精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

黑龙江省实验中学2025—2026学年度高二学年上学期第二次月考 数学学科试题 考试时间表120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正项等比数列中，，则公比（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式将条件化为公比q的方程，解方程求公比q. 【详解】∵ ， ∴ ，即，又 ∴ ， 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式和通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 在等差数列中，，， 所以有， 故选：A 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用代入法求出数列前几项可以判断数列的周期性，利用数列周期性进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因此可以判断该数列的周期为， ， 故选：D 4. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 6. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据离心率求得，进而求得双曲线方程，然后代入即可得解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有，， 可得双曲线的方程为，代入，可得， 故该花瓶的高为. 故选：B. 8. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，以下说法正确的是（ ） A. 过圆内的定点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有两个点到的距离为1 【答案】BD 【解析】 【分析】先明确直线是过定点的直线，根据点与圆的位置关系，可判断选项A的真假；根据的长度判断选项B的真假；求过直线的定点的圆的切线，根据切线的斜率判断选项C的真假；当时，根据点到直线的距离判断选项D的真假. 【详解】直线即，所以直线过定点. 由圆的方程可得其圆心为，半径为：. 选项A：由，代入圆的方程可得， 故点在圆外，故选项A错误； 选项B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， 且，故选项B正确； 选项C：圆心为到直线的距离为：， 若直线与圆相交，则：，解得： ，故选项C错误； 选项D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，圆上有两个点到直线的距离为1，这两点与圆心共线，且这三个点所在直线与直线平行， 故选项D正确. 故选：BD 10. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，，则为等差数列 C. 若为等比数列，则，成等比数列 D. 若，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】ACD 举反例；B利用计算. 【详解】若，则满足，但不是等比数列，故A错误； ，则当时，， 则， 又满足上式，则，则为等差数列，故B正确； 若，则， 则不是等比数列，故C错误； 若，则，则当时，， 此时不是等比数列，故D错误. 故选：ACD 11. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点到轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质结合抛物线焦点弦即可判断ABC，由，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆：左焦点为，椭圆上顶点为，右顶点为，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出的坐标，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由， 所以， 所以的面积为， 故答案为： 13. 过双曲线（，）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，另一个焦点为， 设l与垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 由双曲线和渐近线的对称性可知：， 所以有，因此， 故答案为：2 14. 在无穷数列中，若，且（），记的前项和为.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分为偶数为奇数，为偶数为偶数和为奇数三种情况，利用题目递推公式，求出，列等式求解即可. 【详解】（1）当为偶数时，， ①当为奇数，则, 则，解得，不满足为偶数，舍去； ②当为偶数，则, 则，解得，不满足，舍去； （2）当为奇数时，，为偶数，则， 则，解得，满足为奇数. 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解； （2）利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，且， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 16. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义及通项公式可得结果； （2）由等差数列和等比数列的前项和计算可得结果； （3）利用错位相减法求前项和的方法计算可得结果. 【小问1详解】 由，得，， 当时，，则，解得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，则. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，所以，所以， 即，， 两式相减得， 所以. 17. 已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）（i）且 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，列式求解即可； （2）写出，解不等式即可；按照和两种情况结合等差数列的前项和公式求出即可. 【小问1详解】 因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. 【小问2详解】 （i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 18. 如图，已知椭圆：经过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 【答案】（1）； （2）由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标， 显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，则有，， 由直线的方程为，令，可得，即， 从而，，， 又因为共线，则有，即有， 所以 ， 将，代入得，又由，所以，即，，成等差数列． 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上得到，再由，得到，联立方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）由（1）得椭圆右焦点坐标，设直线的方程为，联立方程组，求得，及，结合斜率公式得到，结合 ，求得，即可得到，，成等差数列． 【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得 ① 又由，所以 ② 由①②联立且，可得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）略 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 19. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：直线恒过定点. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义及，可得，，进而可得结果； （2）设直线的方程代入抛物线方程，由根与系数关系及可得，再由抛物线的定义可得焦点弦的长； （3）由（2）得，根据B点的位置分两种情况，再由A，D点直接得直线AD的方程进而可判断直线过定点. 【小问1详解】 因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以. 【小问3详解】 证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2025—2026学年度高二学年上学期第二次月考 数学学科试题 考试时间表120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正项等比数列中，，则公比（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，以下说法正确的是（ ） A. 过圆内的定点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有两个点到的距离为1 10. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，，则为等差数列 C. 若为等比数列，则，成等比数列 D. 若，则是等比数列 11. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点到轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆：左焦点为，椭圆上顶点为，右顶点为，则的面积为______. 13. 过双曲线（，）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为__________. 14. 在无穷数列中，若，且（），记的前项和为.若，则______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 16. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 17. 已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 18. 如图，已知椭圆：经过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 19. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $