第4讲 随机抽样与统计数字特征 专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

随机抽样与统计数字特征 抽样方法、统计图表与数字特征 随机抽样与统计图表 统计工作的第一步是把数据拿到手。总体不大时当然可以逐个查，但绝大多数场合做不到 ——要么人太多、查不过来，要么调查本身带有破坏性（比如检验灯泡的寿命）。所以只能从总体里抽一部分，用这一部分去推断总体，这就是抽样调查。 抽的时候最忌讳「专挑好抽的」。要让每个个体被抽到的机会相等，这样抽出来的样本才有代表性。按抽取方式分，常用的有三种：简单随机抽样（逐个等可能地抽，或借助随机数表）、分层随机抽样（先按某个显著差异把总体分成几层，再按各层的大小成比例地抽）、系统抽样（按固定间隔抽）。层与层之间差别明显时，分层抽样能保证各层都被照顾到，通常比简单随机更精确。 拿到数据后要整理成看得懂的形式。最常用的是频率分布直方图：横轴是分组、纵轴是频率除以组距，于是每个小矩形的面积恰好就是这一组的频率，所有矩形面积之和恒等于 。这一条是读图的总钥匙 —— 求未知参数、求频率、求频数都从它出发。 除了直方图，还有茎叶图、条形图、扇形图。茎叶图保留原始数据、便于看分布；条形图看各类的绝对数量；扇形图看各类占的比例。读图时要分清频率与频数：频率乘上样本容量才是频数。还要看清纵轴标的是什么 —— 有的是频率，有的是频率除以组距，纵轴看错，后面全都错。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则 = （ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 例2（单选·★★☆☆☆） 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛。现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则 = （ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片。现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图。若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）。则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 用样本估计总体 拿到一组数据，第一件事是找一个数来代表整体水平，这就是集中趋势。常用的有三个。众数是出现次数最多的那个数，它不受极端值影响，但也可能不止一个。中位数是把数据从小到大排好后正中间的那个数：个数是奇数就取正中一个，是偶数就取中间两个的平均。它只由位置决定，极端值拉不动它。平均数是所有数据的和除以个数，用到了每一个数据，因而最灵敏。 平均数用到全部信息，但会被极端值带偏；中位数稳健，只看位置；众数只看频次。数据分布对称时三者接近；右侧拖着长尾巴（有少数特别大的值）时平均最大、众数最小，左侧拖尾时顺序反过来。看三者的先后，就能判断数据往哪边偏。 光有平均水平还不够 —— 两组数据的平均数可能一样，但一组很整齐、一组很散，这时要比离散程度。最常用的是方差：各数据与平均数之差的平方的平均值。开方之后叫标准差，它与原数据同量纲，读起来更直观。最简单的极差是最大值减最小值，只用两端两个数，粗糙但快。 百分位数是把数据按位置切的刻度。把数据从小到大排好，用「数据个数乘 」定位：结果不是整数，就取下一个整数位置的那个数据；结果是整数，就取该位置与下一个位置两个数据的平均数。第 、、 百分位数又分别叫下四分位数、中位数、上四分位数。 例4（单选·★☆☆☆☆） 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为5 B. 这组数据的平均数为5 C. 这组数据的第60百分位数为6 D. 这组数据的极差为5 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 样本数据的第70百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 9.5 D. 10 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______． 例6（单选·★☆☆☆☆） 若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差 = （ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 变式6-2（填空·★★☆☆☆） 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 随机抽样与统计数字特征 抽样方法、统计图表与数字特征 随机抽样与统计图表 统计工作的第一步是把数据拿到手。总体不大时当然可以逐个查，但绝大多数场合做不到 ——要么人太多、查不过来，要么调查本身带有破坏性（比如检验灯泡的寿命）。所以只能从总体里抽一部分，用这一部分去推断总体，这就是抽样调查。 抽的时候最忌讳「专挑好抽的」。要让每个个体被抽到的机会相等，这样抽出来的样本才有代表性。按抽取方式分，常用的有三种：简单随机抽样（逐个等可能地抽，或借助随机数表）、分层随机抽样（先按某个显著差异把总体分成几层，再按各层的大小成比例地抽）、系统抽样（按固定间隔抽）。层与层之间差别明显时，分层抽样能保证各层都被照顾到，通常比简单随机更精确。 拿到数据后要整理成看得懂的形式。最常用的是频率分布直方图：横轴是分组、纵轴是频率除以组距，于是每个小矩形的面积恰好就是这一组的频率，所有矩形面积之和恒等于 。这一条是读图的总钥匙 —— 求未知参数、求频率、求频数都从它出发。 除了直方图，还有茎叶图、条形图、扇形图。茎叶图保留原始数据、便于看分布；条形图看各类的绝对数量；扇形图看各类占的比例。读图时要分清频率与频数：频率乘上样本容量才是频数。还要看清纵轴标的是什么 —— 有的是频率，有的是频率除以组距，纵轴看错，后面全都错。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 【切入点】分层抽样里各层按同一个比例抽取，先把这个比例算出来，再乘该层的人数即可。 【关键】三层共有 名教师，要抽取 人，所以抽样比为 。小学教师有 人，应抽取 人。故选 C。 【易错】一是把抽样比算成「总体除以样本」。二是抽样比对了却乘错层的人数。三是把三层人数相加时漏掉一层。 【答案】C 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【切入点】分层抽样各层抽到的数量之比等于各层的人数之比，把比例找出来，再按比例算另一层。 【关键】男、女运动员的人数之比为 ，所以抽到的男、女运动员人数之比也是 。已知抽到男运动员 人，则抽到女运动员 人。故填 。 【易错】一是把 约分错。二是把比例乘反，算成 。三是把「按比例分配」理解成「两层各抽一半」。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则 = （ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 【切入点】四类图片的数量之比已知，各层抽到的数量也按这个比分配；「相差 张」就给出一个关于样本容量 的方程。 【关键】四类图片的数量之比为 ，总份数为 。所以厨余垃圾占 、有害垃圾占 。抽到厨余垃圾 张、有害垃圾 张，由题意 ，即 ，解得 。故选 B。 【易错】一是算总份数时漏掉「其他垃圾」这一类。二是列方程时把「多 张」写成两类之和。三是忘记「分层抽样按比例分配」，直接拿 去算。 【答案】B 例2（单选·★★☆☆☆） 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛。现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则 = （ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 【切入点】题面给了「按比例分配」，先由它求出两层的抽取人数之比，再把总平均写成「各层平均按人数加权」的形式。 【关键】按比例分配时，各层抽取的人数之比等于各层的人数之比，所以 。总体平均等于各层平均按抽取人数加权：。把 代入，得 ，即 ，解得 。故选 D。 【易错】一是把 写成 ，比例弄反。二是加权时不用人数作权，直接取 与 的算术平均。三是写成 就交卷 —— 两层的权不一样，不能这样倒推。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 【切入点】按比例分配时，样本里男、女生的人数比就是全校男、女生的人数比；总体平均身高等于两层平均身高按人数加权。 【关键】全校男生 人、女生 人，比例为 ，所以容量为 的样本里男生 人、女生 人。样本平均身高为 （cm）。用它估计全校学生的平均身高，得 cm。故选 C。 【易错】一是把两层的平均身高直接取算术平均，得 。二是把 写成 ，样本里反而女多男少。三是忘了「按比例分配」这一条件，随手把样本分成 人一半。 【答案】C 例3（单选·★★☆☆☆） 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片。现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图。若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【切入点】直方图上求一个区间的概率，就是求对应几根柱子围出的面积；柱子里还带着未知的 ，先用「面积和为 」把它解出来。 【关键】横轴组距为 ，六组的高度依次为 、、、、、。由面积和为 ：，即 ，解得 。合格品对应的区间是 ，恰好包含两组，所以概率为 。故选 C。 【易错】一是把纵轴的「频率除以组距」直接当成频率，忘了乘组距。二是六组高度里两个 只算了一个， 就解错了。三是把合格区间当成某一整组，而没看出它正好由两组拼成。 【答案】C 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）。则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 【切入点】这是「四个说法挑一个错的」，每一项都要在图上落实一遍。先用「面积和为 」把 求出来，再逐项验证。 【关键】横轴组距为 ，六组的高度依次为 、、、、、。A 项：由面积和为 ：，解得 ，A 正确。B 项：成绩在 的频率为 ，样本容量为 ，所以频数为 ，B 正确。C 项：前三组的面积之和为 ，再加上 的 就超过了 ，所以中位数落在 内，C 正确。D 项：平均数为各组组中值乘该组频率再相加：，落在 而不是 ，D 错误。故选 D。 【易错】一是求平均数时用高度代替频率，忘了乘组距。二是判断中位数时只看单组面积有没有超过 ，不去累加。三是看到 那组柱子不矮，就以为平均数被拉过去了 ——其实最高的是 那一组。 【答案】D 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】茎叶图已经把数据从小到大摆好了，求百分位数只需数位置；题面又给了百分位数的值，于是一个方程就能定出 。 【关键】图中一共 个数据，从小到大依次为 、、、、、、、。因为 是整数，所以第 百分位数取第 个与第 个数据的平均数，即 ，解得 。故选 C。 【易错】一是把 当成「取第 个数据」，整数时要取第 、第 两个的平均。二是不会读茎叶图的行头，把 写成 之外的东西。三是解方程时把 当成 。 【答案】C 用样本估计总体 拿到一组数据，第一件事是找一个数来代表整体水平，这就是集中趋势。常用的有三个。众数是出现次数最多的那个数，它不受极端值影响，但也可能不止一个。中位数是把数据从小到大排好后正中间的那个数：个数是奇数就取正中一个，是偶数就取中间两个的平均。它只由位置决定，极端值拉不动它。平均数是所有数据的和除以个数，用到了每一个数据，因而最灵敏。 平均数用到全部信息，但会被极端值带偏；中位数稳健，只看位置；众数只看频次。数据分布对称时三者接近；右侧拖着长尾巴（有少数特别大的值）时平均最大、众数最小，左侧拖尾时顺序反过来。看三者的先后，就能判断数据往哪边偏。 光有平均水平还不够 —— 两组数据的平均数可能一样，但一组很整齐、一组很散，这时要比离散程度。最常用的是方差：各数据与平均数之差的平方的平均值。开方之后叫标准差，它与原数据同量纲，读起来更直观。最简单的极差是最大值减最小值，只用两端两个数，粗糙但快。 百分位数是把数据按位置切的刻度。把数据从小到大排好，用「数据个数乘 」定位：结果不是整数，就取下一个整数位置的那个数据；结果是整数，就取该位置与下一个位置两个数据的平均数。第 、、 百分位数又分别叫下四分位数、中位数、上四分位数。 例4（单选·★☆☆☆☆） 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为5 B. 这组数据的平均数为5 C. 这组数据的第60百分位数为6 D. 这组数据的极差为5 【切入点】四个选项分别问众数、平均数、百分位数、极差，先把数据从小到大排好，再逐项算。 【关键】数据为 ，共 个，从小到大排列为 。A 项：、、 都各出现 次，众数不是一个数，A 错误。B 项：平均数为 ，B 错误。C 项：由 不是整数，所以第 百分位数取第 个数据，即 ，C 正确。D 项：极差为 ，D 错误。故选 C。 【易错】一是众数只写一个 —— 出现次数相同就都是众数。二是求平均数时把 除以了错的个数。三是百分位数定位时把 向下取成 ，应当向上取到 。 【答案】C 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 【切入点】先从小到大排序，再用「个数乘 」定位。 【关键】数据从小到大排列为 ，共 个。由 是整数，所以第 百分位数取第 个与第 个数据的平均数，即 。故选 D。 【易错】一是排序时漏掉重复的 ，位置全错。二是把「 是整数」理解成取第 个数据（）。三是把 当成「第 个」以外的位置。 【答案】D 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 样本数据的第70百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 9.5 D. 10 【切入点】八个数据先排序，再按「个数乘 」定位。 【关键】数据从小到大排列为 ，共 个。由 不是整数，所以第 百分位数取第 个数据，即 。故选 D。 【易错】一是把 向下取成 ，取到第 个数据 。二是排序时把 与 的位置弄反。三是把 分位数误当成「第 个数据」。 【答案】D 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【切入点】五个数据里有一个未知数，先用平均数把它求出来，再按百分位数的规则定位。 【关键】由 的平均数为 ，得 ，解得 。数据从小到大排列为 ，共 个。由 是整数，所以第 百分位数取第 个与第 个数据的平均数，即 。故选 B。 【易错】一是求 时用 之外的和去减。二是定位后直接取第 个数 —— 结果是整数时要取第 、第 两个的平均。三是先排好序再插 ，把位置算乱。 【答案】B 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______． 【切入点】先用平均数把 定下来，再排序、定位、取数。 【关键】由 的平均数为 ，得 ，即 ，解得 。此时这组数据为 ，从小到大排列为 ，共 个。由 不是整数，所以第 百分位数取第 个数据，即 。故填 。 【易错】一是求 时把 当成 。二是 时忘了重算数据（），直接拿 排。三是 向上取整取成 。 【答案】 例6（单选·★☆☆☆☆） 若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（ ） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 【切入点】原数据有 个，去掉的那个数恰好等于平均数，所以平均数不变，只需比较方差。 【关键】设原数据平均数为 、方差为 。由 得 ，所以去掉 之后剩下 个数据的平均数仍为 。又 ，即 。去掉 之后，方差为 ，所以方差变大、平均数不变。故选 D。 【易错】一是用「分子分母同时约掉一项」直接得方差不变。二是把 那一项也算进新的分子里。三是看到「去掉一个数」就以为平均数一定变小。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差 = （ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 【切入点】两组数据只有后两个数不同，而 ，说明两组平均数相同 ——于是方差之差只剩最后两个数在起作用。 【关键】因为 ，所以正确数据与错误数据的平均数相同，记为 。两组数据的方差分别为 ，。两式相减，含 的项全部抵消：。所以 。故选 C。 【易错】一是没看出两组平均数相同，去硬解 。二是相减时漏掉「含 的项会抵消」这一层，把式子写成一团。三是把两个数的平方差算错（ 与 的顺序）。 【答案】C 变式6-2（填空·★★☆☆☆） 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 【切入点】新数据是旧数据做 得到的，直接套线性变换下平均数的规律。 【关键】设原数据的平均数为 ，则新数据 的平均数为 。故填 。 【易错】一是只乘不加减，漏掉「」。二是以为「减 」会随数据个数累加（其实是每个数据各减 ，平均数也只减 ）。三是把平均数的变换与方差的变换记混。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $