精品解析：山东枣庄市滕州市滕东中学2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情自测数学试卷

2026—2027学年度第一学期八年级第一次质量检测数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再根据有理数的定义分类统计个数． 【详解】解：； 有理数有，，； 无理数有，，（相邻两个之间的个数逐次加），； 所以有理数共3个． 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数是三个正整数，且满足勾股定理（为最大数），需检查各选项是否均为正整数并验证等式． 【详解】解：选项A：，不是勾股数，不合题意； 选项B：含有小数，不是勾股数，不合题意； 选项C：，且均为正整数，是勾股数，符合题意； 选项D：不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 3. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ） A. 64 B. 81 C. 169 D. 225 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 4. 若是任意实数，下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，分式的分母不能为，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项，的被开方数为，当时，被开方数为负数，二次根式无意义，故A错误； B选项，的被开方数为，任意实数的平方都满足， 故对任意实数，都有意义，故B正确； C选项，的被开方数为，当时，，被开方数为负数，二次根式无意义，故C错误； D选项，中分母为，当时，分母为，分式无意义，故D错误． 5. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 6. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，由图形特征得出大正方形的边长，计算大正方形面积后减去两个小正方形面积即可． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， ∴它们的边长分别为和， 由图可知，大正方形的边长为两个小正方形边长之和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴剩下部分的面积为． 7. 如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 8. 下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（ ） A. ① B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据无理数的定义，实数与数轴的对应关系，无理数估算，算术平方根的几何意义，逐一判断各说法的正误即可得到答案. 【详解】解：①是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确； ②数轴上距离原点个单位长度的点有两个，所表示的数是和，故②错误； ③因为，所以，结合，可得整数，故③正确； ④正方形的面积等于边长的平方，因此面积为的正方形的边长为，故④正确； 综上，正确的说法是①③④． 9. 如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（ ） A. 17 B. 18 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分，15分） 11. 若x和y互为相反数，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由和互为相反数得，利用立方根的性质即可求出结果． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵ 对于任意实数，都有， ∴， ∴原式． 12. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 13. 已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，每个数的被开方数与项数相等． 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，分组规律为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项数． ， 第个数是第组的第个数，为负平方根，被开方数为，即． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：， ， ， ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线方向以的速度匀速运动．设点的运动时间为．当为直角三角形时，的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分类讨论，分为，两种情况，用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 当点P和点C重合时，是直角三角形，此时，， 当时，在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，，， 由勾股定理得：， 则， 解得：， 综上所述，t的值为2或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 或． 18. 如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C、D均在网格格点上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 由网格可知，，，， ， 是直角三角形， ． 【解析】 【分析】本题考查了利用网格求面积，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用割补法，即可求出四边形的面积； （2）利用勾股定理，结合网格的特点，分别求出、、，进而推出是直角三角形，即可证明结论． 【小问1详解】 解：四边形的面积 ； 【小问2详解】 略． 19. 已知实数满足：． （1）求和的值； （2）若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据正实数的两个不相同的平方根互为相反数列式求出，再求的值． 【小问1详解】 解：∵． ∴，． ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴正实数的两个不相同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 由题意得：，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：设风筝沿方向下降米至点，连接， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线米． 21. 阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知．试求的值． 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的化简求值、平方差公式，明确分母有理化是解题的关键． （1）阅读材料可直接得出的有理化因式，然后将化简为分母中不含根式的式子即可． （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）将已知等式分子分母都乘以a，然后计算二次根式的混合运算即可得出答案． 【小问1详解】 解：的有理化因式为：， 【小问2详解】 由（1）知：， ， ∵， ∴ 【小问3详解】 ∵， ∴ ， ∴， ∴ 22. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2） （3）证明：， 等式左边等式右边； （4）①；②18 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【小问1详解】 解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①解： ． ②， ， ， ． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期八年级第一次质量检测数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（ ）个． A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 3. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ） A. 64 B. 81 C. 169 D. 225 4. 若是任意实数，下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（ ） A. ① B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（ ） A. 17 B. 18 C. 20 D. 21 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分，15分） 11. 若x和y互为相反数，则______________． 12. 如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为______． 13. 已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线方向以的速度匀速运动．设点的运动时间为．当为直角三角形时，的值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 18. 如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C、D均在网格格点上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 19. 已知实数满足：． （1）求和的值； （2）若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 20. 春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 21. 阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知．试求的值． 22. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $