精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考试时间：120分钟 一 、单项选择题：(本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.) 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 5. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 平行或重合 D. 重合 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 7. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BM，由面面垂直的判定证明平面平面，再利用面面垂直的性质即可推理计算作答. 【详解】在正方体中，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点B作于E，连接BM，如图， 因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离， 点M为棱的中点，在中，， ，即，解得， 所以点B到平面的距离为. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，与共线，则与共线 B. 若G是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量共线、重心性质、四点共面条件及基变换等知识逐一判断每个选项即可. 【详解】选项A：若向量 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，故A错误. 选项B：若 是 的重心，则 ，故B正确. 选项C：若 四点共面，则存在实数 使得 且 ，这里 ，故四点不共面，C错误. 选项D：已知 ，在基底 下，设 ，则： 所以，解得 ，故坐标为 ，D正确. 故选：BD 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A通过构造平面 平面 ， 平面 ，可得 平面 ，所以动点 的轨迹为线段 ； 选项B等体积转换：，点到平面的距离为定值, 的面积不是定值，体积不定； 选项C建立空间直角坐标系，设 ， ， ，，讨论 的取值范围即可求解； 选项D根据线面角定义，找到线面角平面角，讨论即可. 【详解】选项A 要寻找满足 平面 的点 的轨迹，利用面面平行判定与性质。 在正方体中： 取 中点 中点 ， 中点 中点 ， 为 中点，连接 ， 是 中位线， ；正方体中 ，因此 ， 所以平面与平面重合， 连接 ， ，， 且，则四边形为平行四边形， 可得,则平面， ,则平面， ， 平面 平面 平面 平面 ， ， 平面 ，可得 平面 ， 所以动点 的轨迹为线段 . 故 A 正确. 选项 B 利用等体积转换：, 点 到平面 的距离为正方体棱长 2 ，是定值, 的轨迹为线段 ，直线 与 不平行，因此 沿 移动时，点 到直线 的距离不确定， 的面积不是定值， 由 ，体积随底面积改变，故体积不是定值. 选项B 错误. 选项C 建立空间直角坐标系 以 为原点， 为 轴， 为 轴，为 轴建立空间直角坐标系。 由题意知正方体棱长为2，则各点坐标如下： 因为 是 的中点，所以 在线段 上，,设 ，其中 , ，则 且 若 ，则 联立 的轨迹方程 我们需要判断是否存在 ，使得对应的 在 的轨迹范围内。 的轨迹是线段，端点为（1，2，0）和（0，2，1）.所以 的取值范围是 , 考察函数 在 上的值域。 当 时， 当 时， 所以 因为 ，所以对于任意 ，都能找到满足条件的 ，进而找到对应的 ,即对于线段 上的任意点 ，都存在点 使得 . 选项 C正确. 选项D 因为 平面 是 在平面 内的射影. 为直线 与平面 所成角. ， 最小值最大值 选项D 错误 . 【点睛】本题考查了立体几何中的动态问题，既可以采取空间向量求解，也可以通过扎实的基本功通过综合法证明. 三、填空题：(本大题共3小题，每题5分，共计15分) 12. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 13. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 14. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题： (本大题共5小题，共计77分) 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，， ，， ， 令与的夹角为， 则， 则与的夹角为. 【小问2详解】 ，， 又与垂直，， 即，解得. 16. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 19. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 （2）或 【解析】 【分析】(1) 连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2) 建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考试时间：120分钟 一 、单项选择题：(本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.) 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 平行或重合 D. 重合 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若向量与共线，与共线，则与共线 B. 若G是四面体的底面的重心，则 C. 若，则A，B，C，G四点共面 D. 若向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 三、填空题：(本大题共3小题，每题5分，共计15分) 12. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 13. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 14. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 四、解答题： (本大题共5小题，共计77分) 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 16. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $