2.4确定二次函数的表达式（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

2.4确定二次函数的表达式 题型一 待定系数法求二次函数表达式 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知抛物线经过点，则时，图象上最高点的坐标为 ． 2．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 3．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）已知：点是二次函数图象上的点，求该二次函数的表达式． 4．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知抛物线过点，，，求抛物线的解析式． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式． 6．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 7．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 8．（25-26九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数图象经过，，，求函数解析式. 题型一 已知顶点坐标与另一点，求表达式 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 3．（25-26九年级上·吉林四平·期中）抛物线的顶点坐标是，且经过点，求这条抛物线的解析式． 4．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 5．（25-26九年级上·福建·阶段练习）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 6．（24-25九年级上·福建龙岩·开学考试）已知某抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 题型二 已知图象与x轴的两个交点，求表达式 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点是，． (1)这个二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知抛物线的对称轴为，且经过点和，试求该抛物线的表达式． 3．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 5．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数与坐标轴交于点，求这个二次函数的表达式 6．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为、，且过点． (1)求出二次函数解析式． (2)求出该函数顶点坐标． 7．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴交点的坐标是，求抛物线的解析式． 题型三 已知图象与y轴的交点及另一点，求表达式 1．（2026九年级·广西·专题练习）请写出一个开口向上，与轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式： ． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数，图象过，对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 3．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． (2)当时，求的取值范围． 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，对称轴为直线，求二次函数的解析式和顶点坐标． 5．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 6．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)请求出二次函数解析式； (2)在所给坐标系中用列表描点法画出该二次函数的图象． 题型四 已知c值和两点，求表达式 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过、两点． (1)求该函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）已知关于x 的二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； (3)当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点是抛物线上一动点，点的横坐标的取值范围是，求的纵坐标的取值范围． 4．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知抛物线经过点、两点． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数（为常数，且），若该二次函数图象经过点，求的值． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若， ①求二次函数的表达式； ②若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (2)若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 题型一 二次函数综合 1．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 3．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点． (1)时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值； (3)当，求y的最小值的取值范围． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4确定二次函数的表达式 题型一 待定系数法求二次函数表达式 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知抛物线经过点，则时，图象上最高点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先把点代入抛物线求出的值，可得抛物线的解析式为，可知抛物线开口向上，分别计算出当时和当时的值，比较得出最高点的坐标即可． 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 抛物线为， ， 抛物线开口向上， 在范围内， 当时，， 当时，， ， 时，图象上最高点的坐标为． 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．把和代入，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）已知：点是二次函数图象上的点，求该二次函数的表达式． 【答案】二次函数的表达式为 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． 利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 点是二次函数图象上的点，代入解析式得， ， 解得， 该二次函数的表达式为． 4．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知抛物线过点，，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 把两个已知点的坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程求出、，从而得到二次函数解析式． 【详解】解；根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为． 6．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数解析式的方法是解题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 7．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 8．（25-26九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数图象经过，，，求函数解析式. 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 题型一 已知顶点坐标与另一点，求表达式 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握相关的性质是解题的关键；根据顶点坐标可设顶点式，再根据形状与开口方向相同可求a，即可得解． 【详解】解：顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 形状与开口方向都与抛物线相同， ， 抛物线对应的函数解析式为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为抛物线的顶点坐标为，所以设抛物线解析式为，代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ∴解析式为． 3．（25-26九年级上·吉林四平·期中）抛物线的顶点坐标是，且经过点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，先理解题意，设这条抛物线的解析式为，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设这条抛物线的解析式为 将代入得 解得， ∴． 4．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 5．（25-26九年级上·福建·阶段练习）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握求函数解析式的几种方法是解题的关键． 先设顶点式，再把代入，解方程即可求解，即可求出函数解析式． 【详解】解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 6．（24-25九年级上·福建龙岩·开学考试）已知某抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了求二次函数解析式和二次函数的性质，解题关键是熟练运用顶点式求出二次函数解析式． （1）设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解； （2）由抛物线开口方向及对称轴判断，的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入上式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，都在抛物线上，且， ∴． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）将已知点的坐标代入求解即可； （2）根据该函数图象的开口方向和对称轴，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ， ∵二次函数图象过点， 将点代入， 得， 解得，， ∴该二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数值随的增大而增大． 题型二 已知图象与x轴的两个交点，求表达式 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点是，． (1)这个二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若该二次函数图象上的最高点到x轴的距离为2．求该二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据对称点坐标求对称轴，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称点的坐标求函数对称轴即可； （2）根据题意得出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：根据题意得顶点坐标为， 假设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴． 2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知抛物线的对称轴为，且经过点和，试求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的对称轴为，且经过点，则根据抛物线的对称性，图象经过另一点，然后利用待定系数法即可求解，，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且经过点， ∴根据抛物线的对称性，图象经过另一点， 设抛物线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴，即， ∴该抛物线的表达式为． 3．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)函数的最小值为 【分析】（1）先根据抛物线与x轴交于点，，设出抛物线解析式的交点式，再将点代入，即可求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线的开口向下可知函数有最大值，再分别求出当时和当时y的值，即可求出y的最小值． 本题主要考查了求二次函数的表达式，及求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，对称轴为直线，开口向下， ∴时，y的值最大为9， 当时，， 当时，， 当时，函数的最小值为． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的解析式为，图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，先由待定系数法求出函数解析式，再判断开口方向，配方得到顶点式即可求解顶点坐标和对称轴，掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， 设二次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则， ∴图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 5．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数与坐标轴交于点，求这个二次函数的表达式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，根据题意设是解题的关键． 由题可设，再代入点求解即可． 【详解】解：二次函数过，则可设． 把点代入上式得，解得， 所求的二次函数的表达式是， 即． 6．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为、，且过点． (1)求出二次函数解析式． (2)求出该函数顶点坐标． 【答案】(1)或 (2)顶点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）将（1）所得的解析式化成顶点式即可解答． 【详解】（1）解：设，将代入可得： ，解得：； 所以． （2）解：∵， ∴该函数顶点坐标为． 7．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴交点的坐标是，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线的交点式是解题的关键． 根据题意，设抛物线的交点式为，代入即可求得． 【详解】解：根据题意，设拋物线的解析式为， 将代入得，，解得， 所以抛物线的解析式为． 题型三 已知图象与y轴的交点及另一点，求表达式 1．（2026九年级·广西·专题练习）请写出一个开口向上，与轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征． 设，由图象与轴交点纵坐标为，可得，而图象经过点，故，又图象开口向上，可令，则，即可得到答案． 【详解】解：设， ∵图象与轴交点纵坐标为， ∴， ∴， ∵图象经过点， ∴， ∴， 由图象开口向上，可令，则， 此时抛物线的解析式为； 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数，图象过，对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)，它的顶点坐标为； (2)见解析 (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得； ∴它的顶点坐标为； （2）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 图象如图所示： （3）解：当时，， 由图象可得，当时，． 3．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；点不在此函数图象上． (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据待定系数法求出函数解析式，再将代入判断是否在函数图象上； （2）求出函数对称轴，根据二次函数的性质即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴ 解： ∴， 当时，， ∴点不在此函数图象上． （2）解：∵， ∴对称轴， ∴当时，； 当时，； ∴． 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，对称轴为直线，求二次函数的解析式和顶点坐标． 【答案】，． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．由二次函数图象的对称轴为直线，可设其表达式为：，代入两点坐标列方程组可求得的值，就可得到二次函数的表达式，并写出顶点坐标即可得答案． 【详解】∵对称轴为直线， ∴设二次函数的表达式为， 把，代入，得， 解得． ∴二次函数的表达式为，二次函数图象的顶点坐标为． 5．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解： 将代入得， ． 6．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)请求出二次函数解析式； (2)在所给坐标系中用列表描点法画出该二次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点、连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 函数图象如下所示： 题型四 已知c值和两点，求表达式 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过、两点． (1)求该函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为， ，二次函数的开口向上， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 时，取最小值，， 时，， 时，， 综上所述：当时，函数的取值范围为． 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）已知关于x 的二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； (3)当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】(1) (2)见详解 (3)减小 【分析】本题考查了画二次函数的图象，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先找出图象经过点，再结合题干的该二次函数图象经过点，再描点连线，即可作答． （3）函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴的右边，y随着x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x 的二次函数的图象经过点． ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式， 令，则， 令，则， 令，则， ∵图象经过点． ∴把，分别在平面直角坐标系上表示出来，再依次连接，如图所示： （3）解：∵二次函数的解析式， ∴得出函数图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的右边，y随着x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点是抛物线上一动点，点的横坐标的取值范围是，求的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的函数表达式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象与性质判断函数在范围内的最大与最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∵， 所以，抛物线开口向下，对称轴为直线， 在对称轴处取得最大值， 当时，； 当时，, ∵点的横坐标的取值范围是， ∴当时，． 4．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知抛物线经过点、两点． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，y的取值范围为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数一般式化为顶点式； （1）将点、代入解析式中建立关于a、b的二元一次方程组，即可求解； （2）运用数形结合思想，抛物线的对称轴为在范围之内，所以y的最小值就是当时y的值，y的最大值就是当时y的值. 【详解】（1）解：将、代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 将解析式化为顶点式 故其对称轴为直线，顶点坐标为. （2）解：根据抛物线解析式，可画图其图象： ∵对称轴为在范围之内， ∴y的最小值就是当时，， ∵范围的右边端点离对称轴更远且抛物线开口向上， ∴y的最大值就是当时，， 故当时，y的取值范围为. 5．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数（为常数，且），若该二次函数图象经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，把点代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 故． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可确定顶点坐标，然后再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象如图： 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若， ①求二次函数的表达式； ②若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (2)若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 【答案】(1)①；②二次函数的值为1 (2)开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）①利用待定系数法即可求得；②先得到抛物线对称轴为直线，而此抛物线图象上有两点，且这两点关于对称轴对称，即可求出，再由表格即可求解函数值； （2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得当， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②由表格可得，和时的函数值都是1， ∴抛物线对称轴为直线 ∵此抛物线图象上有两点，且关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴当时，由表格得； （2）解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称，则， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， 即该二次函数图象的开口向下． 题型一 二次函数综合 1．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得，得出抛物线解析式，进而令，得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在点的左侧时，当在点的右侧时，得出的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为，先求得点的坐标，再令，连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则， 设直线的解析式为，代入，得 解得； ∴直线的解析式为 （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，即， 当在点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在点的右侧时，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：，令， ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 解得：； ∵四边形是矩形， 又∵，则 ∴当直线：经过点时，则， 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，的取值范围为或． 3．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点． (1)时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值； (3)当，求y的最小值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关性质知识是解题的关键． 本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质等知识点 （1）由二次函数的性质以及已知条件可得，即；然后将代入求得即可； （2）先求得抛物线与x轴交于，与y轴交于，直线与x轴交于，与y轴交于，易得；如图：过点P作轴交于M，于N，易证，由相似三角形的性质可得，，则，易得，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）先得到抛物线的解析式为，然后根据分情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为，， ∴对称轴，解得：， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式． （2）解：∵， ∴抛物线与x轴交于，与y轴交于， ∵直线，当时，， ∴直线与x轴交于，与y轴交于， ∴， ∴， 如图：过点P作轴交于M，于N， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵ ∴最大值为，即点P到直线距离的最大值为． （3）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线可表示为， ∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴， ①当时，y在时取最小值，即， ②当时，y在x＝0时取最小值即， ∵， ∴当时，y在或4时取最小值，即． 综上：求y的最小值的范围为． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $