甘肃省白银市靖远县多校2026届高三上学期12月月考数学试题

2026届高三年级12月月考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-2<x<0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= A.{-2,-1)} B.{-2,2} C.{-2} D.{-1} 2.设x∈R,则“x<3”是“x2一9<0”成立的 A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若sina=√3cosa,a∈(0，π)，则a= Ag B暗 跨 4.已知在△ABC中，AB=a,AC=b,若点D满足CD=3DB,点M为AC的中点，则MD= 11 b c号- 3 1 A.ia-ib D.at 5.已知一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都 是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为 A.50m B.45m C.49m D.56m 6.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4c十b2=c2+16,a=4,则角B为 A晋 B c 2π D 3 ①第1页（共4页） 7.已知函数f(x)=1十z,则f(x)在区间[1,3]上的最大值，最小值分别为 A最大值为1，最小值为号 B最大值为号，最小值为日 C最大值为1，最小值为 1 D最大值为？最小值为号 8.已知函数f(x)=e-1+ex+1+x2-2x+a(a∈R),若f(2x十3)>f(2-x),则实数x 的取值范围是 A-3+o) B.(-o,-3U(-3+∞） c(-0,-5U(-+∞ D.(-5,-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 4+3i 9.已知复数x一1十2分则下列说法正确的是 A.z十z=4 B.|z-i=2 C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.之是方程x2一4x十6=0的一个复数根 10.已知向量a=(1,t),b= ,则下列说法正确的是 A.存在t∈R,使得a∥b B.若t=1,则(a+b)⊥(a-b) C.a+b的最小值为2 D.若a十b在a上的投影向量的模为2，则t=士√5 11.已知函数f(x)=x3-x+1,则下列说法正确的有 A.函数f(x)在 35 上单调递减 3’3 B.函数f(x)仅有1个极值点 C.函数f(x)仅有1个零点 D.直线y=2x-1是曲线y=f(x)的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12在数列a,冲，a,=3a=a,十1g1+月)则a= 18已知a>0,6>0,若a+6=2,则十a十1车6的最小值为 14.若对任意的x∈[2,5]a·e=1<后恒成立，则正实数a的最大值为 @第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{an},且a3=8,a5=12,数列{bn}满足b2=a1,bm+1=2b.(n∈N). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tm 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a=√5 csin B+3 bcos C. (1)求inB+y5cosB的值， sin B-cos B 2)如图，若D是边AC的中点，a=2,BD-罗，求△ABC的面积 17.(15分)已知函数f(x)=-xlnx+2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)求函数f(x)在[1，e2]上的最值. ④第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=一sin(cOS+5 sin)+5( 2 (w>0)的最小正周期为元. (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称轴方程. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的横坐标变为原来的 2倍，得到函数g(x)的图象.若关于x的方程[g(x)]十mg(x)十m一2=0在区间 ⊙，)上有解，求实数m的取值范围。 19.17分)已知函数fx)=e+(a-1De-x- (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. @第4页（共4页）2026届高三年级12月月考 数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由A={x|-2<x<0},B={-2,-1,0,1,2},得A∩B={-1}.故选D. 2.C【解析】由x2-9<0,解得-3<x<3,所以“x<3”是“x2-9<0”成立的必要不充分条件.故选C. 3.B【解析】因为sina=√3cosa,所以tana= n&-5.因为a∈(0，x),所以a=号放选B. cos a 4.B【解析】由题意，M应-MC+Cò-AC+应-AC+A店-4AC)-子A店-子AC-子a-子b.故选B. D 5.C【解析】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项a1=25,公比q=0.6. 则该热气球在前3分钟里上升的总高度5，-11g）_25×10.6）-49.故选C 1-9 1-0.6 6.C【解析】在△ABC中，4c十62=c2+16,a=4,则cosB=a2+c2-6_16+c2-6_4c_1 2ac 8c -8c=2又B∈(0，x),则 B=于敢选C 7.B【解析1函数fx)==x+1)-2+D+1=工十1十 x+1 x+1 x+12, 由对勾函数的性质得，函数fx)在[1,3]上单调递增，当x-1时，x)-2,当x=3时，f(x)-号故选B. 8.B【解析】因为f(x)=e-1+ex+1十x2-2x十a(a∈R), 所以f(2-x)=e2-x-1+el-2-)+(2-x)2-2(2-x)十a=e-1+e+1+x2-2x十a, 所以f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 又因为y=e1十e+1=e1+e品=x-2x+aa∈R,均在1，十)止单调递增， 所以函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，在（一∞，1]上单调递减. 因为f2x+3)>f2-),由对称性得12x+3-1>2-x-1,化简得3x2+10x+3>0,解得x>号或x<-3. 所以实数x的取值范围为(-0，一3U(-日十)放选B 9.ABC【解析】对于A,之=4十3DC1一21 (1+2)(1-2i) =2-i, 所以z=2十i,x十x=(2-i)+(2+i)=4,故A正确； 对于B,之-i=(2+i)一i=2,所以|z-i=2,故B正确； 对于C,复数x=2一i在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第四象限，故C正确； 对于D,将x=2-i代入方程x2-4x十6=0的左边，得(2-i)2-4(2-i)+6=4-4i十i2-8+4i十6=1≠0， 所以之不是该方程的根，故D错误故选ABC。 ④数学答案第1页（共6页） 10.BCD【解析】若a/b,则1×-4×(-1)=0，无解，故A错误： 若t=1,则向量a=(1,1),b=(-1,1),则(a+b)·(a-b)=(0,2)·(2,0)=0×2+2×0=0, 所以(a十b)⊥(a-b),故B正确； 因为a·b=1X(-1D+×1=0,所以a+b=√a+b严=√a+b+2a·b t =++1=2+r≥2+22=2，当且当=即=士1时等号成立 所以a十b的最小值为2，故C正确； a十b在a上的投影向量的模a+b）·a-la+a,bl-√十元=2，解得L=士3，故D正确，故选BCD. a a 1.ACD【解标】对于A,由f)=x-x+1,得'(x)=3x-1,令f'(x)=0,则工=± 3 F0在（怎}上恒成立，所以系数f)在〔】 上单调递减，故A正确。 3或x> 对于B,由A得f'(x)=32-1,令fx)>0得<- 9 3,令f'(x)<0得- 所以函数了)在(，)上单调递摊，在（，上单调递减，在（，十 3,+∞ 上单调递增. 三一3为极大值点，工三为极小值点所以函数fC工有两个极值点，放B错误 又(}停(-+1=1+2得-99+1-1250 9 当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→十∞时，f(x)→十∞， 作出∫(x)的大致图象如图，所以函数f(x)仅有1个零点，故C正确. -3-210123x -1 2 -3 对于D,设切点P(xoyo),则y=x8-x0十1，曲线y=f(x)在点P处的切线为y一(x8一xo十1)=(3x-1)(x一xo), 即y=(3x8-1)x-2x8+1, 3x6-1=2, 若直线y=2x一1是切线，则 解得xo=1,即切点为(1,1)， -2.x8+1=-1, 所以直线y=2x一1是曲线y=f(x)的切线，故D正确.故选ACD. 124【解折】由a4=a,+e+)得a1-a.=+)-8中=ga+1》-g, n 所以a2-a1=lg2-lg1,ag-a2=lg3-lg2,…,a1o-ag=lg10-lg9,累加得a1o=lg10-lg1十a1=4. ④数学答案第2页（共6页） 18.号【解标】因为a>0,6>0,所以a+1>0,b+1>0,又因为a+6=2,所以a+1+6+1=4, 所以a+6=。+14+1+o+1=++a] a+1b+1 fb+1_4(a+1) 1 a- ≥+]当且仅当+行 31 时取等号 a+b=2, b23 所以十。十6的最小值为 14,h5【解标】由题意，a·2e·e<nx,z∈[2,5]，得2a·e=≤n 所以2ax·e2ar≤xlnx=lnx·enx. 令f(t)=t·e(t>0),则f'(t)=e+t·e=(1+t)e>0, 所以f(t)=t·e在(0，+∞)上单调递增. 又因为f(2ax)≤f(lnx),所以2ax≤lnx对任意的x∈[2,5]恒成立. 所以e≤2，只需u≤(）r∈2.51 设8e)-2x[2,5,则g)- 1 2z-2In x 1-In z 4x2 2.x2 当x∈[2，e)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 当x∈(e,5]时，g'(x)<0,则g(x)单调递减. 5 又s=4eo)-臣a92-h2 4=10=l1n32、ln√/251m5 10 10 10 所以g6x=g6)-h。,所以a<。,则正实数a的最大值为日。 15.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 由a3=8,a5=12,得a1+2d=8,a1+4d=12, 解得a1=4,d=2.… …2分 所以am=a1十(n-1)d=2n十2.… 由题意，b2=a1=4,bn+1=2bn(n∈N*),得b1=2 b+1二2. …4分 所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以bn=b1q-1=2.…6分 (2)由(1)，得cn=anbn=(2n十2)·2m=(n十1)·20+1.…8分 则Tm=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2m+1, 则2Tn=2×23十3×24十4X25十…十(n十1)·2+2， 两式作差得， ④数学答案第3页（共6页） -Tm=2X22十(23十24十…+2"+1)-(n十1)·2"+2 =8+81-2-) -(n十1)·2+2 1-2 =-n2+2, ……12分 所以Tn=n·2m+2. …13分 16.解：(1)由3a=√3 csin B十3 bcos C及正弦定理，得 3sinA=√3 sin Csin B+3 sin Bcos C.…l分 又因为A十B+C=π，则sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 3sin Bcos C+3cos Bsin C=3sin Csin B+3sin Bcos C, 即3 cos Bsin C=sin Csin B.…5分 又因为C∈(0，π)，sinC≠0，则cosB=sinB,即tanB=√5， 所以sinB+3cosB-tanB+325 =3十5，………8分 sin B-cos B tanB-1√3-1 (2)由(1)知tanB=√3，B∈(0，x),所以B=3 因为D是AC的中点，所以B币-2(B+BC.… …10分 则1BD:=子(B赋+B=(威+C+2函·BCos),即9- 44 (c2+4+2c), 则c2+2c-15=(c-3)(c+5)=0,解得c=3或c=-5(负值，舍去). …13分 所以sa=2 siB=号×2X3x5-35 1 2■ 2 …15分 17.解：(1)函数f(x)=一xlnx十2x十1的定义域是(0，十∞).…1分 又因为f'(x)=l-lnx,令f'(.x)>0,獬得0<x<e;令f'(x)<0,解得x>e.…3分 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,十o∞).…5分 所以函数f(x)的极大值为f()=e十1，无极小值.… …7分 (2)由(1)知，函数f(x)在[1，e)上单调递增，在(e,e2]上单调递减： 所以f(x)nx=f(e)=-elne十2e十1=e十1.…l0分 所以函数f(x)在[1，e2]上的最小值为min{f(1),f(e2)》.…12分 又因为f(1)=3,f(e2)=1,所以f(e2)<f(1). 所以函数f(x)在1，e]上的最小值为1，即f(x)in=1.… …15分 18.解：(1)f(x)=-sin wxcos wx-√3sin2wx+ -2sin 2wz-3.1-cos 2wz 3 31 2 2 3 2 cos 2wz- in 2ur-cos …2分 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2w= 2T=2,即0=1. …3分 ④数学答案第4页（共6页） 所以fx)-os2x+ …4分 又因为-x+2kx≤2z+百≤2kxk∈Z,解得大m-径≤<k-5k∈乙。 所以函数f()单调递瑞区间为[x登kx]k∈乙… …6分 解2z+吾-k,得x经-k∈Z, 所以函数f()图象的对称轴方程为工二7-龙E乙.…………8分 (2)将函数f(x)=c0s2x+晋)的图象向右平移个单位长度后得到函数 y=eo[2(e-)+】-eos2x-》-sin2x的图象， 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得g(x)=sinx的图象.…I0分 若关于x的方程sinx十msin十m一2=0在区间0，)上有解。 2nz在区间（0，)上有解.…… 则m一1+sinx …13分 设t=1十sinx∈(1,2)，则m= -2+2+1=-1 t 十2 t 因为u(t)=一t+ +2在1,2)上单调递减，所以u)∈(，2 …16分 所以实数m的取值范围为合2小 …17分 19.解：)当a=2时，fx)=e+e-x-分，所以f0)=e+e-0-号-， 22’ f'(x)=2e2x十e-1,所以f'(0)=2e0十e°-l=2.…3分 以切线方程为y一号=2(z-0）即4红-2y十3=0，…………………4 (2)因为函数fx)-号e+(a-1)e-x-是， 1 所以f'(x)=ae2z十(a-1)e2-1=(ae2-1)(e2十1).…5分 当a≤0时，显然f'(x)<0,所以函数f(x)在R上单调递减。…6分 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=-lna, x∈(-∞，-lna),f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞，-lna)上单调递减， x∈(-lna,十∞)，f'(x)>0,所以函数f(x)在(-lna,十o∞)上单调递增. …7分 综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减； 当a>0时，函数f(x)在(-o∞，-lna)上单调递减，在(-lna,十o∞)上单调递增.…8分 (3)由(2)知，当a≤0时，f(x)在(-∞，十∞)上单调递减，函数f(x)不可能有两个零点.…9分 1=1-+lna. 当a>0时，f()=f(-lna)=号e+(a-10e+lna2-豆2a ④数学答案第5页（共6页） 若函数f)有两个零点，则有fc)<0,即吃六十lna<0, 令g(a)=22a 1士lnQ则g@）二2及+>0，所以g(@在(0，+∞)上单调递增 11 因为g(1)=2一2+ln1=0,所以若g(a)<0,则有0<a<1.…10分 下面证明：当a∈(0,1)时，函数f(x)有两个零点. 因为f(-2》=20+a-1e+2-2>-e1+>0. 由零点的存在性定理知，f(x)在（一2，一lna)上存在唯一零点. 当x>h时，由y=e在R上单调递增，则e>e片，即e> 所以2e>2,所以%e-2>0,所以9e十a-2>0.…12分 又因为fx)-受e*+a-1e-x-合=e(8e+a-2十e--日 令()=e-x-日所以(x)=e-1,令'(x)=0,解得=0， 当x∈(-∞，0)时，t'(x)<0,则函数t(x)在（一∞，0）上单调递减， 当x∈(0，+∞)时，t'(x)>0,则函数t(x)在(0，十∞)上单调递增. 1 所以当x>0时，()>(0)17=复所以e2文2>0。…………15 所以当x>ln&时，f)=e(台e+a-2+e-z-2>0, 1 由零点的存在性定理知，f(x)在(-lna,十∞)上存在唯一零点，所以函数f(x)有两个零点. 所以实数a的取值范围是(0,1).…17分 ④数学答案第6页（共6页）