不为奇数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率比乙获胜的概率大， ∴这个游戏不公平． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案． 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 7．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【详解】（1）解：，， 故答案为：30，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， ∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 8．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图分别求出小明胜的概率，小红胜的概率，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率， 这个游戏不公平． 题型一 概率在生活中的应用 1．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【详解】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 3．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 6．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； （2）小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 8．（20-21七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 9．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 15 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $