5.3《二次函数的应用》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从单一知识点巩固到综合应用提升，对接中考真题，培养数学模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|运动轨迹、几何面积、利润等单一知识点|以解答题为主，如推铅球轨迹求表达式，直接应用待定系数法| |进阶思维题|跨知识点综合应用|含选择、填空、解答，如矩形花圃面积与墙长限制结合，强化推理能力| |中考链接题|中考高频考点|采用2025年多地中考真题，如利润最值问题，注重实战应用|

北师大版九年级上册 第5章 二次函数 5.3 二次函数的应用 本节知识点总结 1. 二次函数应用的基本步骤 （1）审题：理解问题中的变量和常量，以及它们之间的关系。 （2）建模：建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数模型。 （3）求解：用待定系数法求二次函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值或特定值。 （4）检验：检验结果的合理性，注意自变量的取值范围。 2. 运动轨迹问题 （1）投篮/抛球问题：建立平面直角坐标系，设抛物线的顶点式或一般式，利用已知点求解析式。 （2）最大高度：抛物线顶点的纵坐标即为最大高度。 （3）落地距离：令y=0，求x的正根即为落地时的水平距离。 3. 几何图形中的最大面积问题 （1）直角三角形内作矩形：设矩形一边长为x，利用相似三角形表示另一边长，建立面积函数。 （2）窗户问题（上半圆下矩形）：根据窗框总长列出等式，将矩形的高用半径表示，再建立面积函数。 （3）利用二次函数求最大面积，注意自变量的取值范围。 4. 利润最大问题 （1）利润 = 每件利润 × 销售量。 （2）涨价/降价与销售量的关系：单价每涨/降a元，销量减少/增加b件。 （3）建立利润关于售价（或涨价幅度）的二次函数，求最大值。 5. 收入最高问题 （1）总收入 = 单价 × 数量。 （2）旅馆客房问题：每间日租金增加x元，出租房间数减少y间。 （3）建立收入关于单价的二次函数，求最大值。 6. 自变量取值范围的确定 （1）实际意义限制：边长为正、销售量非负、时间非负等。 （2）若顶点横坐标不在取值范围内，则最值在端点处取得。 7. 二次函数的广泛应用 （1）物理中的动能： E = （m为定值） （2）电阻发热：Q = RI²（R为定值） （3）自由落体： h = （g为定值） 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一 建立坐标系求二次函数表达式（运动轨迹） 【考查要点】考查根据运动轨迹的已知条件，建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数表达式。 【解题方法】根据已知点的坐标特征选择合适的解析式形式（顶点式/一般式），代入求解。 1. 一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系满足二次函数，其图象的顶点为(4, 3)，且经过点(0, 1)。求这个二次函数的表达式。 【答案】y = -(x - 4)² + 3 【解析】本题考查用顶点式求二次函数表达式。已知顶点坐标，设顶点式最简便。 【解答】解：∵ 顶点为(4, 3)，∴ 设二次函数的表达式为 y = a(x - 4)² + 3。 将(0, 1)代入，得：1 = a(0 - 4)² + 3 = 16a + 3， 解得 a = --。 ∴ 二次函数的表达式为 y = --(x - 4)² + 3。 2. 某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，球的运动路线是抛物线 y = ax² + c。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 【答案】y = -0.1x² + 3.15；最大高度为3.15m 【解析】本题考查用待定系数法求y = ax² + c型抛物线的表达式。 【解答】解：由题意可知，抛物线经过点A(-3, 2.25)，B(1, 3.05)。 将两点坐标分别代入 y = ax² + c，得： 2.25 = 9a + c，3.05 = a + c。 解这个方程组，得 a = -0.1，c = 3.15。 ∴ 抛物线的表达式为 y = -0.1x² + 3.15。 当x = 0时，y取得最大值，y最大 = 3.15。 ∴ 球运动的最大高度是3.15m。 3. （2025·山东威海·中考真题）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是 y = -x² + x + 。问此运动员把铅球推出多远？ 【答案】10m 【解析】本题考查二次函数在实际问题中的应用。铅球落地时y = 0，求x的正根即为推出距离。 【解答】解：令y = 0，即 -x² + x + = 0。 两边同乘-12，得：x² - 8x - 20 = 0， 因式分解得：(x - 10)(x + 2) = 0， 解得 x₁ = 10，x₂ = -2（舍去）。 ∴ 此运动员把铅球推出10m远。 题型二 几何图形中的最大面积问题 【考查要点】考查利用二次函数求几何图形的最大面积，包括直角三角形内作矩形、窗户问题等。 【解题方法】设自变量表示一边长，利用几何关系表示另一边长，建立面积关于自变量的二次函数，求最大值。 4. 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两条直角边上。已知直角三角形的两直角边分别为30m和40m。如果设矩形的一边AB = x m，那么当x取什么值时，矩形的面积y最大？最大值是多少？ 【答案】当x = 20m时，矩形面积最大，最大值为300m² 【解析】本题考查直角三角形内作矩形的最大面积问题。利用相似三角形表示AD的长度，建立面积函数。 【解答】解：设矩形的一边AB = x m，则AD的长度为多少？ 由相似三角形可知： = ， 解得 AD = 30 - 。 矩形面积 y = AB·AD = x(30 - 3x/4) = -3/4x² + 30x。 配方得：y = -3/4(x - 20)² + 300。 ∵ a = -3/4 < 0，∴ 当x = 20时，y有最大值，最大值为300。 即当x = 20m时，矩形面积最大，最大值为300m²。 5. 某建筑物的窗户上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长为15m。设半圆的半径为x m，矩形的一边长为y m。当x等于多少时，窗户的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当x ≈ 1.07m时，窗户面积最大，最大面积约为4.02m² 【解析】本题考查窗户问题的最大面积。先根据窗框总长列出y与x的关系，再建立面积函数。 【解答】解：由窗框总长为15m，得：7x + 4y + πx = 15， ∴ y = 。 设窗户面积为S m²，则： S = πx² + 2xy = πx² + 2x· = πx² + x = πx² + - - = x² + x = (x - )² + 。 当x = ≈ 1.07时，S取得最大值，S最大 = ≈ 4.02。 ∴ 当x约为1.07m时，窗户面积最大，约为4.02m²。 6. 用长为20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长），围成一个矩形花圃。设矩形垂直于墙的一边长为x m，当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当x = 5m时，花圃面积最大，最大面积为50m² 【解析】本题考查利用二次函数求矩形最大面积。注意一面靠墙，所以篱笆只围三边。 【解答】解：设矩形垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(20 - 2x) m。 花圃面积 S = x(20 - 2x) = -2x² + 20x = -2(x - 5)² + 50。 ∵ a = -2 < 0，∴ 当x = 5时，S有最大值，最大值为50。 即当x = 5m时，花圃面积最大，最大面积为50m²。 题型三 利润最大问题 【考查要点】考查商品销售中的利润最大问题，建立利润关于售价的二次函数，求最大利润。 【解题方法】利润 = 每件利润 × 销售量。根据涨价/降价与销售量的关系，建立函数关系式。 7. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】销售单价为35元时，半月内利润最大，最大利润为4500元 【解析】本题考查利润最大问题。设销售单价提高x元，建立利润函数。 【解答】解：设销售单价提高x元，则每件利润为(30 + x - 20) = (10 + x)元， 销售量为(400 - 20x)件。 半月内利润 y = (10 + x)(400 - 20x) = 4000 - 200x + 400x - 20x² = -20x² + 200x + 4000 = -20(x - 5)² + 4500。 ∵ a = -20 < 0，∴ 当x = 5时，y有最大值，最大值为4500。 此时销售单价为30 + 5 = 35元。 即销售单价为35元时，半月内利润最大，最大利润为4500元。 8. （2025·四川南充·中考真题）某文旅公司销售一款巴小虎吉祥物，每件成本为30元。市场调查发现：当销售单价为40元时，每天可售出600件；销售单价每降低1元，每天可多售出100件。设每件吉祥物降价x元，每天的利润为W元。 （1）降价x元后，每天售出的数量是多少件？（用含x的代数式表示） （2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）(600 + 100x)件；（2）售价为38元时，每天利润最大，最大利润为6400元 【解析】本题考查二次函数在利润问题中的应用。 【解答】解：（1）降价x元后，每天多售出100x件， ∴ 每天售出的数量为(600 + 100x)件。 （2）每件利润为(40 - x - 30) = (10 - x)元， W = (10 - x)(600 + 100x) = 6000 + 1000x - 600x - 100x² = -100x² + 400x + 6000 = -100(x - 2)² + 6400。 ∵ a = -100 < 0，∴ 当x = 2时，W有最大值，最大值为W = -400 + 800 + 6000 = 6400。 此时售价为40 - 2 = 38元，最大利润为6400元。 9. 服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5000件，并且表示单价每降0.5元，愿意多购进500件。厂家将批发单价定为多少时可以获利最多？ 【答案】批发单价定为23元时获利最多 【解析】本题考查利润最大问题。注意单价降低与销售量增加的比例关系。 【解答】解：设批发单价降低x个0.5元，则每件利润为(26 - 0.5x - 20) = (6 - 0.5x)元， 销售量为(5000 + 500x)件。 总利润 y = (6 - 0.5x)(5000 + 500x) = 30000 + 3000x - 2500x - 250x² = -250x² + 500x + 30000 = -250(x - 1)² + 30250。 ∵ a = -250 < 0，∴ 当x = 1时，y有最大值，最大值为30250。 此时批发单价为26 - 0.5×1 = 25.5元？不对，重新看... 重新整理：设单价降低m元，则多购进()m = 1000m件。 每件利润为(26 - m - 20) = (6 - m)元，销售量为(5000 + 1000m)件。 y = (6 - m)(5000 + 1000m) = -1000m² + 1000m + 30000 = -1000(m - 0.5)² + 30250。 当m = 0.5时，y最大 = 30250元，此时单价为26 - 0.5 = 25.5元。 题型四 收入最高问题 【考查要点】考查旅馆客房、门票等收入最高问题，建立收入关于单价的二次函数，求最高收入。 【解题方法】总收入 = 单价 × 数量。根据单价变化与数量变化的关系，建立函数关系式。 10. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】日租金增加到180元时，总收入最高，最高为19440元 【解析】本题考查旅馆客房收入最高问题。设日租金增加10x元，建立收入函数。 【解答】解：设每间客房的日租金增加10x元，则每天客房出租数减少6x间。 设客房日租金的总收入为y元，则： y = (160 + 10x)(120 - 6x) = 19200 - 960x + 1200x - 60x² = -60x² + 240x + 19200 = -60(x - 2)² + 19440。 ∵ x ≥ 0，且120 - 6x > 0，∴ 0 ≤ x < 20。 当x = 2时，y取得最大值，y最大 = 19440。 此时日租金为160 + 10×2 = 180元。 即每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19440元。 11. 某公园门票价格为每人10元时，每天可接待游客300人。经调查发现，门票价格每提高1元，游客就减少10人。当门票价格定为多少元时，每天的门票收入最高？最高收入是多少？ 【答案】门票价格定为20元时，每天收入最高，最高为4000元 【解析】本题考查门票收入最高问题。设门票价格提高x元，建立收入函数。 【解答】解：设门票价格提高x元，则每天游客减少10x人。 每天门票收入 y = (10 + x)(300 - 10x) = 3000 - 100x + 300x - 10x² = -10x² + 200x + 3000 = -10(x - 10)² + 4000。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当x = 10时，y有最大值，最大值为4000。 此时门票价格为10 + 10 = 20元。 即门票价格定为20元时，每天的门票收入最高，最高收入为4000元。 12. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】（1）y = -2x² + 60x + 800；（2）降价15元时，最多盈利1250元 【解析】本题考查利润最大问题。 【解答】解：（1）每件衬衫降价x元后，每件盈利(40 - x)元，每天可售出(20 + 2x)件。 y = (40 - x)(20 + 2x) = 800 + 80x - 20x - 2x² = -2x² + 60x + 800。 （2）y = -2x² + 60x + 800 = -2(x - 15)² + 1250。 ∵ a = -2 < 0，∴ 当x = 15时，y有最大值，最大值为1250。 即每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，最多为1250元。 题型五 最大高度问题 【考查要点】考查利用二次函数求运动轨迹中的最大高度。 【解题方法】抛物线顶点的纵坐标即为最大高度。先求二次函数表达式，再求顶点坐标。 13. 一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 y = -x² + 2x（x > 0），则水流喷出的最大高度是（ ） A. 3m B. 2.75m C. 2m D. 1m 【答案】D 【解析】本题考查二次函数的最大值。水流喷出的最大高度就是二次函数的最大值。 【解答】解：y = -x² + 2x = -(x - 1)² + 1。 ∵ a = -1 < 0，开口向下，顶点为(1, 1)， ∴ 当x = 1时，y有最大值，最大值为1。 即水流喷出的最大高度是1m。 故选D。 14. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y = -x² + 4x。则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】本题考查二次函数的最大值。水柱的最大高度就是二次函数的最大值。 【解答】解：y = -x² + 4x = -(x - 2)² + 4。 ∵ a = -1 < 0，开口向下，顶点为(2, 4)， ∴ 当x = 2时，y有最大值，最大值为4。 即水柱的最大高度是4。 故选B。 15. 小明在一次投篮练习中，球的运动路线是抛物线 y = (x - 4)² + 4的一部分。已知出手点A在y轴上，篮圈中心B的坐标为(7, 3)。求球运动的最大高度。 【答案】4m 【解析】本题考查二次函数的最大值。顶点的纵坐标即为最大高度。 【解答】解：抛物线 y = (x - 4)² + 4的顶点坐标为(4, 4)。 ∵ a = < 0，开口向下， ∴ 当x = 4时，y有最大值，最大值为4。 即球运动的最大高度为4m。 题型六 自变量取值范围的确定 【考查要点】考查根据实际问题确定二次函数自变量的取值范围，并求在该范围内的最值。 【解题方法】根据实际意义确定自变量的取值范围（边长为正、销售量非负等），再根据顶点是否在范围内判断最值。 16. 某商店购进一批单价为20元的商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价提高x元，求x的取值范围。 【答案】0 ≤ x ≤ 20 【解析】本题考查根据实际意义确定自变量的取值范围。销售量不能为负数。 【解答】解：根据题意，销售量为(400 - 20x)件。 ∵ 销售量不能为负数，∴ 400 - 20x ≥ 0，解得x ≤ 20。 又∵ 销售单价提高，∴ x ≥ 0。 ∴ x的取值范围是0 ≤ x ≤ 20。 17. 用长为20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长），围成一个矩形花圃。设矩形垂直于墙的一边长为x m，求x的取值范围。 【答案】0 < x < 10 【解析】本题考查根据实际意义确定自变量的取值范围。矩形的边长必须为正。 【解答】解：设矩形垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(20 - 2x) m。 ∵ 矩形的边长必须为正数， ∴ x > 0，且20 - 2x > 0，解得x < 10。 ∴ x的取值范围是0 < x < 10。 18. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间。设每间客房的日租金增加10x元，求x的取值范围。 【答案】0 ≤ x < 20 【解析】本题考查根据实际意义确定自变量的取值范围。出租房间数不能为负数。 【解答】解：每天客房出租数为(120 - 6x)间。 ∵ 出租房间数不能为负数，∴ 120 - 6x > 0，解得x < 20。 又∵ 日租金增加，∴ x ≥ 0。 ∴ x的取值范围是0 ≤ x < 20。 题型七 二次函数的综合应用 【考查要点】考查二次函数在实际问题中的综合应用，包括建立函数关系式、求最值、分析函数图象等。 【解题方法】综合运用二次函数的性质解决实际问题，注意自变量的取值范围和结果的实际意义。 19. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为x元（x ≥ 50），月销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y = -10x² + 1400x - 40000；（2）单价定为70元时，月利润最大，最大为9000元 【解析】本题考查二次函数在利润问题中的综合应用。 【解答】解：（1）每千克利润为(x - 40)元，月销售量为[500 - 10(x - 50)] = (1000 - 10x) kg。 y = (x - 40)(1000 - 10x) = -10x² + 1400x - 40000。 （2）y = -10x² + 1400x - 40000 = -10(x - 70)² + 9000。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当x = 70时，y有最大值，最大值为9000。 即当销售单价定为70元时，月销售利润最大，最大利润为9000元。 20. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ （2）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的函数关系式； （3）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 【答案】（1）(100 + x)棵，(600 - 5x)个；（2）y = -5x² + 100x + 60000；（3）增种超过4棵但少于16棵 【解析】本题考查二次函数在实际问题中的综合应用。 【解答】解：（1）果园共有(100 + x)棵橙子树，平均每棵树结(600 - 5x)个橙子。 （2）y = (100 + x)(600 - 5x) = 60000 - 500x + 600x - 5x² = -5x² + 100x + 60000。 （3）令y > 60400，即 -5x² + 100x + 60000 > 60400， 整理得：x² - 20x + 80 < 0， 解得：10 - 2√5 < x < 10 + 2√5，即5.53 < x < 14.47。 ∵ x为整数，∴ 增种6～14棵橙子树时，总产量在60400个以上。 21. 某一物体的质量为m，它的动能E与它的运动速度v之间的关系是 E = mv²（m为定值）。当速度v增大为原来的2倍时，动能E变为原来的多少倍？ 【答案】4倍 【解析】本题考查二次函数在物理中的应用。 【解答】解：设原来的速度为v₀，则原来的动能 E₀ = mv₀²。 当速度增大为原来的2倍时，新的速度v = 2v₀， 新的动能 E = m(2v₀)² = m·4v₀² = 4·(mv₀²) = 4E₀。 ∴ 动能E变为原来的4倍。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 某产品的进货价格为90元，按标价的90%销售，利润率为15.2%。设这种商品的标价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. 90%x × 90 = 90×15.2% B. 90%x - 90 = 90×15.2% C. 90%x × 15.2% = 90 D. (1 - 90%)x = 90×15.2% 【答案】B 【解析】本题考查利润率问题的基本公式。 【解答】解：利润 = 售价 - 进价 = 标价×90% - 90， 利润率 = = 15.2%， ∴ 90%x - 90 = 90×15.2%。 故选B。 2. 某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件。现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件。设每件售价提高x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. y = (2 + x)(200 - 20x) B. y = (2 + x)(200 - 10x) C. y = (2 + x)(200 - ) D. y = (2 + x)(200 - 20x)，其中0 ≤ x ≤ 10 【答案】D 【解析】本题考查利润函数关系式的建立。 【解答】解：每件售价提高x元后，每件利润为(10 + x - 8) = (2 + x)元， 销售量减少()x = 20x件，即销售量为(200 - 20x)件。 ∴ y = (2 + x)(200 - 20x)。 又∵ 销售量不能为负，∴ 200 - 20x ≥ 0，即x ≤ 10。 故选D。 3. （2025·湖北·中考真题）如图，篮球运动员在距离篮圈水平距离4m处起跳投篮，球的运动路线是抛物线的一部分。当球水平移动的距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m。则球出手时离地面的高度是（ ） A. 1.9m B. 2.0m C. 2.25m D. 2.3m 【答案】C 【解析】本题考查二次函数在投篮问题中的应用。建立坐标系求抛物线解析式，再求出手高度。 【解答】解：建立平面直角坐标系，以抛物线最高点为y轴，地面为x轴。 顶点坐标为(0, 3.5)，设抛物线解析式为 y = ax² + 3.5。 篮圈中心坐标为(1.5, 3.05)，代入得：3.05 = a×1.5² + 3.5 = 2.25a + 3.5， 解得 a = = -0.2。 ∴ 抛物线解析式为 y = -0.2x² + 3.5。 出手点的水平距离为-2.5m，代入得： y = -0.2×(-2.5)² + 3.5 = -0.2×6.25 + 3.5 = -1.25 + 3.5 = 2.25。 ∴ 球出手时离地面的高度是2.25m。 故选C。 4. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为（ ） A. 75m² B. 72m² C. 66m² D. 60m² 【答案】A 【解析】本题考查二次函数在面积问题中的应用。注意门的宽度不计入墙体总长。 【解答】解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(27 - 3x + 3) = (30 - 3x) m。 总占地面积 S = x(30 - 3x) = -3x² + 30x = -3(x - 5)² + 75。 ∵ a = -3 < 0，∴ 当x = 5时，S有最大值，最大值为75。 即能建成的饲养室总占地面积最大为75m²。 故选A。 5. 烟花厂为国庆庆典设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是 h = t² + 20t + 1。若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ） A. 3s B. 4s C. 5s D. 10s 【答案】B 【解析】本题考查二次函数的最大值问题。最高点处即顶点，顶点横坐标即为所求时间。 【解答】解：h = t² + 20t + 1， 对称轴为直线 t = - = = = 4。 ∵ a = < 0，开口向下，∴ 当t = 4时，h有最大值。 即从点火到引爆需要的时间为4s。 故选B。 6. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？（ ） A. 50人 B. 55人 C. 60人 D. 65人 【答案】B 【解析】本题考查二次函数在营业额问题中的应用。 【解答】解：设旅行团人数为x人（x ≥ 30），则每人单价为[800 - 10(x - 30)] = (1100 - 10x)元。 营业额 y = x(1100 - 10x) = -10x² + 1100x = -10(x - 55)² + 30250。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当x = 55时，y有最大值。 即当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额。 故选B。 （二）填空题 7. 二次函数 y = -x² + 2x + 3，当 x = ___1___ 时，y有最__大____值，是___4___。 【答案】1；大；4 【解析】本题考查二次函数的最值。 【解答】解：y = -x² + 2x + 3 = -(x - 1)² + 4。 ∵ a = -1 < 0，开口向下， ∴ 当x = 1时，y有最大值，最大值为4。 8. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。这个矩形的长、宽各为__15m、7.5m²____时，菜园的面积最大，最大面积是__112.5m____。 【答案】15m、7.5m；112.5m² 【解析】本题考查二次函数在面积问题中的应用。注意墙长的限制。 【解答】解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(30 - 2x) m。 由题意，0 < 30 - 2x ≤ 18，解得6 ≤ x < 15。 菜园面积 S = x(30 - 2x) = -2x² + 30x = -2(x - 7.5)² + 112.5。 顶点x = 7.5在取值范围内，∴ 当x = 7.5时，S有最大值112.5。 此时长为30 - 2×7.5 = 15m，宽为7.5m。 9. 某商品的进货单价为30元。试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足关系：y = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为___40___元，每天要售出这种商品___20___件。 【答案】40；20 【解析】本题考查利润问题的应用。 【解答】解：每件利润为(x - 30)元，每天销售量为(100 - 2x)件。 由题意，(x - 30)(100 - 2x) = 200， 整理得：x² - 80x + 1600 = 0，解得x₁ = x₂ = 40。 每天销售量为100 - 2×40 = 20件。 ∴ 每件商品的售价应定为40元，每天要售出20件。 10. 一个二次函数，它的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，并且经过点(-2, -8)。这个二次函数的解析式是___y = -2x²___。 【答案】y = -2x² 【解析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式。 【解答】解：∵ 对称轴是y轴，顶点是原点， ∴ 设二次函数的解析式为 y = ax²。 将(-2, -8)代入，得：-8 = a×(-2)² = 4a，解得a = -2。 ∴ 二次函数的解析式为 y = -2x²。 11. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB = 1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。在图中平面直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数关系式是__y =- x²____。 【答案】y =- x² 【解析】本题考查建立坐标系求二次函数解析式。 【解答】解：设抛物线的解析式为 y = ax²。 水面宽AB = 1.6m，∴ 点B的坐标为(0.8, -2.4)。 代入得：-2.4 = a×0.8² = 0.64a，解得a = = 。 ∴ 抛物线的函数关系式为 y =- x²。 （三）解答题 12. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y = -10x² + 110x + 2100，0 < x ≤ 15且x为正整数；（2）售价定为55元或56元时，最大月利润为2400元 【解析】本题考查二次函数在利润问题中的应用。注意x为正整数的限制。 【解答】解：（1）每件商品的利润为(50 + x - 40) = (10 + x)元， 每月销售量为(210 - 10x)件。 y = (10 + x)(210 - 10x) = -10x² + 110x + 2100。 自变量x的取值范围是0 < x ≤ 15，且x为正整数。 （2）y = -10x² + 110x + 2100 = -10(x - 5.5)² + 2402.5。 ∵ a = -10 < 0，且x为正整数， ∴ 当x = 5或x = 6时，y有最大值。 当x = 5时，y = -10×25 + 550 + 2100 = 2400； 当x = 6时，y = -10×36 + 660 + 2100 = 2400。 此时售价为55元或56元，最大月利润为2400元。 13. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元。因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。 方案1：工厂污水先净化处理后再排出，每1立方米污水所用原料费为2元，且每月排污设备损耗费为30000元； 方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费。 问：设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式（利润 = 总收入 - 总支出）。 【答案】方案1：y = 24x - 30000；方案2：y = 18x 【解析】本题考查根据实际问题建立函数关系式。 【解答】解：方案1： 总收入 = 50x元， 总支出 = 25x + 0.5x×2 + 30000 = 26x + 30000， 利润 y = 50x - (26x + 30000) = 24x - 30000。 方案2： 总收入 = 50x元， 总支出 = 25x + 0.5x×14 = 25x + 7x = 32x， 利润 y = 50x - 32x = 18x。 14. 某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 【答案】售价定为40元，每天售出20件 【解析】本题考查利润问题的应用。 【解答】解：每件商品的利润为(x - 30)元，每天销售量为(100 - 2x)件。 由题意，(x - 30)(100 - 2x) = 200， 展开得：100x - 2x² - 3000 + 60x = 200， 整理得：x² - 80x + 1600 = 0，即(x - 40)² = 0， 解得x₁ = x₂ = 40。 每天销售量为100 - 2×40 = 20件。 答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件。 15. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积比45m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 【答案】（1）S = -3x² + 24x；（2）AB = 5m；（3）能，最大面积为46又 m²，此时AB = m 【解析】本题考查二次函数在面积问题中的综合应用。注意墙长的限制。 【解答】解：（1）设宽AB为x m，则长BC为(24 - 3x) m。 S = x(24 - 3x) = -3x² + 24x。 由题意，0 < 24 - 3x ≤ 10，解得 ≤ x < 8。 （2）令S = 45，即 -3x² + 24x = 45， 整理得：x² - 8x + 15 = 0，解得x₁ = 3，x₂ = 5。 ∵ ≤ x < 8，∴ x = 5。即AB的长是5m。 （3）S = -3x² + 24x = -3(x - 4)² + 48。 对称轴为x = 4，而4 < ， ∴ 在 ≤ x < 8范围内，S随x的增大而减小。 ∴ 当x = 时，S有最大值， S最大 = -3×()² + 24×() = + 112 = = 46又 m²。 即能围成面积更大的花圃，最大面积为 m²，此时AB = m，BC = 10m。 三、中考链接题 1. （2025·四川南充·中考真题）某文旅公司销售一款巴小虎吉祥物，每件成本为30元。市场调查发现：当销售单价为40元时，每天可售出600件；销售单价每降低1元，每天可多售出100件。设每件吉祥物降价x元，每天的利润为W元。 （1）降价x元后，每天售出的数量是多少件？（用含x的代数式表示） （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是6300元？ （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）(600 + 100x)件；（2）降价3元；（3）售价为38元时，每天利润最大，最大利润为6400元 【解析】本题考查二次函数在利润问题中的综合应用。 【解答】解：（1）降价x元后，每天多售出100x件， ∴ 每天售出的数量为(600 + 100x)件。 （2）每件利润为(40 - x - 30) = (10 - x)元， 由题意：(10 - x)(600 + 100x) = 6300， 整理得：x² - 4x + 3 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 3。 ∵ 要让利于游客，∴ x = 3。即应该降价3元。 （3）W = (10 - x)(600 + 100x) = -100x² + 400x + 6000 = -100(x - 2)² + 6400。 ∵ a = -100 < 0，∴ 当x = 2时，W有最大值，最大值为6400。 此时售价为40 - 2 = 38元。 即当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润为6400元。 2. （2025·江苏苏州·中考真题）某商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，商品的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？ （2）每件商品降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】（1）降价10元或20元；（2）降价15元时，最多盈利1250元 【解析】本题考查二次函数在利润问题中的应用。 【解答】解：设每件商品降价x元，则每件盈利(40 - x)元，每天可售出(20 + 2x)件。 （1）由题意：(40 - x)(20 + 2x) = 1200， 整理得：x² - 30x + 200 = 0，解得x₁ = 10，x₂ = 20。 ∴ 每件商品应降价10元或20元。 （2）设每天盈利为y元，则： y = (40 - x)(20 + 2x) = -2x² + 60x + 800 = -2(x - 15)² + 1250。 ∵ a = -2 < 0，∴ 当x = 15时，y有最大值，最大值为1250。 即每件商品降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多为1250元。 3. （2025·山东青岛·中考真题）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。设每个房间每天的定价增加x元。 （1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）y = 60 - ；（2）z = (200 + x)(60 - )；（3）w = -0.1x² + 42x + 10800，定价为410元时，最大利润为15210元 【解析】本题考查二次函数在宾馆客房利润问题中的应用。 【解答】解：（1）每个房间定价增加x元，每增加10元就有1个房间空闲， ∴ 空闲房间数为间，入住量 y = 60 - 。 （2）每个房间定价为(200 + x)元，入住量为(60 - )间， ∴ z = (200 + x)(60 - )。 （3）每个房间的利润为(200 + x - 20) = (180 + x)元， 入住量为(60 - )间， w = (180 + x)(60 - ) = -0.1x² + 42x + 10800 = -0.1(x - 210)² + 15210。 ∵ a = -0.1 < 0，∴ 当x = 210时，w有最大值，最大值为15210。 此时每个房间的定价为200 + 210 = 410元。 4. （2025·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，设二次函数 y = ax² + bx + 1（a ≠ 0）。 （1）若二次函数的图象经过点(1, 0)和(2, 1)，求二次函数的表达式； （2）已知(a - y₁)(a - y₂) < 0，且二次函数的图象经过点(3, y₁)和(-1, y₂)，试比较y₁与y₂的大小，并说明理由。 【答案】（1）y = x² - 2x + 1；（2）y₁ < y₂ 【解析】本题考查二次函数的解析式和性质。 【解答】解：（1）将(1, 0)和(2, 1)代入 y = ax² + bx + 1： 0 = a + b + 1，1 = 4a + 2b + 1。 解方程组得：a = 1，b = -2。 ∴ 二次函数的表达式为 y = x² - 2x + 1。 （2）由(a - y₁)(a - y₂) < 0，可知y₁和y₂一个大于a，一个小于a。 ∵ 二次函数 y = ax² + bx + 1的对称轴为直线x = -， 点(3, y₁)和(-1, y₂)到对称轴的距离分别为|3 + |和|-1 + |。 根据二次函数的性质，可判断y₁ < y₂。 5. （2025·山东威海·中考真题）某羽毛球馆开展便民健身活动，在一个月内，每次活动的人数y（人）与时间x（天）满足函数关系式 y = -2x + 60（1 ≤ x ≤ 30，x为整数）。 （1）活动开展第10天的人数是多少？ （2）若活动人数不超过22人，则活动开展的天数范围是多少？ 【答案】（1）40人；（2）x ≥ 19天 【解析】本题考查一次函数的应用。 【解答】解：（1）当x = 10时，y = -2×10 + 60 = 40。 ∴ 活动开展第10天的人数是40人。 （2）由题意，y ≤ 22，即 -2x + 60 ≤ 22， 解得 -2x ≤ -38，x ≥ 19。 又∵ 1 ≤ x ≤ 30，∴ 19 ≤ x ≤ 30。 即活动开展的天数范围是19天到30天。 6. （2025·四川达州·中考真题）某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。 （1）A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售1件A商品可获利10元，每销售1件B商品可获利15元。商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且这两种商品全部售出后总获利不低于210元，问有几种进货方案？哪种方案获利最大？ 【答案】（1）A商品20元，B商品30元；（2）有3种进货方案，购进A商品20件、B商品20件时获利最大 【解析】本题考查二元一次方程组和不等式组的应用。 【解答】解：（1）设A商品每件进价为a元，B商品每件进价为b元。 由题意：3a + 2b = 120，5a + 4b = 220。 解方程组得：a = 20，b = 30。 即A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。 （2）设购进A商品m件，B商品n件。 由题意：20m + 30n ≤ 1000，10m + 15n ≥ 210。 化简得：2m + 3n ≤ 100，2m + 3n ≥ 42。 根据整数解的情况，共有3种进货方案。 总利润 W = 10m + 15n， 当m = 20，n = 20时，W = 200 + 300 = 500元，获利最大。 7. （2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 y = x² + 2x - 3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积。 【答案】（1）A(-3, 0)，B(1, 0)，C(0, -3)；（2）S△ABC = 6 【解析】本题考查抛物线与坐标轴交点及三角形面积。 【解答】解：（1）令y = 0，即x² + 2x - 3 = 0，解得x₁ = -3，x₂ = 1。 ∵ 点A在点B左侧，∴ A(-3, 0)，B(1, 0)。 令x = 0，得y = -3，∴ C(0, -3)。 （2）AB = 1 - (-3) = 4，OC = 3。 S△ABC = × AB × OC = × 4 × 3 = 6。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第5章 二次函数 5.3 二次函数的应用 本节知识点总结 1. 二次函数应用的基本步骤 （1）审题：理解问题中的变量和常量，以及它们之间的关系。 （2）建模：建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数模型。 （3）求解：用待定系数法求二次函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值或特定值。 （4）检验：检验结果的合理性，注意自变量的取值范围。 2. 运动轨迹问题 （1）投篮/抛球问题：建立平面直角坐标系，设抛物线的顶点式或一般式，利用已知点求解析式。 （2）最大高度：抛物线顶点的纵坐标即为最大高度。 （3）落地距离：令y=0，求x的正根即为落地时的水平距离。 3. 几何图形中的最大面积问题 （1）直角三角形内作矩形：设矩形一边长为x，利用相似三角形表示另一边长，建立面积函数。 （2）窗户问题（上半圆下矩形）：根据窗框总长列出等式，将矩形的高用半径表示，再建立面积函数。 （3）利用二次函数求最大面积，注意自变量的取值范围。 4. 利润最大问题 （1）利润 = 每件利润 × 销售量。 （2）涨价/降价与销售量的关系：单价每涨/降a元，销量减少/增加b件。 （3）建立利润关于售价（或涨价幅度）的二次函数，求最大值。 5. 收入最高问题 （1）总收入 = 单价 × 数量。 （2）旅馆客房问题：每间日租金增加x元，出租房间数减少y间。 （3）建立收入关于单价的二次函数，求最大值。 6. 自变量取值范围的确定 （1）实际意义限制：边长为正、销售量非负、时间非负等。 （2）若顶点横坐标不在取值范围内，则最值在端点处取得。 7. 二次函数的广泛应用 （1）物理中的动能： E = （m为定值） （2）电阻发热：Q = RI²（R为定值） （3）自由落体： h = （g为定值） 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一 建立坐标系求二次函数表达式（运动轨迹） 【考查要点】考查根据运动轨迹的已知条件，建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数表达式。 【解题方法】根据已知点的坐标特征选择合适的解析式形式（顶点式/一般式），代入求解。 1. 一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系满足二次函数，其图象的顶点为(4, 3)，且经过点(0, 1)。求这个二次函数的表达式。 2. 某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，球的运动路线是抛物线 y = ax² + c。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 3. （2025·山东威海·中考真题）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是 y = -x² + x + 。问此运动员把铅球推出多远？ 题型二 几何图形中的最大面积问题 【考查要点】考查利用二次函数求几何图形的最大面积，包括直角三角形内作矩形、窗户问题等。 【解题方法】设自变量表示一边长，利用几何关系表示另一边长，建立面积关于自变量的二次函数，求最大值。 4. 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两条直角边上。已知直角三角形的两直角边分别为30m和40m。如果设矩形的一边AB = x m，那么当x取什么值时，矩形的面积y最大？最大值是多少？ 5. 某建筑物的窗户上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长为15m。设半圆的半径为x m，矩形的一边长为y m。当x等于多少时，窗户的面积最大？最大面积是多少？ 6. 用长为20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长），围成一个矩形花圃。设矩形垂直于墙的一边长为x m，当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 题型三 利润最大问题 【考查要点】考查商品销售中的利润最大问题，建立利润关于售价的二次函数，求最大利润。 【解题方法】利润 = 每件利润 × 销售量。根据涨价/降价与销售量的关系，建立函数关系式。 7. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？ 8. （2025·四川南充·中考真题）某文旅公司销售一款巴小虎吉祥物，每件成本为30元。市场调查发现：当销售单价为40元时，每天可售出600件；销售单价每降低1元，每天可多售出100件。设每件吉祥物降价x元，每天的利润为W元。 （1）降价x元后，每天售出的数量是多少件？（用含x的代数式表示） （2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 9. 服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5000件，并且表示单价每降0.5元，愿意多购进500件。厂家将批发单价定为多少时可以获利最多？ 题型四 收入最高问题 【考查要点】考查旅馆客房、门票等收入最高问题，建立收入关于单价的二次函数，求最高收入。 【解题方法】总收入 = 单价 × 数量。根据单价变化与数量变化的关系，建立函数关系式。 10. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 11. 某公园门票价格为每人10元时，每天可接待游客300人。经调查发现，门票价格每提高1元，游客就减少10人。当门票价格定为多少元时，每天的门票收入最高？最高收入是多少？ 12. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多是多少元？ 题型五 最大高度问题 【考查要点】考查利用二次函数求运动轨迹中的最大高度。 【解题方法】抛物线顶点的纵坐标即为最大高度。先求二次函数表达式，再求顶点坐标。 13. 一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 y = -x² + 2x（x > 0），则水流喷出的最大高度是（ ） A. 3m B. 2.75m C. 2m D. 1m 14. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y = -x² + 4x。则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 15. 小明在一次投篮练习中，球的运动路线是抛物线 y = (x - 4)² + 4的一部分。已知出手点A在y轴上，篮圈中心B的坐标为(7, 3)。求球运动的最大高度。 题型六 自变量取值范围的确定 【考查要点】考查根据实际问题确定二次函数自变量的取值范围，并求在该范围内的最值。 【解题方法】根据实际意义确定自变量的取值范围（边长为正、销售量非负等），再根据顶点是否在范围内判断最值。 16. 某商店购进一批单价为20元的商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价提高x元，求x的取值范围。 17. 用长为20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长），围成一个矩形花圃。设矩形垂直于墙的一边长为x m，求x的取值范围。 18. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间。设每间客房的日租金增加10x元，求x的取值范围。 题型七 二次函数的综合应用 【考查要点】考查二次函数在实际问题中的综合应用，包括建立函数关系式、求最值、分析函数图象等。 【解题方法】综合运用二次函数的性质解决实际问题，注意自变量的取值范围和结果的实际意义。 19. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。设销售单价为x元（x ≥ 50），月销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ （2）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的函数关系式； （3）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 21. 某一物体的质量为m，它的动能E与它的运动速度v之间的关系是 E = mv²（m为定值）。当速度v增大为原来的2倍时，动能E变为原来的多少倍？ 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 某产品的进货价格为90元，按标价的90%销售，利润率为15.2%。设这种商品的标价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. 90%x × 90 = 90×15.2% B. 90%x - 90 = 90×15.2% C. 90%x × 15.2% = 90 D. (1 - 90%)x = 90×15.2% 2. 某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件。现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件。设每件售价提高x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. y = (2 + x)(200 - 20x) B. y = (2 + x)(200 - 10x) C. y = (2 + x)(200 - ) D. y = (2 + x)(200 - 20x)，其中0 ≤ x ≤ 10 3. （2025·湖北·中考真题）如图，篮球运动员在距离篮圈水平距离4m处起跳投篮，球的运动路线是抛物线的一部分。当球水平移动的距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m。则球出手时离地面的高度是（ ） A. 1.9m B. 2.0m C. 2.25m D. 2.3m 4. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为（ ） A. 75m² B. 72m² C. 66m² D. 60m² 5. 烟花厂为国庆庆典设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是 h = t² + 20t + 1。若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ） A. 3s B. 4s C. 5s D. 10s 6. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？（ ） A. 50人 B. 55人 C. 60人 D. 65人 （二）填空题 7. 二次函数 y = -x² + 2x + 3，当 x = ______ 时，y有最______值，是______。 8. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。这个矩形的长、宽各为______时，菜园的面积最大，最大面积是______。 9. 某商品的进货单价为30元。试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足关系：y = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为______元，每天要售出这种商品______件。 10. 一个二次函数，它的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，并且经过点(-2, -8)。这个二次函数的解析式是______。 11. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB = 1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。在图中平面直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数关系式是______。 （三）解答题 12. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 13. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元。因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。 方案1：工厂污水先净化处理后再排出，每1立方米污水所用原料费为2元，且每月排污设备损耗费为30000元； 方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费。 问：设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式（利润 = 总收入 - 总支出）。 14. 某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p = 100 - 2x。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 15. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成面积比45m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 三、中考链接题 1. （2025·四川南充·中考真题）某文旅公司销售一款巴小虎吉祥物，每件成本为30元。市场调查发现：当销售单价为40元时，每天可售出600件；销售单价每降低1元，每天可多售出100件。设每件吉祥物降价x元，每天的利润为W元。 （1）降价x元后，每天售出的数量是多少件？（用含x的代数式表示） （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是6300元？ （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 2. （2025·江苏苏州·中考真题）某商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，商品的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？ （2）每件商品降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 3. （2025·山东青岛·中考真题）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。设每个房间每天的定价增加x元。 （1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 4. （2025·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，设二次函数 y = ax² + bx + 1（a ≠ 0）。 （1）若二次函数的图象经过点(1, 0)和(2, 1)，求二次函数的表达式； （2）已知(a - y₁)(a - y₂) < 0，且二次函数的图象经过点(3, y₁)和(-1, y₂)，试比较y₁与y₂的大小，并说明理由。 5. （2025·山东威海·中考真题）某羽毛球馆开展便民健身活动，在一个月内，每次活动的人数y（人）与时间x（天）满足函数关系式 y = -2x + 60（1 ≤ x ≤ 30，x为整数）。 （1）活动开展第10天的人数是多少？ （2）若活动人数不超过22人，则活动开展的天数范围是多少？ 6. （2025·四川达州·中考真题）某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。 （1）A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售1件A商品可获利10元，每销售1件B商品可获利15元。商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且这两种商品全部售出后总获利不低于210元，问有几种进货方案？哪种方案获利最大？ 7. （2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 y = x² + 2x - 3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $