3.2圆的对称性 同步练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.2圆的对称性同步练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册 一、单选题 1.如图，AB为⊙0的直径，弦CD L AB于点E,已知CD=8,BE=2,则OO的半径为() B A.3 B.4 c.5 D.10 2.已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断， 正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①和②都是真命题 D.①和②都是假命题 3.如图，⊙0的直径AB=10m,弦CD⊥AB于E,CD=8m,则AE的长为() D B A.9m B.8m C.7m D.6m 4.如图，在⊙0中，弦AB‖CD,AB=12,CD=16,且AB与CD位于圆心O的同侧.若AB与CD之 间的距离为2，则⊙0的半径为() A.8 B.9 C.10 D.12 5.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之， 深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯 试卷第1页（共3页） 这木材，锯口深2寸(ED=2寸)，锯道长8寸(AB=8寸)”，问这块圆形木材的直径是多少？如图 所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是() E A.5寸 B.6寸 C.8寸 D.10寸 6.如图，圆O的直径是AB,点P和点均是半圆上一点，连接BP和O№交于点C,若 AB=10,BC=PC=4 CO= 则 () P A.2 B.3 c.v5 D.Vio 二、填空题 7.已知⊙0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm 8.如图，已知OB为⊙O的半径，且OB=10cm,弦CD⊥OB于M.若OM:MB=4:1.则CD长为 cm 9如图，是0的直径，CD是⊙ 的弦， AC=A D,点B是劣弧BC上一点，连接DB交4B于点 F,若∠CDE=60°，则∠BFE的度数为 D 试卷第2页（共3页） 10.如图，拱桥可以近似地看作直径为200m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的 路面AB长度为l20m,那么这些钢索中最长的一根的长度为 m. D 系 B 路面 桥拱 1,如图，4B是O0的直径，B⊥CD,CD=45,∠ACD=6,则00的半径长为 B 12.如图，⊙P与y轴相切于点 C03),与x轴相交于点4w,B90).直缆=-3拾好平分OP的 面积，那么k的值是 B衣 13.如图，⊙0的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°，若PC2+PD2=16,则⊙0的半径为 B 三、解答题 14.已知：如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，CD⊥AB,垂足为E.求证：AD=BD. 试卷第3页（共3页） 0 B O 15.如图，⊙O的弦AB与半径OE,OF相交于点C,D,AC=BD,求证：AE=BF. B 16.△ABC中，AC=6,BC=8,∠C=90°，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D,求AD的 长 A D B 试卷第4页（共3页） 17,如图.M是00的直径.D是o0的弦.cD1于点，C是 的中点，连接F B (I)求证：AF=CD (2)若AE=2,AF=10,求⊙0的半径. 18.一个装有水的水槽放置在水平桌面GH上，其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=52,MN为水 面截线，MN∥GH B B(N) G D H G H 图1 图2 ()如图1，当AB/GH时，作OC⊥MN于点C,并交半圆O于点D,若水面截线MN=48,求水截面最大 深度CD的长。 (2)将图1中的水倒出一部分，得到图2，直径一端点B刚好与点N重合.水截面最大深度为13，请计算 此时水面截线MN的长 试卷第5页（共3页） 参考答案及解析 1.C 析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接OC,根据垂径定理得CE=)CD=4,在RIOCE】 利用勾股定理得OC=5，掌握知识点的应用及能根据题意添加辅助线构建直角三角形是解题的关键， 【详解】解：连接OC, B E D AB为⊙O的直径，CD1LAB, CE-CD-7x8-4. 在RtAOCE中，OE=OB-EB=OC-2. ..OC2 CE2 +OE2, :0C2=4+(0c-2} 解得：OC=5, .⊙0的半径为5， 故选：C 2.A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可. 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题： 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的 弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题. 3.B 【分析】连接OC,易知OC=5m,由垂径定理得CE=4m,由勾股定理得OE=3m,所以 AE=5+3=8m 答案第1页（共2页） 【详解】解：连接OC, A 是 的直径，弦 于E, AB⊙O CD⊥AB CD=8m 1 ∴.CE=-CD=4m 2 在Rt△OEC,∠0EC=90°，OC=5m,CE=4m, .0E=V0C2-CE2=3m ∴.AE=OA+OE=5+3=8m. 4.c 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可， 【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连接OC,OA, ABICD,OE⊥CD. .OE⊥AB CE-CD-AF- B=6 设OE=x,则OF=x+2, 在RtAOCE中，OC2=x2+82, 在Rt△0AF中，0A=(x+2+62 .0A=OC, x2+82=(x+2)}2+62 答案第2页（共2页） 解得：x=6, .0C=V62+82=10 即⊙0的半径为10. 5.D 【分析】设⊙0的半径为，在Rt△AB0中，AE=4,OE=r-2,0A=”,则有' =4+r-2,解方程 可得T,进而确定直径AC 【详解】解：设⊙O的半径为r, .OE⊥AB 能-时份=4 在Rt△AE0中，AE=4,OE=r-2,OA=r, 则有尸=4+0-2} 解得r=5, .圆形木材的直径AC是为10寸. 6.A 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得O№1PB,进而根据勾股定理求得 OC=3,即可求解. 【详解】解：圆O的直径是AB,AB=10,BC=PC=4, .OB=5,OQ⊥PB tOBC中，0C=O8-BC=S-年=3 在 .C0=00-0C=5-3=2, 故选：A. 7.5 答案第3页（共2页） 【分析】过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径 【详解】解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, A B ·OC⊥AB,AB是⊙O的弦， AC=4B 2 .AB=8cm】 4c-8=m, 在RIAOAC中，OC=3cm,AC=4cm, :01=0C+4C-V5+平=25=5m,即此圆的半径为5cm 8.12 【分析】根据OB=10cm,OM:MB=4:L,可求得OM的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案. 【详解】解：，弦CD⊥OB于M, :.CM=DM=ICD .OM:MB=4:1, ..OM-40B-8cm 5 ..OC=OB=10cm, :.CM=voc2-0M2=Vi02-8=6cm） ∴.CD=2CM=12cm 9.30 【分析】根据垂径定理可得CD⊥AB,再根据直角三角形的锐角互余即可求解. 【详解】解：4C=D,B为O0的直径， .CD⊥AB, :∠CDE=60°， 答案第4页（共2页） ∴.∠BFE=∠AFD=90°-60°=30° 10.20 【分析】设圆弧的圆心为0，过0作C10于C,交于D,连接O4,先由垂径定理得 C=60m 再由勾股定理求出OC=80m,然后求出CD的长即可. 【详解】解：设圆弧的圆心为0，过O作OC18于C,交B于D,连接O1, D B C 路面 桥拱 则01=0D=x20=10m.4c=c=4B=x120=60m. :0C=V0r-AC2=vi02-602=80(m). CD=OD-OC=100-80=20(m) 即这些钢索中最长的一根为20m, 11.4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出CE=25 ；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导 ∠0CE=30°；依托30°直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径。 【详解】解：连接OC,设直径AB与弦CD交于垂足E. 是 直径， E D B AB⊙O AB⊥CD ∴AB垂直平分CD, 2*43=2V5 答案第5页（共2页） AB⊥CD, .∠AEC=90°， 在Rt△ACE中，∠ACD=60°. .∠A=180°-∠AEC-∠ACD=30°. :OA=OC」 .∠A=∠OCA=30°， ∴.∠OCE=∠ACD-∠OCA=60°-30°=30° 在RtAOCE中，∠OEC=90°，∠OCE=30°」 ∴.OE=。OC 设o0半径0C=R,则OE=)R 2 由勾股定理：OE2+CE2=OC2, 代入得： （6+5=R R2=16 R>0, .R=4 .⊙0的半径长为4. 6 12.5 【分析】连接PC,PA,过点P作PD⊥AB于点D,根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形 PDOC是矩形，所以PD=OC=3,再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD的长， 进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=a-3即可得出结论. 【详解】解：连接PC,PA,过点P作PD⊥AB于点D, 答案第6页（共2页） VA :OP与'轴相切于点C(03),:cLy轴， 四边形PDOC是矩形， .PD=OC=3. A0）.B(90),AB=9-1=8, .AD=4B=-x8=4 2 2 .0D=AD+0A=4+1=5, P53) :直线’=-3恰好平分OP的面积。 ∴点P在直线y=a-3上， 六3=5张-3，解得k- 5· 6 故答案为：5 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结 论 13.22 【分析】过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,根据垂径定理得出CE=DE,根据等腰三角形的判定和性 质得出EP=OE,整理得出 PC2+PD2=(CE+EP)+(DE-EP)=20C2 ，最后求出结果即可. 【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,如图所示： 答案第7页（共2页） 则CE=DE, .∠APC=45° ∠E0P=90°-∠0PC=45°， ∴.∠EOP=∠OPE .'EP=OE, .PC2+PD2=(CE+EP)+(DE-EP) CE2 +2CE.EP+EP2+DE2-2DE.EP+EP2 =2CE2+2EP2 =2(CE2+Ep2） =2(CE2+OE2) =20C2 .PC2+PD2=16. .20C2=16, .0C2=8, .0C=22,负值舍去， ⊙0 2W2 即的半径为 14.证明：：CD为⊙O的直径，且CD⊥AB, .AD=BD ∴.AD=BD 【分析】利用垂径定理推出两段弧相等，再依据同圆中等弧对等弦，证得线段相等. 【详解】略 答案第8页（共2页） 15.证明：过点O作OM1AB,交AB于点M,交⊙0于点W,如图， AM=BM AN BN :AC=BD」 ∴.CM=DM 又OM⊥CD, ..OC =OD .∠EON=∠FON. ..EN FN .AN-EN BN-FN .AE=BF 【分析1过点O作OM1B,交4B于点M, 于点，由垂径定理得到AM=BM,AN=BN 六⊙0 然后由三线合得到∠BON=∠FON,推出成= ,进而证明即可. 【详解】略 6 16.5 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理及三角形面积公式，准确计算是解题的关键。 先通过垂径定理得到AD和AE的关系，再利用勾股定理求出AB,接着依据三角形面积公式得出CE,最 后根据勾股定理求出AE,即可得解. 【详解】过点C作CE⊥AB, 答案第9页（共2页） D 过圆心， :CE⊥ABCE .AD=2AE, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC=V6+82=10 由三角形面积公式可得：24C-BC=)4B-CE, ..AC.BC=AB.CE, ∴.6×8=10CE CE=24 5 在△4EC中，AE=VAC2-CE2=18 D=2AE=36 · 17.(1) 证明：：AB是OO的直径，CD⊥AB于点E, ◆ ..AC=AD :C是 的中点， ◆ ◆ .AC=CF “AC+CF=AC+AD,即AF=CD ..AF=CD: 29 (2)4 【分析】(1)根据垂径定理得AC=D,由C是MF的中点即可得AC=C厅，进而得F=D,根据圆 心角定理，即可证明结论： (2)连接OD,根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解. 答案第10页（共2页) 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接OD, B D 由(1)可知AF=CD=10」 设⊙O的半径为r,则OA=OD=r, :AE=2, OE=OA-AE=(r-2） CD⊥AB于点E, DE=CD=5」 2 六在aODE中，0E2+DE2=0D2,即-2+52=r 解得r29 4 29 :⊙0的半径为4. 18.(1)水截面最大深度CD的长为16， (2)水面截线MW 26√3 的长为 【分析】本题考查圆的垂径定理和勾股定理的综合应用，利用“垂径定理”构造直角三角形，结合勾股 定理计算线段长度是解题关键， (I)连接ON,根据AB、MN的长度，在RtAOCN中，利用勾股定理求出OC,进而求出CD (2)将水槽和地面的切点F与圆心相连，OF与水面MB交于点E,根据AB和水截面最大水深可求出 OE,在Rt△OEB中，利用勾股定理求出EB,进而求出MB 【详解】(1)解：如图，连接ON, 答案第11页（共2页) B CL D HOD⊥MN ∴.CM=CN=24. 0N=,AB=26 .0C=V0N2-CW2=V262-242=10 .CD=OD-OC=26-10=16 答：水截面最大深度CD的长为16， (2)解：如图，设水槽与地面GH的切点为F,连接OF与MB交于E. 0 E M B(N) Q H .·OF⊥GHMB∥GH ∴.OF⊥MB, ∴.EM=EB, 根据题意可知EF=13,0F=0B=)AB=26, 2 .OE=0F-EF=26-13=13 .EB=V√0B2-0E2=V262-132=133 .MN=26v3 6V3 答：水面截线MN的长为2 答案第12页（共2页)