5.2二次函数的图象 同步训练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

5.2 二次函数的图象 同步训练 第1课时 二次函数y=±x²的图象与性质 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质 1. 二次函数y=-x²的图象大致为 （ ） 2. 下列关于二次函数y=x²图象的说法中，错误的是 （ ） A. 图象的形状是一条抛物线 B. 图象开口向上，且关于y轴对称 C. 图象的顶点是抛物线的最高点 D. 图象的顶点坐标是(0,0) 3. 下列各点中，一定在二次函数y=-x²的图象上的是 （ ） A. (2-6) B. (-2) C. (-2) D. (2-12) 4. 在二次函数y=x²对称轴右侧的图象上，y随x的增大而________．点(1,y₁)，(3,y₂)是该函数图象上的点，则y₁，y₂的大小关系是________． 5.（教材随堂练习变式）若点A(2,m)在抛物线y=x²上，则m=________，点A关于y轴对称的点为________，它________（填"在"或者"不在"）二次函数y=x²的图象上． 知识点2 二次函数y=x²和y=-x²的图象之间的关系 6. 关于抛物线y=x²与y=-x²的说法中错误的是 （ ） A. 形状相同，但开口方向相反 B. 都关于y轴对称 C. 图象都有最低点，且其坐标均为(0,0) D. 两抛物线关于x轴对称 7. 函数y=x²与y=-x²的图象关于________对称，也可以认为函数y=-x²的图象是函数y=x²的图象绕________至少旋转________°得到的． B 规律方法综合练 训练思维 8. 如图5-2-2，A，B为抛物线y=x²上两点，且线段AB⊥y轴．若AB=6，则点A的坐标为 （ ） A. (3,3) B. (3,9) C. (-3,3) D. (-3,9) 9. 如图5-2-3，边长为8的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________． 10. 若点(-1,y₁)，(3,y₂)在二次函数y=-x²的图象上，则y₁与y₂的大小关系为________． 11. 已知y=(k+2)x^(k²+k-4)是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）k的值为________；图象的对称轴为________． （2）若该图象上一点A的坐标为(1,m)，则该图象上点A关于对称轴的对称点的坐标为________． （3）请在图5-2-4中画出该函数的图象，并根据图象写出当-2≤x<0时，y的取值范围为________． 第2课时 二次函数y=ax²的图象与性质 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 二次函数y=ax²的图象与性质 1. 抛物线y=- x²的开口方向是 （ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 抛物线y=3x²的顶点坐标为 （ ） A. (0,0) B. (0,-3) C. (-3,0) D. (-3,-3) 3. 抛物线y=ax²(a>0)一定经过 （ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 若二次函数y=ax²的图象经过点P(2,4)，则该图象必经过点 （ ） A. (-2,-4) B. (-2,4) C. (-4,2) D. (4,-2) 5. 关于二次函数y=-2x²的图象，下列说法错误的是 （ ） A. 对称轴为y轴 B. 对称轴与图象的交点为(0,0) C. 当x>0时，y随x的增大而增大 D. 当x=0时，y有最大值0 6. 已知(-3,y₁)，(-2,y₂)，(1,y₃)是抛物线y=-5x²上的点，则y₁，y₂，y₃的大小关系为________（用"<"连接）． 7.（1）在图5-2-5所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=3x²和y= x²的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标几方面说说（1）中两个函数图象的相同点与不同点． 知识点2 二次函数y=ax²与y=ax²+c的关系 8.（2025上海）抛物线y=3x²向下平移2个单位长度所得的抛物线表达式为________． 9. 二次函数y=2x²+3的图象是由二次函数y=2x²的图象向________平移________个单位长度得到的． 10. 在同一平面直角坐标系中画出函数y=-2x²+1和y=-2x²的图象，并写出它们的对称轴和顶点坐标． 知识点3 二次函数y=ax²+c的图象与性质 11. 二次函数y=x²+1的图象大致是 （ ） 12. 关于抛物线y=x²-1，下列说法中错误的是 （ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是y轴 C. 当x>0时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为(0,-1) 13. 已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在抛物线y=x²-3上，且0<x₁<x₂，则y₁________y₂．（填"<"">"或"="） B 规律方法综合练 训练思维 14. 若原点是抛物线y=(m+1)x²的最高点，则m的取值范围是 （ ） A. m<0 B. m<1 C. m<-1 D. m>-1 15. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax²+c的图象大致为 （ ） 16. 与抛物线y=- x²-1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是 （ ） A. y=- x²-1 B. y= x²-1 C. y=- x²+1 D. y= x²+1 17. 把图5-2-8中图象的序号填在它的函数表达式后面． （1）二次函数y= x²的图象是________； （2）二次函数y= x²的图象是________； （3）二次函数y=-2x²的图象是________； （4）二次函数y=- x²的图象是________． 18. 如图5-2-9，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= x²于点B，C，求BC的长． C 拓广探究创新练 提升素养 19. 如图5-2-10，将二次函数y=x²-4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新的函数图象（图中的实线）． （1）当x=-3时，新函数值为________，当x=1时，新函数值为________； （2）当x=________时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________； （4）若关于x的方程|x²-4|=a有且只有两个实数根，则a的取值范围是________． 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质 1. 在平面直角坐标系中，二次函数y=2(x-1)²的图象大致是 （ ） 2. 抛物线y=3(x+1)²的顶点坐标为 （ ） A. (0,0) B. (1,0) C. (-1,0) D. (1,3) 3. 二次函数y=-2(x-3)²的图象的对称轴是 （ ） A. 直线x=-2 B. 直线x=-3 C. 直线x=3 D. 直线x=1 4. 已知关于x的函数y=-2(x+m)²，下列说法不正确的是 （ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线x=-m C. 函数的最大值为0 D. 图象与y轴不相交 5. 已知A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)为抛物线y=(x-2)²上的两点，如果x₁<x₂<2，那么y₁________y₂．（填">""<"或"="） 6. 已知二次函数y=4(x+1)²． （1）二次函数的图象开口方向________，对称轴为直线________，顶点坐标为________； （2）在图5-2-12的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当x________时，y随x的增大而减小． 知识点2 图象的平移 7. 将二次函数y=5x²的图象向左平移2个单位长度，得到的函数图象的表达式为 （ ） A. y=5x²+2 B. y=5x²-2 C. y=5(x+2)² D. y=5(x-2)² 8. 要得到函数y=-x²的图象，可以将函数y=-(x-4)²的图象 （ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移4个单位长度 C. 向左平移4个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 B 规律方法综合练 训练思维 9. 已知二次函数y=-(x-4)²，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是 （ ） A. x>4 B. x<4 C. x>-4 D. x<-4 10.【数学思想 分类讨论】已知关于x的二次函数y=-(x-h)²，当2≤x≤5时，函数有最大值-1，则h的值为________． 11. 已知抛物线y=a(x-h)²向右平移3个单位长度后得到抛物线y= x²． （1）求a，h的值； （2）绘制二次函数y=a(x-h)²的图象； （3）写出抛物线y=a(x-h)²的对称轴及顶点坐标． 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的图象与性质 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1.（2025哈尔滨）抛物线y=-(x-3)²+4的顶点坐标是 （ ） A. (3,4) B. (-3,4) C. (-3,-4) D. (3,-4) 2. 二次函数y=(x+1)²-2的图象大致是 （ ） 3.（2025甘孜州改编）对于抛物线y=2(x-1)²+3，下列说法正确的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 函数最小值为3 C. 抛物线的对称轴为直线x=-1 D. 抛物线y=2(x-1)²+3是由抛物线y=2x²先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 4. 已知二次函数y=-(x-2)²+k的图象上有A(-1,y₁)，B(4,y₂)两个点，则y₁，y₂的大小关系为y₁________y₂．（填">""<"或"="） 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c的图象的对称轴和顶点坐标的确定 5. 用配方法将二次函数表达式y=x²-8x-9化为y=a(x-h)²+k的形式为 （ ） A. y=(x-4)²+25 B. y=(x-4)²-25 C. y=(x+4)²+7 D. y=(x+4)²-25 6. 抛物线y=-3x²+6x+2的对称轴是 （ ） A. 直线x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=1 D. 直线x=-1 7. 抛物线y=x²-2x-3的顶点坐标是 （ ） A. (1,-4) B. (2,-4) C. (-1,4) D. (-2,-3) 8.（教材随堂练习变式）用配方法将下列二次函数表达式化成y=a(x-h)²+k的形式，并写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． （1）y=2x²-4x+5； （2）y=(x-1)(x-5)． 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 9. 已知函数y=x²-4x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是 （ ） A. x<2 B. x>2 C. x>-4 D. -2<x<4 10. 二次函数y=x²-x+2的图象大致是 （ ） 11. 已知抛物线y=-x²+2x-3，下列结论中，错误的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线x=1 C. 抛物线的顶点坐标为(1,2) D. 当x>1时，y随x的增大而减小 12.（2025徐州）二次函数y=x²+x+1的最小值为________． 13. 若二次函数y=x²-2x+m的图象经过点A(-2,y₁)，B(2,y₂)，C(3,y₃)，则y₁，y₂，y₃的大小关系是________（用"<"连接）． 14. 已知二次函数y=-2x²+4x+6． （1）求出该函数图象的对称轴，及其与x轴、y轴的交点坐标； （2）当x取何值时，该函数有最大值，并求出最大值； （3）在图5-2-15中画出函数图象，并回答以下问题： ①当x取何值时，y随x的增大而增大？ ②当x取何值时，y随x的增大而减小？ ③当x取何值时，y>0？ 知识点4 抛物线y=ax²+bx+c的平移 15.（2024包头）将抛物线y=x²+2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为 （ ） A. y=(x+1)²-3 B. y=(x+1)²-2 C. y=(x-1)²-3 D. y=(x-1)²-2 16. 将抛物线y=x²+2x-1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 （ ） A. (-4,-1) B. (-4,2) C. (2,1) D. (2,-2) B 规律方法综合练 训练思维 17. 对于二次函数y=(x-m)²-2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 （ ） A. m=1 B. m>1 C. m≥1 D. m≤1 18. 二次函数y=ax²+bx的图象如图5-2-16所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 19.（2025盐城）已知二次函数y=x²-2x-3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________． 20. 如图5-2-17，抛物线y=x²-2x+c的顶点A在直线l:y=x-a上，C(3,0)为抛物线上一点． （1）求a的值； （2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABC的形状． 参考答案 第1课时 二次函数y=±x²的图象与性质 1. A 2. C 3. D 4. 增大 y₁<y₂ 5. 4 (-2,4) 在 6. C 7. x轴 x轴 180 8. D 9. 32 10. y₁>y₂ 11.（1）-3 y轴(或直线x=0) （2）(-1,-1) （3）画出图象略 -4≤y<0 第2课时 二次函数y=ax²的图象与性质 1. B 2. A 3. A 4. B 5. C 6. y₃<y₂<y₁ 7.（1）略 （2）相同点：形状都是抛物线，且开口方向相同，对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0,0)；不同点：图象开口大小不同． 8. y=3x²-2 9. 上 3 10. 画出图象略 11. C 12. C 13. < 14. C 15. A 16. B 17.（1）② （2）④ （3）③ （4）① 18. 解：A(0,3)，B(-3,3)，C(3,3)，BC=6 19.（1）5 5 （2）0 （3）x>0 （4）a>4或a=0 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质 1. A 2. C 3. C 4. D 5. > 6.（1）向上 x=-1 (-1,0) （2）略 （3）<-1 7. C 8. A 9. A 10. 1或6 11.（1）a=，h=-3 （2）略 （3）对称轴是直线x=-3，顶点坐标是(-3,0) 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的图象与性质 1. A 2. C 3. B 4. < 5. B 6. C 7. A 8.（1）y=2(x-1)²+3，对称轴直线x=1，顶点(1,3) （2）y=(x-3)²-2，对称轴直线x=3，顶点(3,-2) 9. A 10. B 11. C 12. 13. y₂<y₃<y₁ 14.（1）对称轴直线x=1，与x轴交点(-1,0)和(3,0)，与y轴交点(0,6) （2）x=1时最大值8 （3）图象略 ①x<1 ②x>1 ③-1<x<3 15. A 16. D 17. C 18. D 19. -4≤y≤5 20.（1）5 （2）△ABC是直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $