专题：集合与常用逻辑用语专项训练-22027届高三数学一轮复习

专题：集合与常用逻辑用语-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 基础达标 一、单选题 1．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 2．已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 4．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列命题为真命题的是（     ） A．命题：，，则命题的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 8．命题“且”的否定形式是（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 二、多选题 9．使或成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 10．设，，下列选项正确的是（    ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．存在实数使得为假命题 D．若，则 11．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（     ） A．0 B． C． D．1 三、填空题 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 13．已知集合，则_____________________． 14．已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：，使得成立.若命题p和命题q有且仅有一个为真，则m的取值范围是______. 四、解答题 15．已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16．已知p：关于x的方程有实数根，. (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 17．已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．已知全集，，，．求： (1)； (2)． 19．已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 思维达标 20．已知有限集，若，为不等于的常数，则称为“关联集”． (1)判断集合是否为“关联集”． (2)若是“关联集”，且，均为正数，证明：，中至少有一个大于2． (3)是否存在由个不同正整数组成的“关联集”？若存在，请写出满足条件的所有集合；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：集合与常用逻辑用语-2026-2027学年高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D B B D BC ABC 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 2．B 【详解】由绝对值不等式可得，即； 已知，因此. 3．B 【详解】 又，. 4．D 【详解】集合. 因为在上是增函数且，所以. A选项：是集合，不是的元素，应为，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：中的元素全部属于，即，故D正确. 5．D 【详解】令，解得，所以原命题等价为“，”， 所以命题否定是“，”. 6．B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 7．B 【分析】对A，直接求出命题的否定，即可判断A的正误；对B，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解；对C和D，根据条件，直接求出和的取值范围，再结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，命题：，的否定为，，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，即， 所以推不出，故“”是“”的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，若方程的两根都大于1，则，解得，所以C错误， 对于D，若关于的不等式对一切实数恒成立，则或， 解得，所以是关于的不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件，故D错误. 8．D 【分析】根据全称量词命题的否定规则，先将全称量词改为存在量词，再将原结论中“且”命题否定为“或”命题即可求解. 【详解】命题“且”的否定形式是“或”. 9．BC 【详解】由题意可得只需满足所选条件组成的集合是集合或的真子集即可. 对于A，因为集合或不是集合或的真子集，故A不正确； 对于B，因为集合或是集合或的真子集，故B正确； 对于C，因为集合是集合或的真子集，故C正确； 对于D，因为集合或与集合或相等，不是真子集关系，故D不正确. 10．ABC 【分析】先求解集合，再结合集合子集性质、交集运算、集合包含关系对各选项逐一分析. 【详解】对于A：，有2个元素，子集个数为，A正确； 对于B：若，则且.由得，解得， 此时，因，故，，，满足条件，B正确； 对于C：由得，即都属于，则，即，无解， 即不存在实数，使得成立，因此存在使得为假命题，C正确； 对于D：若，分情况讨论： ①时，满足； ②时，需，解得； ③时，需，解得； 综上可得，D错误. 11．AC 【详解】如果两个集合构成“鲸吞”，可得或， 又中元素满足，故，故不成立； 当时，可得，满足； 当时，由，可得， 若，则，可得，不满足， 若，则，可得，不满足； 如果两个集合构成“蚕食”， 则两个集合有公共元素，故或， 当，解得，经检验符合题意； 当，解得，经检验符合题意. 12． 【详解】命题“”为假命题， 它的否定：为真命题， 即， 令， 二次函数对称轴， ， 存在性：只需， ， 实数的取值范围：. 13． 【分析】先求解分式不等式得到集合，再利用集合交集，补集运算即可 【详解】由，所以或， 又所以. 14． 【分析】先求得命题为真命题时，的取值范围，再按"真假"与"假真"两种情形求交集并合并. 【详解】命题：当时，要使对一切成立， 只需，即，解得，故真当且仅当. 命题：存在使成立，等价于，故真当且仅当. 若、恰有一个为真：当真假时，由且得； 当假真时，由且得. 所以的取值范围为. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16．(1) (2) 【详解】（1）因为是假命题，所以p是真命题， 即关于x的方程有实数根， 所以判别式，即， 解得或， 所以的取值范围是. （2）由(1)可知，若p成立，则a的范围是， 因为p是q的必要不充分条件， 即集合是集合或的真子集， 所以有或， 即或， 所以的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【详解】（1）集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. （2）命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用列举法求得集合，然后利用交集与并集的运算求解即可； （2）先利用补集的定义求得，进而利用并集的运算求解即可. 【详解】（1）因为，． 所以，又因为，所以； （2）因为，，， 所以，所以. 19．(1)， (2) 由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. (3)． 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （2）由第一问得，用单调性定义证明：设，作差并判断符号，从而证明函数在上单调递增； （3）由第二问知在上递增，最大值为；将“存在使不等式成立”转化为，解不等式求出的最大值． 【详解】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，. （2）略． （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 20．(1)是“关联集”． (2)证明：因为是“关联集”，，， 所以， 所以，即． 若，中没有一个大于2，即，，则（因，不可能相等）， 这与矛盾，所以，中至少有一个大于． (3)存在满足条件的集合，分别是，，，四个． 【分析】（1）由“关联集”的定义判断即可； （2）由“关联集”的定义，结合基本不等式可得，利用反证法证明结论； （3）设存在满足条件，不妨设，且，结合不等式性质证明，分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 即该集合是“关联集”． （2）略 （3）假设存在由个不同正整数组成的“关联集”，， 不妨设，且， 则，即． 因为，所以，即， 又，所以． 当时，则．若，则由，解得（舍去）； 若，则，无解； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，此时，不符合条件； 若，则，舍去． 当时，只能是或． 若，由，得，符合条件； 若，由，得，舍去． 当时，因为，所以，，最小分别为，，， 此时，与矛盾，不符合条件． 综上，存在满足条件的集合，分别是，，，四个． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $