21.4 二次函数与一元二次方程（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程，通过A、B、C组及中考链接分层设计，实现从基础巩固到思维拔高的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|求交点、方程根、不等式解集等基础知识点|单一知识点训练，题型为选择、填空，直接应用概念| |B组|图像与方程综合、近似根探究|综合题型，结合图像分析，如利用函数值表确定方程根范围| |C组|动态几何、分类讨论、跨知识综合|复杂解答题，如抛物线与直线交点距离及面积问题，培养模型观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 21.4二次函数与一元二次方程 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 求抛物线与坐标轴的交点 1.D 2.C 3.(0,10) 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 4.A 5.B 6.6 题型n3 抛物线与X轴的交点问题 7.B 8.D 9.-1 蓝型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 10.D 11.B 12.x=-1,x2=5 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 求X轴与抛物线的截线长 13.B 14.45 15.9 题型06 图象法确定一元二次方程的近似根 16.C 17.C 18.0.5<x<0.6 题型07 图象法解一元二次不等式 19.C 20.-1<x<3/3>x>-1 21.-1<x<3 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 22.B 23.D 24.y=-x2+10x-24 (4,0)和(6,0) -15≤y≤1 x≠5 丽型9 根据交点确定不等式的解集 25.D 26.D 27.-3≤x≤1 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 一、单选题 1.D 2.B 3.B 4.c 5.D 二、填空题 6.(0,2) 7.5 8.-1≤x≤3 9.-1<x<3 10.4 三、解答题 11.【答案】(1)证明：令y=0,则有x2-x+m-2=0, .△=b2-4ac=(-m)2-4(m-2)=(m-2)2+4>0, ,该方程有两个不相等的实数根， ∴.不论m为何实数，二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点. (2)(0,0).(2,0) 【分析】(1)由题意可令y=0,则有x2-x+m-2=0,然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解： (2)把m=2代入二次函数解析式进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：当m=2时，则有y=x2-2x, 令y=0,则有x2-2x=0, 解得x=0,x2=2」 ·二次函数与x轴的交点坐标为(0,0)，(2,0) 12.【答案】(1)-2,3,1,1.5,1 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1.44,1.45,1.4 【详解】(1)解：当x=1时，y=1+2-5=-2<0, 当x=2时，y=22+2×2-5=3>0, ∴.1<x<2 x的近似值可能为1或2 当x=1.5时，y=0.25>0 .1<x<1.5 x≈1（精确到1）· 故答案为：-2,3,1,1.5,1. (2)解：由(1)可知1<x<1.5 当x=1.4时，y=1.42+2×1.4-5=-0.24<0. 当x=1.5时，y=0.25>0 .1.4<x<1.5 取中间值，当x=1.45时，y=1.452+2×1.45-5=0.0025>0. 当x<1.45时，x=1.44,y=1.442+2×1.44-5=-0.0464<0」 .1.44<x<1.45 .精确到0.1，x≈1.4 13.【答案】(1)y=3x2+2x+5 3 (Q-3<m<3且m≠2且m≠0 (3)y=2x2-4x-2 【详解】(1)解：根据题意得y=3r+2的“伴随直线”的解析式为y=2x+3: y=3x+2 x=1 ·=2x+3解得=5 ∴.“伴随点”的坐标为(，5) .“伴随函数”的解析式为y=3x2+2x+5 (2)解：根据题意得y=r+n的“伴随直线”的解析式为y=心+m, y=nx+m 「x=1 一=mx+n解得y=m+n ∴.t=m+n. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :直线y=mx+n经过点(-2,3)， .-2m+n=3,即n=2m+3. .4m<t<2n, .4m<m+2m+3<2(2m+3), 解得-3<m<3, n≠0，则2m+3≠0， 3 m≠2， 3 ·-3<m<3且m≠2且m≠0： (3)解：根据题意得y=mr+n的“伴随直线”的解析式为y=+m, y=nx+m 〔x=1 ·=mr+n,解得y=m+n ..t=m+n. .直线y=mx+n(m>0)的“伴随函数”解析式为y=mx2+xr+m+n. “伴随函数”与x轴两个交点的距离为2√2 六-n+-4nmm+m -n-n2-4m(m+n) √n2-4m(m+n) =2√2. 2m 2m 解得八=-2m,n2=6m. ①当乃=-2m时，y=mx+x+m+n的对称轴为x=1. m>1, ∴.在m≤x≤m+6上，当x=m时函数取得最小值， .m3+mn+m+n=-m,即m3-2m2=0, 解得m=2,m,=0(舍去)， 此时n=-4. ,“伴随函数”的解析式为y=2x2-4x-2. ②当n=6m时，y=mx2+x+m+n的对称轴为x=-3. m>1, ∴.在m≤x≤m+6上，当x=m时函数取得最小值， .m3+mn+m+n=-m,即m3+6m2+7m=-m, 解得m=-2,m,=4(不合题意，均舍去). 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，直线y=mr+n的“伴随函数”的解析式为y=2x2-4x-2 14.【答案】()y=x2-2x+2,B(2,2) (2)1<x<2 【详解】(1)解：将点(0,2)，点A(1,)代入片=x2+bx+c得： [c=2 1+b+c=1, c=2 解得：b=-2 ∴.二次函数的解析式为=x2-2x+2, 将点A(1,)代入为=得：k=1, 正比例函数的解析式为2=x, 令x2-2x+2=x, 解得：x=1或x=2, 当x=1时，=1；当x=2时，=2： :(,1)为点A的坐标， B的坐标为(2,2) (2)解：由(1)可得：x2-2x<x-2, Ai 012 .x2-2x+2<x,即y<y2, :少<少，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， .1<x<2 15.【答案】(1)AB=4 (2)a≥2 【详解】(1)解：由y=x2+(2-2a)x-4a=(x+2)(x-2a), 令y=0,得(x+2)(x-2a)=0,解得x=-2,x=2a, 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(-2,0),B(2a,0). 当a=1时，B(2,0). .AB=2-（-2)=4; (2)解：令x=0,得y=-4a, .D(0,-4a） 由()知B(2a,0),A(-2,0), 设直线BD的解析式为y=x+b,代入B(2a,0),D(0,-4a). 0=2ak+b 「k=2 -4a=b ,解得1b=-4a .直线BD的解析式为y=2x-4a, MN⊥x轴， .M,+(2-2a)t-4a）,N6,2t-4a), .yw-yw=[t+(2-2a）t-4a]-(2i-4a）=t-2at, .MN =lyw -yxl=t2-2at =t(t-2a), .a>0, ∴.B(2,0)在x轴正半轴，点E从(2,0)出发，沿某方向运动使BE长度逐渐增大， ①当2a≤2，即0<a<1,此时点B在(2,0)左侧或重合， :点E从点(2,0)出发沿x轴的某个方向运动时，BE的长度逐渐增大， 122,如图， AMN 2a27 当≥2时，MN随t的增大而增大，不符合题意，舍去， ②当2a>2,即a>1,此时点B在(2,0)右侧， 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点E从点(2,0)出发沿x轴的某个方向运动时，BE的长度逐渐增大， “点E(,O)向左运动时，满足BE的长度逐渐增大， t<2,如图， AMN 2 2a 2a .对称轴为直线= 2 =a, M点与N点的距离随BE长度的增大先变小后变大， a22, 综上所述，满足条件的a的取值范围是a≥2， C组 思维拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.C 4.D 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.c 二、填空题 6.0或2/2或0 7.x≤-2或x≥4 9 8.m之-4且m≠0 9.x≤-2或x≥1 10.②③④ 三、解答题 11.【答案】(1)y=x2-2x (②-1≤y<3;x≤0或x22 【详解】(1)解：由题意，结合表格数据可得， a-b+c=3 4a+2b+c=0 9a+3b+c=3 a=1 ∴b=-2 c=0 ∴.二次函数的解析式为y=x2-2x； (2)解：由题意，：y=x2-2x=(x-1-1, .当x=1时，y取最小值为-1. 又：当x=-1时，y=3,当x=2时，y=0, .当-1<x<2时，-1≤y<3 令y=x2-2x=0,则x=0或x=2, 又，抛物线的开口向上， 当y≥0时，x≤0或x22, 12.【答案】(1)x=1 (2)x=0,x2=2 (3)2<x<4 9116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)-9<k≤-5 【详解】(1)解：：抛物线y=am2+br+c(a≠0)经过点A(-2,0),C(4,0), 对称轴为直线x==1,即x=1: 2 (2)解：：抛物线y=ar2+br+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(2,8),C(4,0), 4a-2b+c=0 ∴.4a+2b+c=8 16a+4b+c=0 a=-1 解得b=2 c=8 .y=-x2+2x+8 ∴.关于x的方程ax2+bx+c=8即为-x2+2x+8=8, 解得x=0,x2=2: (3)解：：直线y=mr+n(m≠0)经过点B(2,8),C(4,0), [2m+n=8 …4m+n=0 m=-4 解得1n=16 .直线为y=-4x+16 ∴.不等式ax2+bx+c>mx+n为-x2+2x+8>-4x+16 整理得，x2-6x+8<0 即(x-2)(x-4)<0 「x-2<0「x-2>0 ·x-4>0或1x-4<0 [x-2<0 解不等式组x-4>0无解： x-2>0 解不等式组 x-4<0,得2<<4 :.(x-2)(x-4)<0解集为2<x<4 ∴.不等式ax2+br+c>mx+n的解集为2<x<4； (4)解：方程ax2+bx+c+k=0即-x2+2x+8+k=0, 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得x2-2x-(8+k)=0」 .方程在-1≤x≤5范围内有两个不相等实数根， 设y=x2-2x-(8+k), .△=(-2)2+48+k)=36+4k>0. 解得k>-9； 而对称轴x=1在-1≤x≤5范围内，符合要求， 如图： 当x=-1时，(-1)2-2×(-1)-(8+)=-k-5≥0. 当x=5时，52-2×5-(8+)=7-k≥0 -k-5≥0① 即17-k20② 由①得k≤-5 由②得k≤7 .k≤-5， 综上：-9<k≤-5 13.【答案】(1)k=±1 (2)h=6 (3)k=±2 【详解】(1)解：·该函数图象经过原点， ∴.将(0,0)代入解析式得02-2k×0+k2-1=0, 解得k=±1： (2)解：当k=3时，y=x2-2×3x+32-1=x2-6x+8 当x=0时，y=8 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .M(0,8), y=x2-6x+8=(x-3)2-1, ∴将该抛物线向左平移(h>0)个单位长度得到新的抛物线的解析式为y=(c-3+)-1, 将M(0,8)代入y=(x-3+h)-1得(0-3+h)-1=8, 解得h=6或h=0(不符合题意，舍去)， h=6: (3)解：在y=x2-2kx+k2-1中，当x=0时，y=2-1, .C(0,2-), 抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(点A在点B的左侧)， 令y=0,则x2-2+k2-1=0,g>xA, .x4+xg=2k,x4xB=k2-1, xg-x4=Vx4+xB-4x4xB=(2K)}2-4(k2-1)=2, ,△ABC的面积为3， ÷*2x--3. k2-1=3, 当k2-1=3时，解得k=±2， 当k2-1=-3时，此时无解， 综上所述，k=2 14.【答案】(1)y=-x2+2x+3 、3 235)315 3)点P的坐标为39或24 【详解】(1)解：抛物线y=a2+bx+c与x轴交于点A(-l,0)和点B,其顶点坐标为(L,4), ∴.设抛物线解析式为y=a(x-1)+4, 将点A(-1,0)代入得：0=a(-1-1)2+4, 解得a=-l, 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)+4=-x2+2x+3； (2)解：y=-x2+2x+3」 当x=0时，y=3, .C(0,3) 当y=0时，0=-x2+2x+3, 解得x=-1,x2=3」 .B(3,0) 设直线BC的解析式为y=a+b, 3k+b=0 将B3,0),C(0,3)代入得1=3· k=-1 解得16=3’ 直线BC的解析式为y=-x+3, 设P(x,-x2+2x+3),则M(x,-x+3), PM=+2x+3-x+3)=-x+3x=x-+9, ,二次项系数1<0， 3 9 ÷当x=2时，PM取得最大值为4， 315) “此时点P的坐标为24， .PN= 4 ·MW=PW-PM=15_9-3 442: (3)解：由(2)得，PM=-x+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,MN=-x+3, M.BN 2 PM-x2+3x .S.NMB MN.BN MN -x+3, 2 ,直线BC把△BPN的面积分成2：3两部分， 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x2+3x2 :当SB -x+33时， 2 解得x=3（舍去)，= 3 经检验x= 3是原方程的解，且符合题意， 235\ 点P的坐标为39月 -x2+3x3 SNMB -x+32, 解得x=3（舍去)，=2 经检验x= 2是原方程的解， 且符合题意， :点P的标为[日）， (235315 综上所述，点P的坐标为39或24 15.【答案】(1)方程的解落在1和2之间 (2)0<m<3 【详解】(1)解：将x=1代入得，儿=-3；当=2时，为=5， 所以少2<0，所以方程的解落在1和2之间. (2)解：方程x2+4x+m=0有两个不同的解， .△=42-4m>0, m<4, 将=-4，为=-3分别代入得为=m,乃=m-3, 恰有一个解落在-4与-3之间， .=m(m-3)<0,所以0<m<3. 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.C 2.C 3.0<a<m<1 4.【答案】(1)2；±1：(2)①d=4,e=5;②2<x<5或x<-1 【详解】解：()二次函数=x-2+m和y=-+的图象都是抛物线y=的件随抛物 线， ∴点亿m小（在y的件随地狗线上， 1 代入得：m=×2=2,2 1 11 =×n2, 解得：m=2,n=1, 故答案为：2；±1： (2)①y=x2-2+4k+5=x2-2kx+k2-k2+4k+5=(x-k)2-k2+4k+5, .顶点坐标为：（化，-k2+4k+5) ,函数y=-x2+d+e的图象为抛物线Co,且C,始终是Co的伴随抛物线， ∴.-k2+4k+5=-k2+dk+e, 整理得：4k+5=d+e, .d=4,e=5: ②：C与x轴有两个不同的交点(x,0),(2,0), 由①得：函数y=-x2+4x+5的图象为抛物线C,且C,始终是C,的伴随抛物线， 顶点坐标（化，-k2+4+5)在y=-x2+4x+5=-(c-2)2+9图像上滑动， 顶点为(2,9)， 当-x2+4x+5=0时， 解得：x=-1或x=5, 抛物线与x轴交(-1,0(5,0)两个点， 当顶点在（一1,0）下方时，抛物线有两个交点，x<-1, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :若C,是C,的伴随抛物线，则C,也是C2的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在C,上. :(2,9)在C上， 当顶点在(5,0)下方时，2<，<5； 综上可得：2<x<5或<-1 16/16 分层作业 21.4 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 求抛物线与坐标轴的交点 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型03 抛物线与X轴的交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 求X轴与抛物线的截线长 题型06 图象法确定一元二次方程的近似根 题型07 图象法解一元二次不等式 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型09 根据交点确定不等式的解集 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )求抛物线与坐标轴的交点 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 3．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． ( 题型0 2 )已知二次函数的函数值求自变量的值 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 5．（2026·甘肃天水·三模）如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，、为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），点在的延长线上，以所在直线为轴，抛物线所在平面内过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为，则点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出抛物线的对称轴为，得到点P在第一象限，且，，进而推导出，求出（舍去），，则点P到y轴的距离为6，即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为， ∴点P在第一象限，且，， 当时，， 即， 解得（舍去），， ∴点P到y轴的距离为6． 6．（25-26九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． ( 题型0 3 )抛物线与X轴的交点问题 7．（2026·湖北荆州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； 8．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【详解】解：∵ 对任意实数a，， ∴ ，即该二次函数抛物线开口向上， ∵ 抛物线与x轴交于、，且， ∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得： 当时，；当时，或， ∵ 点在抛物线上，即， ∴ 当时，， 当时，或． 对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用抛物线对称性求与x轴交点坐标的方法是解题的关键． 先令函数值为得到关于的一元二次方程，结合抛物线的对称性求出与轴的交点坐标，再代入函数解析式即可求出的值. 【详解】解：令，则，整理得. 二次函数的对称轴为直线，又因其图像与x轴两交点间的距离为2，根据抛物线的对称性，可知两个交点的横坐标分别为和，即两交点坐标为和. 将代入中，得，即， 解得. 故答案为：． ( 题型0 4 )根据二次函数图象确定相应方程根的情况 10．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．抛物线的图象的最低点坐标为 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定的符号及关系，利用对称性求出另一个交点坐标，进而判断各选项即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，， 抛物线的对称轴为，因为，所以， 抛物线与轴的交点在负半轴，即时，， 所以，，故A选项错误； B、抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为， 根据抛物线的对称性可知，与轴的另一个交点为， 将代入抛物线解析式可得，①， 又因为抛物线的对称轴为，，代入①中，，整理得，， 即，故B选项错误； C、将代入抛物线解析式可得，，即， 方程的根的判别式， 因为，， 所以， 所以，方程有两个不相等的实数根，故C选项错误； D、抛物线开口向上， 抛物线有最低点，即顶点， 对称轴为直线， 顶点的横坐标为， 当时，， ，， ， 最低点坐标为，故D选项正确． 11．（25-26九年级上·山东日照·期末）画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值： x … 0 1 … y … 2 m 2 n … 则下列结论：①若，则函数图象的开口向上； ②关于x的方程的两个根是和1； ③点在一次函数的图象上； ④； ⑤若图象与x轴无交点，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题先根据表格中对称点确定二次函数对称轴，再结合二次函数的性质、方程与函数的关系、判别式等知识点逐一验证每个结论． 【详解】解：∵当时，时， ∴二次函数图象的对称轴为， ∴，即， 又∵时，代入得， ①若，∵， ∴，即，函数图象开口向下，故①错误， ②∵时，根据对称性，与关于对称轴对称的点为， ∴时，即方程的两个根是和，故②正确， ③∵，点即，代入得右边为，左边为，， ∴点不在的图象上，故③错误， ④∵，， ∴， 又∵，，代入得，故④正确， ⑤若图象与轴无交点，则判别式， 代入，得， 即，解得，故⑤正确， 综上，正确的结论有②④⑤，共3个， 故选：B． 12．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． ( 题型0 5 )求X轴与抛物线的截线长 13．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 14．（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 【答案】 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． ( 题型0 6 )图象法确定一元二次方程的近似根 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． ( 题型0 7 )图象法解一元二次不等式 19．（23-24九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 20．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． ( 题型0 8 )利用不等式求自变量或函数值的范围 22．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 23．（24-25九年级上·广东中山·期中）二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．由图象可得抛物线开口方向，从而可得函数有最小值，由抛物线与x轴交点可得抛物线对称轴及y随x增大而减小的取值范围，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标可得函数值小于0的x的取值范围，进而求解． 【详解】解：由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，不正确，故A选项不符合题意； B．由图象可知，对称轴为，不正确，故B选项不符合题意； C．因为，所以，当时，随的增大而减小，不正确，故C选项不符合题意； D．由图象可知：当或时，，正确，故D选项符合题意． 故选D． 24．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【答案】 和 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． ( 题型0 9 )根据交点确定不等式的解集 25．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 26．（25-26九年级上·山东临沂·期末）分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数，若分段函数的函数图象如图所示．A，B分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是（    ）． A．y随x的增大而增大 B．不存在一次函数的图象与此分段函数的图象有两个交点 C．点A的坐标为，分段函数最大值为7 D．不等式的解集为或 【答案】D 【分析】本题考查了的图象与性质，的图象和性质，的最值，根据交点确定不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数的增减性，可判断A；根据时，由无解，且有两个实数根，求得的范围，由此可判断B；利用顶点式求解，可判断C；先求出的自变量的值，再结果函数图象求出自变量的范围，由此可判断D． 【详解】解：在、之间，随的增大反而减小， 故A错误； 取，当时，无解，且有两个实数根， 由无解， 得， 即， 由有两个实数根， 得， 即， 所以，此时一次函数与二次函数有两个交点， 如取， 则， 解得：， 即方程有一个实数根 而， 解得：（舍去），， 即方程有一个实数根 也就是一次函数与二次函数有两个交点， 故B错误； ， 所以当时有最大值7， 如果没有，则没有最大值， 故C错误； 当时，， 取，则， 解得：（舍去）或， 此时不等式的解集为，如图， 当时，， 取，则， 解得：或， 此时不等式的解集为或，如图， 综上所述，不等式的解集为或或， 即不等式的解集为或， 故D符合， 故选：D ． 27．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数最小值为求出的所有可能值，再结合二次函数图象不经过第三象限的条件筛选出符合要求的． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，最小值为顶点纵坐标． 根据顶点纵坐标公式列方程得， 整理得， 解得或． 当时，解析式为，顶点坐标为，顶点在第三象限，函数图象经过第三象限，不符合要求，舍去． 当时，解析式为，时，对称轴为直线，因此时，函数图象不经过第三象限，符合要求． ∴． 5．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 二、填空题 6．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 7．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 9．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 10．（25-26九年级下·山东滨州·期中）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 13．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）若两条直线（）与（）存在交点，则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数为“伴随函数”． (1)求直线的“伴随函数”解析式； (2)直线经过点，且m，n，t满足条件，求m的取值范围； (3)若直线（）的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，当时，其“伴随函数”的最小值为，求其“伴随函数”的解析式． 【答案】(1) (2)且且 (3) 【分析】（1）根据“伴随直线”的定义先求出“伴随直线”的解析式，再根据“伴随函数”的定义即可解答； （2）根据题意得的“伴随直线”的解析式为，联立，解得，得到，由已知可得，再结合即可解答； （3）求出直线的“伴随函数”解析式为，根据“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，求出，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为； ∴，解得， ∴“伴随点”的坐标为． ∴“伴随函数”的解析式为． （2）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∵直线经过点， ∴，即． ∵， ∴， 解得， ∵，则， ∴， ∴且且； （3）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∴直线的“伴随函数”解析式为． ∵ “伴随函数”与轴两个交点的距离为， ∴． 解得，． ①当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（舍去）， 此时． ∴“伴随函数”的解析式为． ②当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（不合题意，均舍去）． 综上所述，直线的“伴随函数”的解析式为． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 15．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由，则有，，当时，，然后利用即可求解； 由知，，求出直线的解析式为，则，，所以，然后分当，即，此时点在左侧或重合，当，即，此时点在右侧，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由， 令，得，解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：令，得， ∴， 由知，， 设直线的解析式为，代入，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在轴正半轴，点从出发，沿某方向运动使长度逐渐增大， 当，即，此时点在左侧或重合， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意，舍去， 当，即，此时点在右侧， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴点向左运动时，满足的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴对称轴为直线， ∵点与点的距离随长度的增大先变小后变大， ∴， 综上所述，满足条件的的取值范围是． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·贵州·期末）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直线与抛物线在第二象限有两个公共点，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据直线与抛物线在第二象限有两个公共点，可以得到方程有两个不同的负实数根，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵直线与抛物线在第二象限有两个公共点，即公共点横坐标都是负数， ∴方程有两个不同的负实数根， 整理得方程有两个不同的负实数根， ∴与轴交点有两个，且交点横坐标都是负数， 各个选项中只有C选项符合要求， 故选：C． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 5．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 二、填空题 6．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． x 0 3 5 y 10 0 0 24 【答案】 0或2/2或0 【分析】一元二次方程的解即为二次函数中函数值为时对应的自变量的值，先根据表格信息确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性求出满足条件的，即可得到方程的解. 【详解】解：由表格可知，时，时，两点纵坐标相同，因此两点关于抛物线对称轴对称， 可得抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， 设纵坐标为的另一个点的横坐标为，根据二次函数的对称性，与关于直线对称， 因此，解得， 所以当时，对应的的值为和， 即一元二次方程的解为. 7．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 8．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 9．（24-25九年级上·广东珠海·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解． 【详解】解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方， 即不等式的解集是：或． 10．（25-26九年级上·山东威海·期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： 0 3 5 0 下面四个结论： ①；②；③；④当时，；⑤． 其中正确的是__________(填写序号)． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是利用表格中的点求出函数解析式或确定对称轴、开口方向等，进而逐一判断各个结论的正确性． 【详解】解：由表格可知，当时，，∴． 当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③二次函数的图象对称轴为，开口向上， ∴当时，函数取得最小值， ∴， 即，故③正确； ④由对称轴及时，可知另一交点为，结合函数图象开口向上， ∴当时，，故④正确； ⑤∵，故⑤错误． 综上，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 12．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 14．（2022·广西南宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 15．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，，，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 【答案】(1)方程的解落在1和2之间 (2) 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； （2）将和分别代入得到、，根据，结合判别式大于0求出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，；当时，， 所以，所以方程的解落在1和2之间． （2）解：方程有两个不同的解， ， ， 将，分别代入得，， ∵恰有一个解落在与之间， ∴，所以． 1．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 2．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 3．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 4．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目录 A组巩固过关 题型01求抛物线与坐标轴的交点 题型02已知二次函数的函数值求自变量的值 题型03抛物线与X轴的交点问题 题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05求X轴与抛物线的截线长 题型06图象法确定一元二次方程的近似根 题型07图象法解一元二次不等式 题型08利用不等式求自变量或函数值的范围 题型09根据交点确定不等式的解集 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 分层作业 21.4二次函数与一元二次方程 1/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目录 A组巩固过关 题型01求抛物线与坐标轴的交点 题型02已知二次函数的函数值求自变量的值 题型03抛物线与X轴的交，点问题 题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05求X轴与抛物线的截线长 题型06图象法确定一元二次方程的近似根 题型07图象法解一元二次不等式 题型08利用不等式求自变量或函数值的范围 题型09根据交点确定不等式的解集 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型n1 求抛物线与坐标轴的交点 1.(25-26九年级上·全国单元测试)若关于x的二次函数y=-x2+mx+n的图象与x轴的交点坐标是 （-1,0)和(3,0)，则关于x的一元二次方程-x2+mx+n=0的解为() A.x=x2=0 B.x=1,x2=-3C.x=1,x2=0 D.=-1,x2=3 2.(2026·黑龙江哈尔滨·二模)二次函数y=-2(x+2)2-1与y轴的交点坐标是（) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(0,-9) D.(0,-7) 3.(25-26九年级上·上海徐汇阶段检测)函数y=(x+5)(2-x)图象与y轴的交点坐标是 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 4.(23-24九年级上全国课后作业)若二次函数y=mr'+x+m(m-2)的图象经过原点，则m的值为 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.2 B.1 C.0或2 D.1或2 5.(2026甘肃天水·三模)如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B 为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称)，点O在BA的延 长线上，以AB所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与AB垂直的直线为'轴建立平面直角坐标系， 抛物线满足关系式y=-x+8x-6,若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为6m,则 点P到y轴的距离为() ◆y/m A N B x/m 图1 图2 A.2m B 6m C.8m D.7m 6.(25-26九年级上天津红桥期中)已知二次函数y=(x-1(x+1),当x=V7时，y的值为 题型03 抛物线与X轴的交点问题 7.(2026湖北荆州二模)已知二次函数y=ax+br+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中，正确的 是( A. >0 a B.3a+b>0 C.2a+b<0 D.a-b+c<0 8.(2026福建泉州一模)已知二次函数y=(Q+1r2+br+c的图象与x轴交于(：，0)、(x,0)两点，且 x<x2.若点A(m,n)在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是() A.当n<0时，m<0 B.当n>0时，m>x2 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当n>0时，m<x D.当n<0时，为<m<x2 9.(25-26九年级上江苏泰州期末)已知关于x的二次函数y=(x-少+k的图像与x轴两交点间的距离为 2,则k的值为 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 10 。(2026安徽合肥三模)己知抛物线y=ax2+br+c的对称轴为直线x=1,与x轴正半轴的交点为 A(3,0),其部分图象如图所示，有下列结论正确的是() y=ax2+bx+c A.abc<0 B.2c-3b<0 C.方程ax2+bx+c-1=0有且只有一个实数根 D.抛物线y=ar2+br+c的图象的最低点坐标为(l,-4a) 11.(25-26九年级上山东日照·期末)画二次函数y=ax+br+C的图象时，先列表得到自变量x与函数 值y的部分对应值： 2 -1 0 y n 则下列结论：①若n<2,则函数图象的开口向上； ②关于x的方程ax2+bx+c=n的两个根是-3和1： ③点(a,b)在一次函数y=-2x的图象上： ④3m+n=8: ⑤若图象与x轴无交点，则0<a<2. 以上结论正确的个数是() A.2 B3 C.4 D.5 12.(25-26八年级下北京期末)已知二次函数y=ax2+br+c(a≠0)图象上的部分点的坐标(：，)对应值 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 列表如下： x … 3 y 4 -4 则关于x的方程ax2+bx+c=4的解为： 题型05 求X轴与抛物线的截线长 13.(2026内蒙古中考真题)二次函数y=x-9的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的长是() A.3 B.6 C.9 D.18 14.(23-24九年级上安徽六安阶段检测)若抛物线y=2x2-15与直线y=9交于A,B两点，则点A与点 B之间的距离AB= 15.(25-26八年级下辽宁盘锦·期末)如图，抛物线乙，L2与直线y=7分别交于A,C和B,D四点，且 AB=12,BC=4,CD=6.若点P,Q分别是两抛物线的顶点，且P,Q都在x轴上，则PQ的长是 A B C/ P 题型0h 图象法确定一元二次方程的近似根 16. (25-26九年级上湖北襄阳期中)下表给出了二次函数y=ar2+br+C的自变量x与函数值y的部分对 应值：那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是() 1.1 1.2 1.3 1.4 0.67 -0.29 0.14 0.62 A.1.07 B.1.17 C.1.27 D.1.37 17.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如下表，是二次函数y=ar'+br+c的自变量x与函数值y的几 组对应值.那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解是() 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1.49 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 18.(23-24九年级上·浙江杭州阶段检测)根据下列表格中y=ar2+br+C的自变量x与函数值y的部分对 应值，判断方程ax2+br+c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个根x的取值范围是 0.4 0.5 0.6 0.7 y=ax2+bx+c -0.64 -0.25 0.16 0.59 题型7 图象法解一元二次不等式 19. (23-24九年级上云南昆明期中)二次函数y=x+x-2的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取 值范围是() A.x<-2 B.x>1 C.-2<x<1 D.x<-2或x>1 20.(24-25九年级下·江苏盐城期中)如图，二次函数y=ax2+br+c(a,b,c为常数，a≠0)的图像 与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为1,3)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为 (1,3) 2L,(24-25九年级上·湖北武汉期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象交坐标轴于点A(-1,0), B(0.3),对称轴为x=1.则当y>0时，x的取值范围是 6/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型0风 利用不等式求自变量或函数值的范围 22. (2026安徽阜阳一模)已知抛物线y=r-2ax+c(a<0)过点(3,0)，则当y>0时，自变量x的取值 范围是() A.x<-1 B.-1<x<3 C.1<x<3 D.x<-1或x>3 23.(24-25九年级上：广东中山期中)二次函数y=ax'+br+C(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次 函数，下列说法正确的是() A,函数有最大值 B.对称轴是直线x=- C.当x<2,y随x的增大而增大 D.当x<-1或x>2时，y>0 24.(2025九年级上山东青岛专题练习)将二次函数y=-(x-5)+1化成一般式为一， 图像与x轴交 点坐标为 当1≤x≤6.5时，函数的取值范围是一，若y<1,则自变量取值范围是 颗型ng 根据交点确定不等式的解集 25.(25-26九年级上湖南永州期末)如图所示，二次函数=axr2+bx-3的图象与一次函数. 2=-x+m的图象交于A(-1,0),B(2,-3)两点，当>乃时，自变量x的取值范围是() 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.x<-1 B.x>2 C.-3<x<0 D.-1<x<2 26.(25-26九年级上·山东临沂·期末)分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函 -x2-4x+3,x<0 数，若分段函数y= x2-4x+3,x≥0的函数图象如图所示.A,B分别为对应二次函数图象的顶点，则下 列说法中正确的是()， A.y随x的增大而增大 B.不存在一次函数乃=G+b的图象与此分段函数的图象有两个交点 C.点A的坐标为(-2,7)，分段函数最大值为7 D.不等式y之3的解集为4≤x≤0或x≥4 27.(25-26八年级下·北京海淀期末)如图，抛物线y=ax与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A(-3,4),B(1,1),则不等式ax2≤bx+c的解集是 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 一、单选题 1,(25-26九年级上安徽六安期中)已知抛物线y=ax+c(a≠0)与直线y=c+b交于点A(-1,3)和点 B(5,-2),则关于x的方程ax2+c=+b的解是(） A.x=2或x=-3 B.x=-2或x=3 C.x=1或x=-5 D.x=-1或x=5 2.(2026河南周口模拟预测)下列表格中是二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对 应值，可以判断一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)的一个近似根是() 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 C.6.9 D.7.0 3.(2026江西中考真题)如图，观察函数y=x2+3x-3的图象，可以发现方程x2+3x-3=0在0,1之 间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 x2+3x-3=0另一根更接近的是() A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 4.(2026陕西西安模拟预测)二次函数y=x2-2+4-m的最小值为-2，若该二次函数的图象不经过第 三象限，则m的值为() A.-3 B.-1 C.2 D.4 5.(2026广东清远三模)二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是() 9118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.c>0 B.当-1<x<2时，y>0 C.函数有最大值 D.点(a,b)在第四象限 二、填空题 6.(2026上海奉贤·三模)将抛物线y=x-2向右平移2个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是 7.(25-26九年级上湖北荆州期末)二次函数y=x-3x-3的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为- 8.(25-26九年级上湖南衡阳期末)如图是二次函数y=-x+2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范 围是 1o2 9.(2026江苏一模)如图，抛物线y=ax2+c与直线y=x+b交于A(-3,m),B(1,n)两点，则不等式 axr2+c+c<b的解集是_ 10.(25-26九年级下山东滨州期中)己知二次函数y=ar2+br+C(a≠0)的图像如图所示，有下列5个 结论：①abc<0:②9a+3b+c<0;③2c<3b:④a+b>m(am+b)(m≠1)：⑤若方程lax2+br+d=1有 四个根，则这四个根的和为2.其中正确结论的个数为 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y x=I 三、解答题 11.(25-26八年级下·全国课后作业)已知函数y=x-mr+m-2 (1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点； (2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标 12.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)九下数学课本“5.4二次函数与一元二次方程”，由函数图像 求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能 力. 【问题再现】 你能利用函数y=x2+2x-5的图像（如图5-11），探索方程x2+2x-5=0的根的取值范围吗？ y=x2+2x-5 -4 6 图5-11 从图5-11可以看出，函数y=x2+2x-5的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，-4与 -3的点之间，所以一元二次方程x2+2x-5=0有两个根，它们分别介于实数1与2，-4与-3之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当x=1时，y=_<0 当x=2时，y=>0 1<x<2」 x的近似值可能为1或2 当x=1.5时，y=0.25>0 11/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -<x< .x≈（精确到1）. (1)补充以上解题过程： (2)继续探索：方程x2+2x-5=0介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为_<x<-,所以x≈_， 13.(25-26九年级下安徽芜湖期中)若两条直线y=mr+n(m≠0)与y=mr+m(n≠0)存在交点 P(s,),则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数y=m+x+t为“伴随函数”· ()求直线y=3x+2的“伴随函数”解析式： (2②)直线y=x+n经过点（-2,3)，且m,,t满足条件4m<t<2n,求m的取值范围： (3)若直线y=mr+n(m>1)的“件随函数”与x轴两个交点的距离为2V2,当m≤x≤m+6时，其“伴 随函数”的最小值为一m,求其“伴随函数”的解析式 14.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，二次函数片=x2+br+c的图象经过点(0,2)，且与正比例函 数=x的图象交于点A,)和点B. (1)求二次函数的解析式和另一交点B的坐标： (2)根据函数图象，直接写出不等式x2+bx<ax-C的解集， 15.(25-26九年级下·北京阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x+(2-2a)x-4a(a>0)与x 轴交于点A和点B(点A在点B的左边)，与y轴交于点D. (I)当a=1时，求AB的长： (②)过点E,O)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线BD于点N.当点E从点(2,0)出发沿x轴的某个 方向运动时，若BE的长度逐渐增大，且M点与N点的距离随BE长度的增大先变小后变大，求a的取值 范围。 12/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 一、单选题 1,(25-26九年级上江苏无锡期末)抛物线y=-(x-2}-1与y轴交点的纵坐标为() A.-1 B.-3 C.-4 D.-5 2.(25-26九年级上贵州期末)二次函数y=ax-2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方 程ax2-2ax+c=0的较大的根的取值范围是() 0.5 -0.4 A.0.4<x<0.5B.0.5<x<0.6 C.2.4<x<2.5D.2.5<x<2.6 3.(25-26九年级上：四川绵阳期末)已知直线y=-x与抛物线y=ar2+bx+c(a>0)在第二象限有两个公 共点，则函数y=r+(b+)x+c的图象可能是() 4.(2026浙江模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为(1,1)，(4,1).若二次函 数y=(x-b)'+b-2的图象与线段AB有交点，则该抛物线与y轴交点的纵坐标n的取值范围是(）· A 0 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 A.-2≤n≤6 B.-2≤n≤10 C.- 2 ≤n≤9 D ≤n≤10 4 1 5.(2026四川巴中中考真题)关于二次函数y=-x,下列说法正确的个数是() 4 ①它的图象经过第一、二、三象限： ②当x>3时，y随x的增大而增大： ®它的图象可由少4向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到明 ④直线y=G+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26九年级下浙江杭州阶段检测)二次函数y=x+br+C的部分对应值如下表，则一元二次方程 ax2+bx+c=6的解为x= -2 0 3 5 10 0 0 24 7.(25-26九年级上广西梧州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点是(4,0)，其对 称轴为直线x=1,结合图象得到，不等式axr2+bx+c之0的解集是 8.(25-26八年级下·重庆渝中期末)二次函数y=mx-3x-1的图象与坐标系横轴有交点，那么m的取值 范围是 9.(2425九年级上广东珠海阶段检测)如图，抛物线y=ax与直线y=bx+C的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则不等式ax2≥bx+c的解集为 14/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上山东威海期末)二次函数y=a心2+br+c(a≠0)图象上部分点的坐标满足下表： -3 0 。 y 24 10 6 0 24 下面四个结论： ①abc<0:②2a+b=0:③am2+bm-a-b≥0：④当-1<x<3时，y<0:⑤8a+c<0. 其中正确的是 (填写序号). 三、解答题 11.(25-26八年级下北京海淀期末)己知，二次函数y=ar+br+c(a,b,c是常数，a≠0)的y与x 的部分对应值如表： -1 2 3 0 (1)求二次函数的解析式. (②)当-1<x<2时，y的取值范围是；当y≥0时，x的取值范围是_· 12.(25-26八年级下北京期末)抛物线y=a2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(2,8),C(4,0),直线 y=mx+n(m≠0)经过点B,C,则： (1)该抛物线的对称轴为直线」 (2)关于x的方程ax2+br+c=8的解为， ； (3)关于x的不等式ax2+bx+c>mx+n的解为一； (4)若关于x的方程ax2+bx+c+k=0在-1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是 13.(25-26八年级下·浙江金华期末)在平面直角坐标系中，己知二次函数的表达式为y=2-2c+k2-1 (其中k为实数). (I)当该函数图象经过原点时，求k的值： (②)当k=3时，将该抛物线向左平移(h>0)个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M,求 h的值： 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(点A在点B的左侧)，与y轴的交点为C,当△ABC的面积为 3时，求k的值 14.(2022广西南宁模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,其顶点坐标 为(L,4),P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线BC于点M,交x轴于点N,连接 PB、PC」 M O N (1)求该抛物线的解析式： (2)当PM取得最大值时，求线段MN的长： (3)若直线BC把△BPN的面积分成2：3两部分，求点P的坐标. 15.(2026浙江温州模拟预测)【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法. 例如，求2x2+2x-7=0的解 思路：在二次函数y=2x+2x-7中，若取x的值为，x,X<,使得相应的函数值乃<0，则抛 物线与x轴的交点中至少有一个在(：，0)与(x,0)之间，也就是说，方程2x2+2x-7=0至少有一个解在x 与x2之间. (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x2+2x-7=0的一个解，过程如下表： x的值 0 y=2x2+2x-7 -7 a b 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间， (2)【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+m=0有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求的取值范围. 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.（2026四川巴中中考真题)关于二次函数)=4-x,下列说法正确的个数是() ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当x>3时，y随x的增大而增大： 1 ③它的图象可由y=4向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到： ④直线y=a+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024甘肃甘南中考真题)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc<0:②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数).其中正确 结论个数有() x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026贵州中考真题)一元二次方程ax2+2x+1=0的两根分别是x,x2,一元二次方程 mx2+2x+1=0的两根分别是x,x4,若x<x3<x4<x2<0,把a,m,0,1这四个数按从小到大的顺序 用“<”连接起来： 4.(2024四川中考真题)【定义与性质】 如图，记二次函数y=a(r-b)+c和y=-a(x-p+q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C. 定义：若抛物线C的顶点Q(P,9)在抛物线C上，则称C是C的伴随抛物线. 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线： ②若C是C的伴随抛物线，则C也是C的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在C上 【理解与运用】 (4少）若二次函数少=x-2+m和y=-川小+行的图象都是抛物线y=的件随抛物线，则m 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n= 【思考与探究】 (2)设函数y=x2-2+4k+5的图象为抛物线C,. ①若函数y=-x++e的图象为抛物线Co,且C,始终是Co的伴随抛物线，求d,e的值： ②若抛物线C,与x轴有两个不同的交点(：，0)，(：，0)(：<x),请直接写出x的取值范围。 0 备用图 18/18