精品解析：山东日照市新营中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年度上学期阶段检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 2. 过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　 　） A. B. x（x﹣1）=380 C. 2x（x﹣1）=380 D. x（x+1）=380 【答案】B 【解析】 【分析】设该班级共有同学x名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量． 【详解】设全班有x名同学，由题意得： x（x-1）=380， 故选B． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，再根据轴对称得出答案． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的抛物线的表达式为：， 此时抛物线的顶点坐标为， 再关于轴对称，可得新抛物线的顶点坐标为． 4. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由各选项一次函数所经过的象限确定的符号，判断二次函数的开口方向与轴的交点的位置、对称轴的位置是否正确即可． 【详解】解：选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向下，与轴交于正半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的右侧，不符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向下，与轴交于负半轴，并与一次函数与交轴于同一点，对称轴在轴的右侧，不符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向上，与轴交于正半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的左侧，符合题意；选项中，由一次函数图像可知，则二次函数图像应开口向上，与轴交于负半轴，并与一次函数交轴于同一点，对称轴在轴的左侧，不符合题意． 5. 点和都在抛物线上，且，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由 与 纵坐标相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ 与 纵坐标相等， ∴， ∴． 6. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 7. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 9. 已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，根据抛物线开口方向，分类讨论，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得； 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得， 综上，的值为或． 10. 如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点．下列结论：①；②；③；④若点，都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定a、b、c正负，判断①；利用抛物线与轴正半轴交于点，得到当时，，判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出点，代入抛物线得到与a、c关系式，再借助一元二次方程根与系数的关系可判断⑤． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵其顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴当时，， ∵， ∴当时，，故②错误； ∵其顶点坐标为， ∴， ∴，故③正确； ∵点，都在抛物线上， ∴点P到对称轴的距离为，点Q到对称轴的距离为， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴点P离对称轴更近， ∴，故④正确； 根据题意得：，即，， ∵， ∴，即点， 把点代入得， ∵， ∴， 设方程的两根分别为， ∴， 即关于的方程的两根之和为，故⑤正确； 综上所述，正确的有③④⑤． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法即可求解． 【详解】解： 移项，得 . 提取公因式，得 . ∴ 或 . 解得 ，． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 13. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：且 ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式得出，再利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解：由题意可知，，，，…，， 在反比例函数的图象上， ， ， ． 15. 如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，利用根和系数的关系先求出，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴，， ∴， ∴， 当取最小值时，抛物线的顶点到的距离最小，此时阴影部分的面积最小， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用公式法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 所以． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得：或． 18. 一商场以20元的进价进一批纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且为更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）销售价格的基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）40元 （2） 【解析】 【分析】（1）设涨价元，单件利润 元，销量 个，然后根据题意列一元二次方程求解即可； （2）先求出售价为40元时的初始销售量为400个，设平均增长率 ，再根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设涨价元，单件利润 元，销量 个， ， 整理得：，解得：， 由于要更大优惠让利消费者，故取较小的值 ，即涨价10元，故售价为 元． 答：售价应定为40元． 【小问2详解】 解： 原来销售量：个， 设平均增长率 ， 由题意可得：， 解得：或（不合题意舍去） ． 答：平均增长率为． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系和求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； 【小问2详解】 解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∵ ∴当时，y有最大值，最大值为648． ∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 20. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 21. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【答案】（1）b＝-6，c=-3 （2）x＝－3时，y有最大值为6 （3）m＝－2或 【解析】 【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解； （3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解． 【小问1详解】 解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． 【小问3详解】 解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 22. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】任务：，，；任务：，；任务： 【解析】 【分析】任务：根据时，或或，即可解决问题； 任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题； 任务：利用上述过程发现的结论即可解决问题； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，原方程可化为：， ∴或或， ， 故答案为：，，； 任务：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得，，； 任务：利用上题结论可知：，， ． 23. 任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是，某足球队员在球门正前方的A处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门的处，人墙的最大防守高度可以达．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度（单位：m）与足球离球门的水平距离（单位：m）满足函数关系式． （1）若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为， ①求与的函数关系式； ②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由； （2）若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）① ②足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线经过点和即可求出函数解析式； ②把代入和人墙的最大防守高度比较即可； （2）根据足球能直接射进球门和足球能越过人墙分别求出h的值，综合分析即可． 【小问1详解】 解：①∵任意球在运行过程中达到最大的高度为， ∴， 由题意得：抛物线经过点， ∴，解得：， ∴， ②由①得：， 当时，， ∴足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内； 【小问2详解】 ∵抛物线经过点，代入得： ， ∴， 足球能“越过人墙”，即时，足球高度必须大于人墙高度， 代入得： 解得； 足球能“射进球门”，即时，足球高度必须小于球门高度， 代入得： 解得； ∴的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期阶段检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 2. 过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　 　） A. B. x（x﹣1）=380 C. 2x（x﹣1）=380 D. x（x+1）=380 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 点和都在抛物线上，且，则的值是（ ）． A. B. C. D. 6. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7 9. 已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 10. 如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点．下列结论：①；②；③；④若点，都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 13. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，…，（且为整数）分别交于点，，，…，，则__________． 15. 如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2） 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 18. 一商场以20元的进价进一批纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且为更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）销售价格的基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？ 20. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 21. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 22. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 23. 任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是，某足球队员在球门正前方的A处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门的处，人墙的最大防守高度可以达．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度（单位：m）与足球离球门的水平距离（单位：m）满足函数关系式． （1）若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为， ①求与的函数关系式； ②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由； （2）若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $