15.1.1 轴对称及其性质 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

15.1.1 轴对称及其性质 知识清单 2026—2027 学年 八年级数学上册 人教版 知识地图 ① 轴对称图形 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合 ② 轴对称 把一个图形沿某条直线折叠，若它能与另一个图形重合，则这两个图形成轴对称 ③ 对称点 折叠后能够互相重合的点，叫作对应点（对称点） ④ 线段垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 ⑤ 性质1 成轴对称的两个图形全等（对应线段相等、对应角相等） ⑥ 性质2 成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对称点的连线 ⑦ 轴对称图形的性质 对称轴垂直平分任意一对对称点所连的线段 ⑧ 画对称轴 找一对对应点 → 连线 → 作这条线段的垂直平分线 ⑨ 重要提醒 「轴对称图形」是一个图形的性质；「轴对称」是两个图形的关系 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 了解 通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能举出生活中的例子 掌握 能判断一个图形是不是轴对称图形，并找出（画出）它的对称轴 理解 理解线段垂直平分线的概念，理解轴对称的性质 应用 能运用轴对称的性质解决求线段长度、求角度等简单问题 2. 本节重难点 重点：轴对称图形与两个图形成轴对称的概念；轴对称的性质「对称轴垂直平分对称点连线」。 难点：区分「轴对称图形」（一个图形的特征）与「两个图形成轴对称」（两个图形的位置关系），并理解二者的联系。 二、轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 折叠后能够互相重合的点是对应点，叫做对称点。这时也说这个图形关于这条直线对称。 图 1 轴对称图形：沿直线 l 折叠，两旁的部分能够互相重合，A 与 A′ 是对称点 要点1：轴对称图形说的是「一个图形」自身的特征：它能被一条直线分成互相重合的两部分。 要点2：对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线。 要点3：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的有多条。例如：等腰三角形有 1 条，长方形有 2 条，等边三角形有 3 条，正方形有 4 条，圆有无数条。 常见轴对称图形与对称轴条数（括号内为条数）：角（1）、等腰三角形（1）、长方形（2）、等边三角形（3）、正方形（4）、圆（无数条）。 三、两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 这条直线叫做对称轴；折叠后互相重合的点是对应点，叫做对称点。 要点1：两个图形成轴对称，说的是「两个图形」之间的位置关系。 要点2：成轴对称的两个图形一定全等；但全等的两个图形不一定成轴对称（位置不对就折不到一起）。 要点3：判断两个图形成轴对称的步骤：先找一条直线，再看沿它折叠后两图形能否完全重合。 图 2 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，A 与 A′、B 与 B′、C 与 C′ 分别是对称点 四、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 图 3 轴对称图形的对称轴 l 垂直平分对称点连线 AA′（AP = A′P 且 l ⊥ AA′） 比较项 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象 一个图形 两个图形 含义 图形自身沿对称轴折叠后，两旁的部分能完全重合 两个图形沿对称轴折叠后，能完全重合 对称轴 这个图形的一条（或多条）对称轴 两个图形之间的那条直线 对应点 图形内部互相重合的点 两个图形之间互相重合的点 关系 二者都是「关于某条直线对称」，本质相同 联系（一句话）：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形就关于这条直线成轴对称。 五、线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 图 4 直线 CD 经过线段 AB 的中点 O，且 CD ⊥ AB，所以 CD 是线段 AB 的垂直平分线 理解要点： ① 两个条件缺一不可：既过中点，又垂直； ② 「垂直平分线」是直线，不是线段； ③ 符号语言：若 AO = BO，CD ⊥ AB 于点 O，则 CD 是 AB 的垂直平分线。 六、轴对称的性质 1. 两条性质 性质 内容 几何语言 性质1 成轴对称的两个图形全等 △ABC 与 △A′B′C′ 关于 l 对称，则 △ABC ≌ △A′B′C′，对应线段相等、对应角相等 性质2 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 AA′ 交对称轴 l 于点 P，则 AP = A′P，且 l ⊥ AA′ 把两条性质合起来说：对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。 2. 性质2 的说明 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′、B′、C′ 分别是 A、B、C 的对称点。把 △ABC 沿 MN 折叠，点 A 与 A′ 重合，于是 AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°，所以 MN 垂直平分 AA′。同样地，MN 也垂直平分 BB′、CC′。 图 5 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称，MN 垂直平分 AA′（AP = A′P，MN ⊥ AA′） 三点注意： ① 对称轴一定垂直平分对称点连线，这是由「折叠后重合」直接推出的； ② 反过来，若一条直线垂直平分某两条对应点的连线，它也垂直平分所有对应点的连线； ③ 轴对称图形的对称轴，同样垂直平分任意一对对称点所连的线段。 3. 全等与轴对称的关系 成轴对称的两个图形一定全等；但全等的两个图形不一定成轴对称。全等只看「形状、大小相同」，轴对称还要求「位置对称」。因此：成轴对称能推出全等，但全等不一定能推出成轴对称。 七、怎样画一个轴对称图形的对称轴 方法：找出一对对应点（对称点），连接这对对称点，再作这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是该图形的一条对称轴。 图 6 连接一对对应点 AA′、BB′，它们的垂直平分线 l 就是该图形的一条对称轴 步骤 做法 第一步 在图形上找出任意一对对应点（对称点）A、A′ 第二步 连接 AA′ 第三步 作线段 AA′ 的垂直平分线，所得直线就是该图形的一条对称轴 提醒：一个轴对称图形可能有多条对称轴，每一条都可以通过「找对应点 → 作中垂线」画出来；若找的是同一侧的「非对应点」，得到的垂线就不是对称轴，所以一定要选对应点。 八、典型例题 以下例题按「基础—提升—拓展」三个层次编排，覆盖轴对称图形、成轴对称、垂直平分线与性质的应用。 【基础层】 例 1 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 一般四边形 解析：等腰三角形沿顶角平分线（底边上的高）所在直线折叠，两旁能完全重合，是轴对称图形；锐角三角形、直角三角形、一般四边形都不一定对称。故选 C。 例 2 填空：长方形有 ____ 条对称轴，等边三角形有 ____ 条对称轴，正方形有 ____ 条对称轴，圆有 ____ 条对称轴。 解析：长方形 2 条（两组对边中点连线）；等边三角形 3 条（三条边上的中线所在直线）；正方形 4 条（2 条对边中点连线 + 2 条对角线）；圆有无数条（每条直径所在直线）。 答案：2；3；4；无数。 例 3 如图 7，图 (1) 中的两个图形关于中间的直线成轴对称，图 (2) 中的两个图形不成轴对称。请说明判断的方法。 图 7 判断两个图形是否成轴对称 解析：判断的关键是「能否找到一条直线，沿它折叠后两个图形完全重合」。 图 (1) 中，两图形形状相同、位置对称，沿虚线折叠能重合，所以成轴对称； 图 (2) 中，两图形形状、方向不一致，找不到这样的直线，所以不成轴对称。 归纳：「成轴对称」要求形状大小相同（全等）且位置关于某条直线对称。 【提升层】 例 4 如图 8，△ABC 与 △DEF 关于直线 MN 成轴对称，∠A = 50°，∠E = 60°。求 ∠C 的度数。 图 8 △ABC 与 △DEF 关于直线 MN 成轴对称 解析：因为 △ABC 与 △DEF 关于直线 MN 成轴对称，所以 △ABC ≌ △DEF（成轴对称的两个图形全等）。 于是对应角相等：∠B = ∠E = 60°。 在 △ABC 中，∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 50° − 60° = 70°。 答案：∠C = 70°。 例 5 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，线段 AA′ 交 l 于点 P。若 AA′ = 8，则 AP 的长为多少？ 解析：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，所以 l 垂直平分 AA′（性质2）， 即 AP = A′P = AA′ = × 8 = 4。 答案：AP = 4。 例 6 如图，两个图形关于直线 MN 成轴对称，点 A、A′ 是对称点，AA′ 与 MN 相交于点 O。请填空：AO ____ A′O（填「=」或「≠」），AA′ ____ MN（填「⊥」或「∥」）。 解析：由轴对称的性质2，对称轴 MN 垂直平分对称点连线 AA′，所以 AO = A′O，且 AA′ ⊥ MN。 答案：AO = A′O；AA′ ⊥ MN。 例 7 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称。若 △ABC 的周长为 20 cm，AB = 6 cm，BC = 8 cm，求 A′B′ 与 B′C′ 的长。 解析：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，所以 △ABC ≌ △A′B′C′，对应线段相等： A′B′ = AB = 6 cm，B′C′ = BC = 8 cm。 答案：A′B′ = 6 cm，B′C′ = 8 cm。 例 8 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，直线 l 是它的一条对称轴，点 A、A′ 是一对对称点，点 B、B′ 是一对对称点。请说明直线 l 与线段 AA′、BB′ 的关系。 解析：因为四边形 ABCD 是轴对称图形，l 是它的对称轴，由轴对称图形的性质， l 垂直平分任意一对对称点所连的线段，所以 l 垂直平分 AA′，l 也垂直平分 BB′。 归纳：「一个轴对称图形」与「两个图形成轴对称」，在「对称轴垂直平分对称点连线」这一性质上是完全一致的。 【拓展层】 例 9 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 MN 成轴对称，AA′、BB′、CC′ 分别交 MN 于点 P、E、F。已知 AA′ = 10，BB′ = 6，求 PE 与 PF 的数量关系（说明理由）。 解析：由轴对称的性质2，MN 垂直平分 AA′ 和 BB′，所以 P、E 分别是 AA′、BB′ 的中点。 但 P、E 是两条不同线段的中点，PE 与 PF 之间没有必然的相等关系（除非题目另给条件）。 注意：「对称轴垂直平分每条对称点连线」是指对同一条连线而言；不同连线之间不能随意类比。 例 10 如图，点 P 是 ∠AOB 内一点，分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2 交 OA 于点 M，交 OB 于点 N。若 P1P2 = 10 cm，求 △PMN 的周长。 解析：因为 P1 与 P 关于 OA 对称，所以 OA 垂直平分 PP1，于是 MP = MP1； 同理，P2 与 P 关于 OB 对称，所以 NP = NP2。 △PMN 的周长 = PM + MN + NP = MP1 + MN + NP2 = P1P2 = 10 cm。 答案：△PMN 的周长为 10 cm。 例 11 （综合应用）如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 D、D′ 分别是 BC、B′C′ 上的对应点。若 △ABC 的面积为 12，AD 是 BC 边上的中线，求 △A′B′C′ 的面积及 A′D′ 与 AD 的关系。 解析：因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于 l 成轴对称，所以 △ABC ≌ △A′B′C′， 面积相等，故 △A′B′C′ 的面积为 12。对应线段相等，故 A′D′ = AD。 答案：面积为 12，A′D′ = AD。 例 12 （探究）如图，一个轴对称图形的一条对称轴为直线 l，点 A、A′ 是一对对称点。小华说：「直线 l 是线段 AA′ 的垂直平分线。」小亮说：「线段 AA′ 被 l 平分，所以 l 一定经过 AA′ 的中点。」请判断两人的说法是否正确，并说明理由。 解析：两人的说法都正确，而且说的是同一个事实： 由轴对称的性质，l 既垂直于 AA′，又经过 AA′ 的中点， 所以 l 是 AA′ 的垂直平分线，「l 经过 AA′ 的中点」也是对的。 归纳：「垂直平分」包含「垂直」和「平分」两层含义，缺一不可；本题正是把这条性质拆成两半来考查。 例 13 （尺规作图·应用）如图，已知线段 AB 和它外面的一个轴对称图形。请找出该图形的一条对称轴（保留作图痕迹，不写作法）。 作法：(1) 在图形上找出一对对应点（对称点）M、M′； (2) 连接 MM′； (3) 作线段 MM′ 的垂直平分线，这条直线就是该图形的一条对称轴。 提示：「找对应点 → 连线段 → 作中垂线」是画对称轴的通法，关键是找准对应点。 九、易错清单 序号 易错点 正确认识 1 把「轴对称图形」和「两个图形成轴对称」混为一谈 前者是「一个图形」自身的特点，后者是「两个图形」之间的位置关系 2 认为全等的两个图形一定成轴对称 成轴对称一定全等；全等不一定成轴对称（还要位置对称） 3 把对称轴画成线段或射线 对称轴是直线，要画出去，两端不出头也要用直线表示 4 认为一个轴对称图形只有一条对称轴 有的有多条：长方形 2 条、等边三角形 3 条、正方形 4 条、圆无数条 5 误认为对称轴一定平分图形的面积就足够了 对称轴必须同时满足「垂直」和「平分对称点连线」两个条件 6 把「垂直平分线」与「垂线」「中线」混淆 垂直平分线须同时过中点且垂直；垂线只垂直，中线只过中点 7 作对称轴时选错点 必须选「一对对应点」，选成同侧的非对应点，所作中垂线就不是对称轴 8 用轴对称性质时漏掉「全等」这一步 对应线段相等、对应角相等，都要先由「成轴对称的两个图形全等」得出 十、方法总结与知识结构 1. 解题方法口诀 情境 首选方法 判断一个图形是不是轴对称图形 找一条直线，看沿它折叠后两旁能否完全重合 判断两个图形是否成轴对称 找一条直线，看沿它折叠后两个图形能否完全重合 求对应线段、对应角的度数或长度 先由「成轴对称的两个图形全等」得对应关系，再计算 已知对称轴求线段长度 用「对称轴垂直平分对称点连线」，得中点和垂直两个条件 画一个图形的对称轴 找一对对应点 → 连线段 → 作这条线段的垂直平分线 2. 知识结构 轴 对 称 轴对称图形 两个图形成轴对称 一个图形沿对称轴折叠，两旁的部分能完全重合 两个图形沿对称轴折叠后能完全重合 轴对称的性质 性质1：两个图形全等（对应线段相等、对应角相等） 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线 性质2：对称轴垂直平分对称点连线 核心一句话：成轴对称的两个图形全等；无论是一个轴对称图形，还是两个图形成轴对称，对称轴都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。判断是否轴对称，就看「找一条直线折后能否重合」。 学科网（北京）股份有限公司 $