精品解析：河南新乡市辉县市大成中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

九年级数学素养反馈（HS） （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意． 2. 若是最简二次根式，则a可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式应满足以下两点：①被开方数为非负数，②被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．再根据最简二次根式的判定条件求解即可． 【详解】解：A、时，被开方数为负数，二次根式无意义，不符合题意； B、时，是非负数，且不存在能开得尽方的因数或因式，所以是最简二次根式，符合题意； C、时，，所以不是最简二次根式，不符合题意； D、时，，所以不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3. 若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将一元二次方程化为一般形式，再结合题意即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程的二次项系数为1， ∴常数项是． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，化简后不是二次根式，不是同类二次根式； D选项：，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除与加减法则逐一判断选项：二次根式相乘除，把被开方数乘除；二次根式加减，只有同类二次根式才能合并，不是同类根式不能直接合并，由此选出正确答案即可． 【详解】解：A、，运算错误； B、，运算错误； C、，运算错误； D、，运算正确，故选D． 6. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 7. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：整理得， 配方得，即， ∴，， ∴． 8. 若，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式（，方程有两个不相等实数根；，方程有两个相等实数根；，方程没有实数根）即可求出答案． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 10. 传统文化 下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设周瑜逝世年龄的个位数字为x，根据个位数字的平方恰好等于该数，列方程即可． 【详解】解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x， 则根据题意可列方程为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于且小于的二次根式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，根据无理数大于且小于即可求解，熟练掌握比较大小的方法是解题的关键． 【详解】大于且小于的无理数可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 12. 若m，n是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴． 13. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的意义等知识，根据实数、在数轴上的位置确定，，的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故答案为：． 14. 一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为24，则菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设较长的对角线为，则较短的对角线为，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列出方程，可得对角线的长，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，对角线，相交于点， 设较长的对角线为，则较短的对角线为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的边长为5． 15. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义得到，再由一元二次方程的解得到，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∵是这个方程的一个根， ∴， 整理得， 解得， 答案：1或4． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）选择因式分解法，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根． （2）选择因式分解法，运用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根． 【小问1详解】 解：， 方程可变形为： ， 得或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 方程可变形为： ， 得或， 解得，​． 17. 已知． （1）______； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根号内的被开方数不能小于0，列出大于等于0、大于等于0，求出只能等于3． （2）将代入原式算出等于，再把和的值代入，先算出等于50，最后求出等于． 【小问1详解】 解：根号里面的数要大于或者等于 0， ，得到， ，得到， 因为同时满足大于等于 3 和小于等于 3，所以． 【小问2详解】 解：把 代入式子， ， 把，代入， ， ． 答：的值为． 18. 小影和小琳两位同学解方程的过程如下： 小影： 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，． 小琳： 两边同除以，得， 解得． 你认为她们的解法是否正确？若正确请在右下角的框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】小影：×；小琳∶ ×， 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，． 【解析】 【分析】根据提取公因式去括号时符号出错以及等式的性质可判断小影和小琳的做法，再根据因式分解法写出正确的解题过程即可． 【详解】略； 19. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由已知可得 ，，再利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可；本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，， ，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根m，n． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根m，n， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根m，n， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，符合的取值范围， ∴k的值为． 21. 如图，已知一个矩形的长，宽． （1）求这个矩形的周长； （2）若一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长公式，把长和宽代入，合并同类二次根式后算出周长； （2）设正方形边长为，利用矩形面积公式算出矩形面积，正方形面积等于矩形面积，得到方程，对式子开平方，舍去负数解，得到正方形边长． 【小问1详解】 解：， 答：这个矩形的周长为； 【小问2详解】 解：设这个正方形的边长为， 由题意得， ， ， ， 答：这个正方形的边长为． 22. 观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 【答案】（1）； （2）（为正整数）， 证明：， ∴． 【解析】 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【小问1详解】 解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（为正整数）， 证明略． 23. 温县铁棍山药是河南省焦作市温县的特产，也是中国国家地理标志产品，因其口感细腻、营养丰富深受消费者喜爱． 信息及素材 素材一 在农业技术人员的指导下，温县铁棍山药种植户不断改进种植技术，产量逐年增长，根据种植户记录，2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同． 素材二 铁棍山药通常用长方体纸盒包装后售卖，方便运输和储存． 素材三 随着山药产量的提高，某温县山药商铺开始进行打折促销，根据商铺市场调查显示：若每斤铁棍山药售价15元，每天可售出200斤；在此基础上，售价每降低1元，则可多售出60斤． （1）求铁棍山药产量的年平均增长率； （2）现有长，宽的矩形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的铁棍山药，需要保证纸盒底面积为，计算此时纸盒的高； （3）某天该商铺以9元每斤的价格购进一批铁棍山药，当铁棍山药每斤降价m元时，商铺的日利润可达到1280元，为了尽可能让惠于顾客，求m的值． 【答案】（1）铁棍山药产量的年平均增长率为 （2）此时纸盒的高为． （3） 【解析】 【分析】（1）设每年的增长率为x，根据2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． （2）设此时纸盒的高为，根据纸盒底面积为列出关于y的一元二次方程求解即可得出答案． （3）根据每斤铁棍山药获利元，每天可售出斤，根据日利润为1280元列方程即可； 【小问1详解】 解：设每年的增长率为x， 根据题意有：， 解得：或（舍去）， 答：铁棍山药产量的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设此时纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：此时纸盒的高为． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 为了尽可能让惠于顾客，所以降价幅度应尽可能大，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养反馈（HS） （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是最简二次根式，则a可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项是（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 7. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 8. 若，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 10. 传统文化 下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于且小于的二次根式_____． 12. 若m，n是方程的两个根，则______． 13. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 14. 一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为24，则菱形的边长为______． 15. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知． （1）______； （2）在（1）的条件下，求的值． 18. 小影和小琳两位同学解方程的过程如下： 小影： 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，． 小琳： 两边同除以，得， 解得． 你认为她们的解法是否正确？若正确请在右下角的框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 19. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根m，n． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 如图，已知一个矩形的长，宽． （1）求这个矩形的周长； （2）若一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试求这个正方形的边长． 22. 观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 23. 温县铁棍山药是河南省焦作市温县的特产，也是中国国家地理标志产品，因其口感细腻、营养丰富深受消费者喜爱． 信息及素材 素材一 在农业技术人员的指导下，温县铁棍山药种植户不断改进种植技术，产量逐年增长，根据种植户记录，2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同． 素材二 铁棍山药通常用长方体纸盒包装后售卖，方便运输和储存． 素材三 随着山药产量的提高，某温县山药商铺开始进行打折促销，根据商铺市场调查显示：若每斤铁棍山药售价15元，每天可售出200斤；在此基础上，售价每降低1元，则可多售出60斤． （1）求铁棍山药产量的年平均增长率； （2）现有长，宽的矩形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的铁棍山药，需要保证纸盒底面积为，计算此时纸盒的高； （3）某天该商铺以9元每斤的价格购进一批铁棍山药，当铁棍山药每斤降价m元时，商铺的日利润可达到1280元，为了尽可能让惠于顾客，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $