河南郑州中学2026-2027学年上学期学科素养测评（一）九年级数学学科试卷

2026-2027学年上学期学科素养测评（一） 九年级数学学科试卷 考试时间：100分钟；满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 3．根据下列表格的对应值，判断方程（，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 4．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A． B． C．2 D．1 5．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，对角线于点，，，，分别为四边的中点，连接，，，，若，，则四边形的面积为（ ） A．10 B．12 C．14 D．15 7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．方程的根是____________． 12．已知，是一元二次方程的两根，则的值是____________． 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________． 14．如图，在中，，．点是的中点，，过点作交于点，则的长度为____________． 15．如图，长方形中，，，点是射线上一动点（不与、重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（12分）解一元二次方程： （1）（运用适当的方法）； （2）（公式法）； （3）；（分解因式法）； 17．（8分）小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，，交于点．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 19．（8分）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，则菱形的面积为____________． 20．（9分）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21．（9分）2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 22．（10分）关于的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“Deep”点． （1）___________（填是或否）存在“Deep”点； （2）若关于的一元二次方程：的“Deep”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在一“Deep”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 23．（11分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______________________； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）． 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $