精品解析：山东日照市金海岸中学2026--2027学年上学期八年级10月数学练习（一）

2026—2027学年度上学期 初二年级数学练习（一） （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，的平分线，相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 4. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 第Ⅱ卷（主观题共90分） 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 12. 如图，平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，若，则长的最小值为______． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是______． 14. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 15. 如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图，在中，，，是的外角的平分线．求的度数． 18. 已知：如图，在同一直线上，，求证：． 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，为等腰三角形，求的周长； （2）化简：． 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 21. 在等边中，点P为内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时，求的度数． 22. 某校数学课堂的项目式学习课程中，有一个课题是“测量河两岸，两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案：求河两岸，两点间的距离．请判断方案是否可行？如可行，请帮助项目组的同学们求出河两岸，两点间的距离． 课题 测量河两岸，两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取、两点，使、、三点在同一条直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点，使． ④测得的长为米． 23. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． （1）求证：． （2）试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 24. [理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． （2）[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． （3）[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期 初二年级数学练习（一） （卷面分值：120分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边之间的关系求出x的范围，再对照选项筛选即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为． 由三角形三边之间的关系得． 即． 四个选项中只有符合该范围． 2. 如图，在中，，的平分线，相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，的平分线，， ∴， ∴， ∴． 3. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 【答案】B 【解析】 【分析】验证各选项条件下三角形是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A． 三角形外角和为，最小外角为，对应最大内角为，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； B． 三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； C． ∵， ∴， ∵， ∴，即，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； D． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意． 4. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义可得，即可求得，再根据三角形角平分线的定义可得，，即可求得． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， ，是角平分线， ，， ． 5. 如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知条件找出与的三组对应边相等，利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，从而说明射线是角平分线，判断原理． 【详解】解： ， ， 平分． 因此此角平分仪的画图原理是． 6. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 7. 如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 第Ⅱ卷（主观题共90分） 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，再证明，求解即可； 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴ ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 12. 如图，平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，若，则长的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图：过P作于D，根据垂线段最短可得当点Q和点D重合时，的长最小值为，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过P作于D， 由垂线段最短得：当点Q和点D重合时，的长最小值为， ∵平分，P是上一点，，，， ∴，即长的最小值为3． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 15. 如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，过点作轴于，过点作，交的延长线于，构造全等三角形，得到，由此求解即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作，交的延长线于，如图， 则有， ∵， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即的值为2． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图，在中，，，是的外角的平分线．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先由外角的定义求得的度数，再由角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵平分， ∴． 18. 已知：如图，在同一直线上，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到． 【详解】略 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，为等腰三角形，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】（1）分腰为3和7两种情况，分别利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，然后求周长即可； （2）由三角形的三边关系可得，易得，再取绝对值、合并同类项即可． 【小问1详解】 解：当腰为3时，三角形三边为3、3、7，由，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； 当腰为7时，三角形三边为7、7、3，由，满足三角形的三边关系，能构成三角形，此时的周长为． 综上，的周长为17． 【小问2详解】 解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴ ∴， ∴ ． 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【小问1详解】 解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 略 21. 在等边中，点P为内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证即可； （2）延长，交的延长线于Q，设与交于O，可得，根据可得，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如图，延长，交的延长线于Q，设与交于O， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等．掌握相关结论进行几何推理是解题关键． 22. 某校数学课堂的项目式学习课程中，有一个课题是“测量河两岸，两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案：求河两岸，两点间的距离．请判断方案是否可行？如可行，请帮助项目组的同学们求出河两岸，两点间的距离． 课题 测量河两岸，两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取、两点，使、、三点在同一条直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点，使． ④测得的长为米． 【答案】可行，、两点间的距离为米． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是罗列全等条件； 根据角边角论证两三角形全等即可． 【详解】解：可行． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴米， 即、两点间的距离为米． 23. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． （1）求证：． （2）试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. [理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． （2）[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． （3）[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 【答案】（1） ，， ， ， ， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）根据“AAS”证明得，进而可证； （2）由“AAS”可，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 在和中 ， ， 【小问3详解】 如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作直线于D，过点B作直线于E， ， ， ， ∵ ， ， 点A坐标为， ，， ， ， 点； 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作直线于D，过点B作直线于E， 同理可求：， ， 点A坐标为， ，， ， ， ， 点 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $