3.3圆的对称性同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息**：聚焦圆的对称性核心知识，通过基础概念辨析、性质应用到综合问题解决的三层设计，实现从单一到综合的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆心角弧弦关系、圆周角定理|单选1-3直接考查概念，填空9-12强化基本计算，培养抽象能力| |提升层|垂径定理与勾股定理结合|单选4-6、填空13-14通过实际情境（如球半径测量）提升应用意识| |综合层|多性质综合证明与建模|解答17-18结合正方形内接圆等复杂情境，发展推理能力与几何直观|

3.3圆的对称性 同步练习 一、单选题 1．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B．同圆中相等的弦所对的弧相等 C．同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D．同圆中相等的弧所对的弦相等 4．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（   ） A． B． C． D． 5．若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 7．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 二、填空题 9．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 10．如图，在中，，，是的外接圆，则的半径为________． 11．如图，点在半圆上，是直径，．若，则的长为______． 12．如图，是的直径，，，则的度数是______． 13．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是________． 14．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 三、解答题 15．如图，在中，弦与相交于点E，，连接，．求证： (1)． (2)． 16．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    17．如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 18．如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.3圆的对称性 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D C B D B 1．A 【分析】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 由，，得出，进而得出的度数，由得出，即可得出的度数． 【详解】解：如图，在中， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选A． 2．A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．根据同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； B. 同圆中相等的弦所对的弧相等，错误，相等的弦可能对应优弧或劣弧，若未明确类型，弧不一定相等，故该选项符合题意； C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； D. 同圆中相等的弧所对的弦相等，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答． 如图，作辅助线；首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点D； 则， 设的半径为r，则， 在直角中，， 由勾股定理得 解得：． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 6．B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 8．B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 9． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理．过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，圆周角定理，勾股定理．连接，则，，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接， ∵ ，是直径， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．/71度 【分析】本题考查了圆的基本性质，利用邻补角求角度；可求，从而可求，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 14． 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到，进而证明结论； （2）先说明，再运用证明，再利用相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ， 16． 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查三角形内心的性质，勾股定理, 掌握三角形内心的性质及勾股定理是解题的关键. （1）利用三角形内心的性质及外角的性质可得，从而可证； （2）设的半径为r，根据勾股定理列方程得：，解方程可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，且， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接， 设的半径为r， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， （不合题意，舍去） 答：的半径是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $