5.1 认识二次函数（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A/B/C组分层设计与中考链接，构建从概念识别到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数定义识别、系数计算、实际问题函数关系识别与列式|以选择、填空题为主，聚焦单一概念（如定义判断、系数确定），夯实基础| |B组|函数关系类型判断、含参数的二次函数系数综合计算|结合实际情境（如销售利润），强化推理能力，衔接基础与提升| |C组|动态几何中的函数关系（如正方形与圆的面积）、综合探究题|通过动点问题（如正方形运动重叠面积），发展空间观念与创新意识| |拓展|中考真题（如2025兰州中考题）|对接中考题型，提升应用意识与解题策略|

分层作业 1 认识二次函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的定义及识别 题型02 与二次函数的系数有关的计算 题型03 根据实际问题识别函数关系 题型04 根据实际问题列出二次函数关系式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数的定义及识别 1.（2025秋•浦东新区期末）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax+1 B．y＝ax2+1 C．y＝（a2+1）x2 D．y＝（ax+1）2 2.（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 3.（2025秋•怀化月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝4x2﹣（2x+1）2 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D． 4.（2025秋•宜昌期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x﹣2） B．y＝（x+1）2 C．y＝2（x+3）2﹣2x2 D．y＝1﹣x2 5．（2025秋•江津区期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝3x（1﹣3x）； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025秋•唐山期末）若函数y＝□﹣5x+3是二次函数，则“□”可以是（　　） A．y B．22 C．x2 D．2x ( 题型0 2 )与二次函数的系数有关的计算 7．（2025秋•平顺县期末）二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．1 D．3 8．（2025秋•新疆期末）关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 9.（2026•泗阳县一模）函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10.（2025秋•虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1 11．（2025秋•盐城期末）若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12.（2026春•江北区校级期中）若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 13.（2026•镜湖区校级一模）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 ． 14.（2025秋•黔东南州期末）若y＝（m﹣2）x2﹣4x是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　 ． ( 题型0 3 )根据实际问题识别函数关系 15．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（　　） A．速度一定时，汽车行驶的路程与时间的关系 B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 16．（2025秋•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 17．（2025秋•滨海新区校级月考）下列变量间具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 18．（2026•七里河区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 ( 题型0 4 )根据实际问题列出二次函数关系式 19．（2025秋•寿县期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 20．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 21．（2025秋•惠山区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若鸡场的宽为xm，养鸡场面积为Sm2，则S与x之间的函数关系式为（　　） A．S＝x（30﹣2x） B．S＝x（32﹣2x） C．S＝x（28﹣2x） D．S＝x（30﹣x） 22．（2025秋•大连期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），当x＞0时，y与x的函数关系式为 ． 23.下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c模型的是（　　） A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与半径之间的关系 24.（2025秋•威信县月考）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 25.（2025秋•江阳区期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 26.（2026•兰州校级开学）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 27.（2026•兰州校级模拟）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 28．（2025秋•蒙城县月考）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，当点A与点M重合时停止运动，则重叠部分的面积y（cm2）与时间x（s）之间的函数关系式为（　　） A．y＝4x2﹣40x+100 B．y＝2x2﹣20x+50 C．y＝4x2﹣100 D．y＝2x2+50 29．（2026•兰州校级一模）如图，⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．下列说法中，不正确的是（　　） A．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数 B．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数 C．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数 D．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数 30．（2026•惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　 　 ． 31．（2025秋•凉州区期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 32．（2025秋•泗阳县期末）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当y＝0时，求自变量x的值． 33.（2025秋•周至县月考）关于x的函数y＝（a2+2a+5）x2+3ax+1（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 34．（2026•兰州校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 35．（2026•兰州一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 36．（2025春•同步）已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数？ （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数？ 东东给出了如下解答过程：（1）由y＝（m﹣4）是关于x的一次函数，得m﹣4+2＝0，解得m＝2．（2）由是关于x的二次函数，得m﹣4＝0，解得m＝4． 请问东东的解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程． 37.（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1 认识二次函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的定义 题型02 与二次函数的系数有关的计算 题型03 根据实际问题识别函数关系 题型04 根据实际问题列出二次函数关系式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数的定义及识别 1.（2025秋•浦东新区期末）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax+1 B．y＝ax2+1 C．y＝（a2+1）x2 D．y＝（ax+1）2 【答案】C 【解析】∵二次函数需满足最高次项为x2且系数不为0，A．y＝ax+1，最高次项为x1，不是二次函数；B．y＝ax2+1，若a＝0，则y＝1，不是二次函数；C．y＝（a2+1）x2，∵a2≥0，∴a2+1≥1＞0，恒满足二次函数定义；D．y＝（ax+1）2＝a2x2+2ax+1，若a＝0，则y＝1，不是二次函数． 2.（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 【答案】C 【解析】解：A、不是整式，故此选项不符合题意；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y是二次函数，故此选项符合题意；D、不是整式，故此选项不符合题意． 3.（2025秋•怀化月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝4x2﹣（2x+1）2 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D． 【答案】C 【解析】A.y＝4x2﹣（2x+1）2＝4x2﹣（4x2+4x+1）＝﹣4x﹣1，为一次函数；B.y＝ax2+bx+c，当a＝0时不是二次函数，因此不一定为二次函数；C.s＝2t2﹣2t﹣1，是整式，a＝2≠0，一定为二次函数；D.，含有分式，不是整式，因此不是二次函数. 4.（2025秋•宜昌期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x﹣2） B．y＝（x+1）2 C．y＝2（x+3）2﹣2x2 D．y＝1﹣x2 【答案】C 【解析】解：A．y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，是二次函数，不合题意，故此选项错误；B．y＝（x+1）2＝x2+2x+1，是二次函数，不合题意，故此选项错误；C．y＝2（x+3）2﹣2x2＝12x+18，是一次函数，符合题意，故此选项正确；D．y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函数，不合题意，故此选项错误． 5．（2025秋•江津区期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝3x（1﹣3x）； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①y＝1x2x2+1，是二次函数；②y，分母中含有自变量，不是二次函数；③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．二次函数共三个． 6．（2025秋•唐山期末）若函数y＝□﹣5x+3是二次函数，则“□”可以是（　　） A．y B．22 C．x2 D．2x 【答案】C 【解析】根据二次函数的定义，要使得函数y＝□﹣5x+3是二次函数，只有C选项“□”可以是x2．A、y，y＝y﹣5x+3不是二次函数，故A选项错误；B、22，y＝22﹣5x+3是一次函数，故B选项错误；C、x2，y＝x2﹣5x+3是二次函数，故C选项正确；D、2x，y＝2x﹣5x+3是一次函数，故D选项错误. ( 题型0 3 )与二次函数的系数有关的计算 7．（2025秋•平顺县期末）二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．1 D．3 【答案】A 【解析】二次函数形式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项是﹣3x，则一次项系数是﹣3， 8．（2025秋•新疆期末）关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 【答案】B 【解析】关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数是﹣2、一次项系数是4、常数项是1. 9.（2026•泗阳县一模）函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数，∴m+1＝2，∴m＝1． 10.（2025秋•虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1 【答案】B 【解析】由题意得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，解得m＝3或m＝﹣1且m≠3，∴m＝﹣1． 11．（2025秋•盐城期末）若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数则m﹣1＝2，解得m＝3， 12.（2026春•江北区校级期中）若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 【答案】C 【解析】由已知可得m﹣2≠0，m2﹣2＝2，解得x＝﹣2． 13.（2026•镜湖区校级一模）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 ． 【答案】0 【解析】∵函数是关于x的二次函数，根据二次函数的定义，得，解方程k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3．由k﹣3≠0得k≠3，因此k＝0． 14.（2025秋•黔东南州期末）若y＝（m﹣2）x2﹣4x是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　 ． 【答案】m≠2． 【解析】∵函数y＝（m﹣2）x2﹣4x是关于x的二次函数，∴m﹣2≠0，解得m≠2， 即m的取值范围是m≠2. ( 题型0 3 )根据实际问题识别函数关系 15．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（　　） A．速度一定时，汽车行驶的路程与时间的关系 B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 【答案】A 【解析】A、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；B、E＝mv2，m一定，是二次函数，正确；C、fmv2，m一定，是二次函数，正确；D、H＝gt2，g一定，是二次函数，正确． 16．（2025秋•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【解析】由题意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y，即y与x是一次函数关系，∵S＝y2﹣πx2，把y代入S＝y2﹣πx2，则Sπx2﹣5πx+25＝（π）x2﹣5πx+25，即满足二次函数关系. 17．（2025秋•滨海新区校级月考）下列变量间具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【解析】根据二次函数的定义逐项分析判断如下：A．正方形的周长y与边长x的关系为y＝4x，是一次函数，不符合题意；B．正方形的面积S与边长x的关系为S＝x2，符合二次函数形式，符合题意；C．三角形的高一定时，面积y与底边x的关系为y（h为定值），是一次函数，不符合题意；D．速度一定时，路程s与时间t的关系为s＝vt（v为定值），是一次函数，不符合题意. 18．（2026•七里河区校级二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【解析】如图，连接DF， ∵AB＝3，AE＝BF＝x，∴BC＝CD＝3，FC＝3﹣x，设△ADG的面积为m，∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF3×3﹣m3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5x＝9﹣mx，S2＝S△ADE﹣S△ADG3×x﹣mx﹣m，∴S1﹣S2＝9﹣mxx+m＝﹣3x+9，∴S1﹣S2与x的函数关系为一次函数关系． ( 题型0 4 )根据实际问题列二次函数关系式 19．（2025秋•寿县期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 【答案】C 【解析】∵矩形的长为20cm，宽为10cm，且四个角上分别剪去小正方形的边长为xcm，∴做成的无盖的长方体盒子的底面是长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm的矩形．根据题意得：y＝（10﹣2x）（20﹣2x），又∵10﹣2x＞0，x＞0，∴0＜x＜5，∴y与x之间的函数关系式为y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5）． 20．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 【答案】A 【解析】由题意，∵增长率为x，根据“7月份销售1500个，∴9月份销售y个”列得函数关系式为：y＝1500（1+x）2． 21．（2025秋•惠山区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若鸡场的宽为xm，养鸡场面积为Sm2，则S与x之间的函数关系式为（　　） A．S＝x（30﹣2x） B．S＝x（32﹣2x） C．S＝x（28﹣2x） D．S＝x（30﹣x） 【答案】B 【解析】设鸡场的宽为xm．根据长方形的面积公式列出函数关系式为：S＝x（30+2﹣2x）， ∴S＝x（32﹣2x）． 22．（2025秋•大连期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），当x＞0时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+10x+600（x＞0）　 ． 【答案】y＝﹣2x2+10x+600（x＞0） 【解析】每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 设每个商品降价x元，则每个商品的利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每天销量为（30+2x）个，∴y＝（20﹣x）（30+2x）＝600+40x﹣30x﹣2x2＝﹣2x2+10x+600，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+10x+600. 23.下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c模型的是（　　） A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与半径之间的关系 【答案】C 【解析】A、汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y＝ax2+bx+c模型；B、增长率为1%固定，我国总人口数随年份变化的关系属于指数函数，不能看作二次函数y＝ax2+bx+c模型；C、信号弹所走出的路线是抛物线，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c模型；D、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y＝ax2+bx+c模型． 24.（2025秋•威信县月考）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 【答案】A 【解析】由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0．由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4． 又∵a﹣4≠0，即a≠4，∴a＝﹣4． 25.（2025秋•江阳区期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【解析】A、铅笔的单价不变，总价y与支数x是正比例函数，故此选项不符合题意； B、路程一定，列车运行的平均速度y与时间x是反比例函数，故此选项不符合题意；C、y＝6x2，所以正方体的表面积y与它的棱长x是二次函数关系，故此选项符合题意；D、速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x是正比例函数，故此选项不符合题意. 26.（2026•兰州校级开学）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【解析】①，y是x的反比例函数；②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数； 所以y与x满足的函数关系是二次函数的是③. 27.（2026•兰州校级模拟）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG，∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴S四边形EGCF＝S△BECS正方形ABCD，∵S△EFG＝S四边形EGCF﹣S△CFG，∴y（5﹣x）•xx2x，∴y与x满足的函数关系是二次函数． 28．（2025秋•蒙城县月考）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，当点A与点M重合时停止运动，则重叠部分的面积y（cm2）与时间x（s）之间的函数关系式为（　　） A．y＝4x2﹣40x+100 B．y＝2x2﹣20x+50 C．y＝4x2﹣100 D．y＝2x2+50 【答案】B 【解析】由条件可知∠HAM＝45°，∠HMA＝90°，∴重叠部分△AMH也是等腰直角三角形， ∴MH＝AM，又∵AN＝2x，∴AM＝MN﹣AN＝10﹣2x，∴MH＝AM＝10﹣2x，∴重叠部分的面积为． 29．（2026•兰州校级一模）如图，⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．下列说法中，不正确的是（　　） A．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数 B．若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数 C．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数 D．若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数 【答案】D 【解析】∵⊙O的半径为xcm，正方形ABCD的边长为ycm，∴⊙O与正方形ABCD的周长之和为L＝（2πx+4y）cm，⊙O与正方形ABCD的面积之积为S1＝πx2y2cm2，阴影部分的面积为S ＝y2﹣πx2cm2，∴yπx，S，y，∴若⊙O与正方形ABCD的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为：yπx，为一次函数，选项A不符合题意，S关于x的函数关系为：S，为二次函数，选项B不符合题意，若⊙O与正方形ABCD的面积之积即S1为定值时，y关于x的函数关系为：y，为反比例函数，选项C不符合题意，S关于x的函数关系为：Sπx2，不是反比例函数，选项D符合题意． 30．（2026•惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　 　 ． 【答案】﹣14． 【解析】函数y＝﹣x2+mx+2的二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝m，常数项c＝2，把a＝﹣1，b＝m，c＝2，代入3ax﹣b＝cx﹣1得到：﹣3x﹣m＝2x﹣1，∴x，∴13， ∴﹣14≤m≤﹣4，∴m的最小值是﹣14． 31．（2025秋•凉州区期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：（1）由条件可得， ∴m＝3． （2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2． 32．（2025秋•泗阳县期末）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当y＝0时，求自变量x的值． 解：（1）由条件可知k﹣2≠0，k2﹣2＝2， ∴k≠2，k＝±2， 即k＝﹣2； （2）由（1）可得，该二次函数为y＝﹣4x2+4x+8， 当y＝0时，﹣4x2+4x+8＝0， ∴x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1． 33.（2025秋•周至县月考）关于x的函数y＝（a2+2a+5）x2+3ax+1（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 解：乙的说法正确，理由： ∵a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0， ∴此函数一定是二次函数， ∴乙的说法正确． 34．（2026•兰州校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【解析】根据题意可得：PB＝t，∴PA＝AB﹣PB＝5﹣t，∴⊙B的面积S＝πPB2＝πt2，属于二次函数关系，正方形APCD周长y＝4PA＝4（5﹣t）＝﹣4t+20，属于一次函数关系， 35．（2026•兰州一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动．过点P作PF∥AD，交DE于点F．设AP＝x，△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x，y2与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【解析】如图，延长FP，交DC于点H，设正方形的边长为2a， ∵FD∥CB，∴△DHF∽△DCE，∴，∴，∴HF，∵FP＝PH﹣FH＝2a，∴S△DPFPF•DH， ，∴y1为x的二次函数，∵S△DEPPF•DC ，y2是x的一次函数， 综上，y1为x的二次函数，y2是x的一次函数. 36．（2025春•同步）已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数？ （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数？ 东东给出了如下解答过程：（1）由y＝（m﹣4）是关于x的一次函数，得m﹣4+2＝0，解得m＝2．（2）由是关于x的二次函数，得m﹣4＝0，解得m＝4． 请问东东的解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：不正确， （1）由 y＝（m﹣4）2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数， 得，解得m＝2，当m＝2时，它是y关于x的一次函数； （2）由y＝（m﹣4）2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得 ①m﹣4＝0， 解得m＝4； ②m2﹣m＝1， 解得m； ③， 解得m＝﹣1； ④m2﹣m＝0，解得m＝0或m＝1； 综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或﹣1或时，它是y关于x的二次函数． 37.（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【解析】∵正方形ABCD中，AB＝2cm，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∴，OC＝OAACcm．当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx，作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°，∴，，是二次函数； 当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1 认识二次函数 参考答案 ( 题型0 1 )二次函数的定义及识别 1.C 2.C 3.C 4.C 5．C 6．C ( 题型0 2 )与二次函数的系数有关的计算 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12.C 13.0 14.m≠2． ( 题型0 3 )根据实际问题识别函数关系 15．A 16．B 17．B 18．B ( 题型0 4 )根据实际问题列二次函数关系式 19．C 20．A 21．B 22．y＝﹣2x2+10x+600（x＞0） 23.C 24.A 25.C 26.C 27.C 28．B 29．D 30．﹣14． 31．解：（1）由条件可得， ∴m＝3． （2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2． 32．解：（1）由条件可知k﹣2≠0，k2﹣2＝2， ∴k≠2，k＝±2， 即k＝﹣2； （2）由（1）可得，该二次函数为y＝﹣4x2+4x+8， 当y＝0时，﹣4x2+4x+8＝0， ∴x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1． 33.解：乙的说法正确，理由： ∵a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0， ∴此函数一定是二次函数， ∴乙的说法正确． 34．C 35．D 36．解：不正确， （1）由 y＝（m﹣4）2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数， 得，解得m＝2，当m＝2时，它是y关于x的一次函数； （2）由y＝（m﹣4）2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得 ①m﹣4＝0，解得m＝4； ②m2﹣m＝1，解得m； ③，解得m＝﹣1； ④m2﹣m＝0，解得m＝0或m＝1； 综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或﹣1或时，它是y关于x的二次函数． 37.D 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $