3.3 课时1 圆心角、弧、弦之间的关系 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.3圆的对称性 课时1圆心角、弧、弦之间的关系 课时目标 理解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系。 掌握圆心角、弧、弦关系定理及其推论（含弦心距对应），能识别前提条件。 3 能运用圆心角、弧、弦关系进行简单的角度、弧长与线段的计算与证明。 课时目逯 知识点01：圆心角的定义 知识点02：圆心角相等与所对弧相等的关系 知识点03：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 知识点04：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 知识点05：圆心角、弧、弦关系定理的推论 知识点06：利用圆心角、弧、弦关系进行计算与证明 知识点01：圆心角的定义 项点在圆心的角叫做圆心角，角的两边与圆相交得到两条半径。 1/14 圆心角和它所对的弧、弦一一对应。 例如：在⊙O中，射线OA、OB与圆交于A、B,则∠AOB是圆心角，它对着弧AB和弦 AB。 注意：圆心角必须顶点在圆心，两边是半径。 1.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在半径为4的⊙0中，圆心角∠A0B=90°，则弦AB的长为 () B A.4V2 B.8V2 C.4 D.8 2. (25-26七年级上·贵州贵阳·期末)如图所示，下列各角是圆0内的角，其中圆心角是() 2y0 A.∠I B.∠2 C.∠3 D.∠4 3.(2025山东东营·一模)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明，是现 在所用指南针的始祖.如图，司南中心为一圆形，圆心为点O,直径为20，根据八个方位将圆形八等 分（图2中点A~H),过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M,连接EG.相邻两个方位间所 夹的圆心角度数为() 2/14 北 西北B H东北 西C o G东 西南D F东成M 图1 图2 A.36° B.45° C.60° D.90° 4.(24-25九年级上辽宁鞍山期末)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，OC∥AD,OAIICD 若AD=1,则BC的长为 A 知识点02：圆心角相等与所对孤相等的送系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。这是圆心角、弧、弦关系的基础。 例如：若⊙0中∠AOB=∠COD,则它们所对的弧AB与CD长度相等。 注意：结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，不同大小的圆不能直接比较弧相等。 5(2026江苏南京一模)如图，在扇形0MB中，点C在 OAB C ”上，连接 OC AC BC∠ACB=132° 若∠B0C=2LA0 AC ,则心的度数为() 3/14 A.16° B.24° C.32° D.36 6.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，在△1BC中，以B为圆心，BA为半径画征 AC BC 分别交 于点D,E,若CD=B,∠B=87 ·则D 的度数为() A D A.30° B.31° C.32° D.33o 7.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图：在半圆中，C是半圆上的一个点，将MC沿弦4C 折叠 交直径MB于点D,点E是D的中点，近接OE,若OE的最小值为2，则4B D E 8,(2627九年级上江苏宿迁阶段检测如图，在O0中，=2C且BD10C,垂足为D.若4B=8 CD=2,求⊙0的半径. B 4/14 【知识点03：在同圆或等圆中，相等的圆心鱼所对的弧相等、所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 这是圆心角、弧、弦关系定理。 例如：⊙0中∠AOB=∠COD,则AB=CD,弦AB=弦CD。 注意：定理以“同圆或等圆”为前提，半径不同的圆不适用。 9.(2425九年级上河南商丘期中)如图，B是O0的直径，D=D=BC,则∠B0C 度数为 () D A.45° B.50° C.55° D.60° 10.(25-26九年级上江苏准安阶段检测)如图，在⊙0中，请添上一个条件：一 使得AB=CD B 11.(2026江苏南通·一模)如下图，已知AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠ABC=65°， BC=CD 5/14 (I)求证：△BOC≌aDOC (2)求∠ABD的度数.一题多解法 12.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，己知AB是⊙0的直径，弦AC与弦BD交于点E,且 OD⊥AC 垂足为点P,若点C是BD 的中点· D E (1)求∠AOD的度数： 2)若AB=8,求DF的值； 知识点04：在同圆或篷圆中，相等的弧所对的圆心鱼相篗 在同圆或等圆中，如果两条弧相等（或两条弦相等），那么它们所对的圆心角相等。 这是上述定理的逆用。 例如：⊙0中AB=CD,则∠AOB=∠COD;若弦AB=弦CD,同样有∠AOB= ∠COD。 注意：同样需满足同圆或等圆的前提条件。 13.(24-25九年级上江苏镇江阶段检测)下列命题：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等： ②相等的弧所对的圆心角相等；③经过圆内任意一点只可以作一条直径；④半圆是弧.其中真命题的 6/14 个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(24-25九年级上江苏连云港阶段检测)如图，在⊙0中，点C是弧AB的中点，∠0AB=55°，则弧 BC的度数为() A.35° B.40° C.45° D.50° 15.(24-25九年级上江苏镇江阶段检测)如图，⊙0的直径AB=4,半径0C1AB,点D在弧BC上， DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,若点E为OC的中点，弧CD的度数为一 B 16.(24-25九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A,分别交 BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G, G (1)求证： EF=GF 2若G正的度数为140°，求∠C的度数. 知识点05：圆心角、弧弦关系定理的推论 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦的弦心距相等：反之，弦心距相等则所对的弦相 7/14 等、弧相等、圆心角相等。 例如：⊙0中弦AB、CD的弦心距都是4，则AB=CD,AB=CD。 注意：涉及弦心距时，“同圆或等圆”前提依然不可缺少。 B 17.(2025-四川广元一模)如图，在o0中，BD=C 下列结论不正确的是() A O A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C.AB=CD D S.4O=S.COD 18.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，点4，B,C,D在00上，=CD,求证：4C=BD E C 19.(25-26九年级上浙江嘉兴·期中)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径的⊙0分别交 AC,BC于点E,F.求证：AE=BF. 8/14 B 20.(24-25九年级上辽宁大连期末)如图，在⊙0中，弦AB、CD于点E,且AB=CD.求证： AC=BD A 知识点06：利用圆心鱼、弧。弦送系进行计算与证明 利用圆心角、弧、弦、弦心距的对应关系，可计算角的度数、弧的长度关系与线段长度， 也可进行几何证明。 例如：己知⊙0中∠AOB=60°，同圆中等弧所对圆心角也相等，可推得对应弦相等。 注意：解题时先确认是否满足同圆或等圆前提。 21.(24-25九年级上江苏镇江阶段检测)已知：如图，AB是⊙0的直径，C、D是O0上两点， CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M、N,弧AC=弧BD,求证：AM=BN. B 22.(23-24九年级上江苏南京期中)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，CE⊥AB于点E, DF⊥AB于点F,OE=OF.求证：AC=BD, 9/14 EO F 23.(2026江苏南京一模)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，且BC=CD=DE=EA E 0。 B (I)求证：AD=CE: (②)若AB=2,CE=3,求⊙0的半径. 24.(25-26九年级下广东佛山阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交O0于 点D,过点D的OO的切线交AC的延长线于点E,且AE⊥ED.求证：AE+CE=AB 0 课时训练 一、选择题 1.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在⊙0中，圆心角∠A0B=120°，点C是弧AB的中点， 则∠ACB的度数为() 10/14 B A.30° B.60° C.120° D.150° AB,B 2.(2026山西临汾三模)如图， 10,C0是o0的半径，B是4C的中点，连接 BC,点D在BC的 延长线上.若∠0CD=130°，则∠A0C的度数为() A.160° B.130° C.100° D.80° 3.(2026福建泉州二模)如图，⊙O的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°， 则∠BOC的度数是() B A.100° B.120° C.130° D.140° 4.(22-23九年级上浙江杭州阶段检测)如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D, DPL4C,垂足为P,DH LBC,垂足为H,有下列结论：DCH=CP,②D=D:③4P=BH, @B=C.其中一定成立的结论有() 11/14 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5,(2026陕西成阳模拟预测)如图，四边形4BCD内接于O0,4C是⊙0 的直径，点D是4C 的中点， ∠BOD=140°，则∠BAC的度数为 D A 6.(25-26九年级下陕西西安·期中)如图，AB是OO的直径，CB,CD是⊙0的弦，且CB=CD,CD 与AB交于点E,连接OD.若∠AOD=40°，则∠D的度数是 E D 7.(2026陕西输抹校拟预测)如阁，4D是O0的直径，已知4D=6.=C,∠406=120心，则 CD的长为 12/14 y B D 8.(2026江苏南京·二模)图(1)中圆形台球桌面的俯视图如图(2)所示，记圆心为0,6个等分圆周 的球洞为4，B,C,D,B,RP是M 的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q 处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有∠OQM=∠OQP, ∠OMF=∠OMQ∠PQO ·则 的度数是。 B DO (1) (2) 三、解答题 9.(2526九年级上江苏盐城阶段检测如图，4B是⊙0的直径，C=CD-D正，∠40C=40.求 ∠BOE的度数. D C B 0 10.(25-26九年级上·浙江宁波阶段检测)已知：如图，A、B、C、D是⊙0上的点，∠I=∠2， AC=5cm 13114 B D 2 0 4 AC=BD (1)求证： (2)求BD的长. 14/14 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．3 圆的对称性 课时1 圆心角、弧、弦之间的关系 ▌课时目标 1. 理解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中圆心角、弧、弦的对应关系。 2. 掌握圆心角、弧、弦关系定理及其推论（含弦心距对应），能识别前提条件。 3. 能运用圆心角、弧、弦关系进行简单的角度、弧长与线段的计算与证明。 ▌课时目录 知识点01：圆心角的定义 知识点02：圆心角相等与所对弧相等的关系 知识点03：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 知识点04：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 知识点05：圆心角、弧、弦关系定理的推论 知识点06：利用圆心角、弧、弦关系进行计算与证明 ▌知识点01：圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角，角的两边与圆相交得到两条半径。 圆心角和它所对的弧、弦一一对应。 例如：在⊙Ｏ中，射线OA、OB与圆交于A、B，则∠AOB是圆心角，它对着弧和弦AB。 注意：圆心角必须顶点在圆心，两边是半径。 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 3．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 ▌知识点02：圆心角相等与所对弧相等的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。这是圆心角、弧、弦关系的基础。 例如：若⊙Ｏ中∠AOB＝∠COD，则它们所对的弧与长度相等。 注意：结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，不同大小的圆不能直接比较弧相等。 5．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． ▌知识点03：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 这是圆心角、弧、弦关系定理。 例如：⊙Ｏ中∠AOB＝∠COD，则＝，弦AB＝弦CD。 注意：定理以“同圆或等圆”为前提，半径不同的圆不适用。 9．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解：，是的直径， ， 故选：D． 10．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 11．（2026·江苏南通·一模）如下图，已知是的直径，点，在上，，． (1)求证：． (2)求的度数．一题多解法 【答案】(1) 见解析 (2) 【分析】（1）利用弧相等得出弦相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等； （2）方法一：先利用等腰三角形性质结合三角形内角和求出的度数，再结合全等三角形的性质求出的度数，最后根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质求出的度数； 方法二：先利用等腰三角形性质结合三角形内角和求出的度数，再根据垂直平分线的判定定理得到，最后根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】（1）证明：， ． 又，， ． （2），， ， ． 由（1）知， ， ． ， ． 一题多解法 ，， ， ． ，， 垂直平分， ， ． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． ▌知识点04：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中，如果两条弧相等（或两条弦相等），那么它们所对的圆心角相等。 这是上述定理的逆用。 例如：⊙Ｏ中＝，则∠AOB＝∠COD；若弦AB＝弦CD，同样有∠AOB＝∠COD。 注意：同样需满足同圆或等圆的前提条件。 13．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）下列命题：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的圆心角相等；③经过圆内任意一点只可以作一条直径；④半圆是弧．其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，相等的弧指两条弧的长度（弧长）数值相等和弯曲程度相等，据此可判断①②；若圆内的一点不是圆心，则过该点可作一条直径，若是圆心，则可以作无数条直径，据此可判断③；根据弧的定义可判断④． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题是真命题； ②相等的弧指两条弧的长度（弧长）数值相等和弯曲程度相等，则相等的弧所对的圆心角相等，故原命题是真命题； ③经过圆内任意一点作直径，分两种情况，一、这点是圆心，可以作无数条直径；二、这点不是圆心，只可以作一条直径，故原命题是假命题； ④半圆是弧，故原命题是真命题． ∴真命题有①②④，共3个． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为______． 【答案】/60度 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ▌知识点05：圆心角、弧、弦关系定理的推论 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦的弦心距相等；反之，弦心距相等则所对的弦相等、弧相等、圆心角相等。 例如：⊙Ｏ中弦AB、CD的弦心距都是4，则AB＝CD，＝。 注意：涉及弦心距时，“同圆或等圆”前提依然不可缺少。 17．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 18．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明． 【详解】略 19．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】略 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】略 ▌知识点06：利用圆心角、弧、弦关系进行计算与证明 利用圆心角、弧、弦、弦心距的对应关系，可计算角的度数、弧的长度关系与线段长度，也可进行几何证明。 例如：已知⊙Ｏ中∠AOB＝60°，同圆中等弧所对圆心角也相等，可推得对应弦相等。 注意：解题时先确认是否满足同圆或等圆前提。 21．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，是的直径，、是上两点，，，垂足分别为、，弧弧，求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接、 ， 弧弧， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，连接、，根据题意，利用判定，即可求证． 【详解】略 22．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 23．（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 24．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】先由角平分线定理得到，再由直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由圆中弦、弧和圆周角的关系得出，再由直角三角形全等的判定定理证得，得出即可得证． 【详解】略 ▌课时训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 2．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 3．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 二、填空题 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．（2026·江苏南京·二模）图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ， ． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 即． ∴． (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $