精品解析：山西省朔州市怀仁市2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期九年级学业质量监测（一） 数学 （监测内容：第二十五至二十六章26.2） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意． C、方程中有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程化简后为，未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点为，故A符合题意． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 5. 亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为． ① ，即． ② ． ③ ，． ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法求解一元二次方程的步骤解答即可； 【详解】解：步骤①将常数项移到等号右侧，得到，变形正确； 步骤②，给左侧加1凑完全平方，根据等式的性质，右侧的4也必须同步加1，才能保证等式成立，但亮亮只给左侧加了1，右侧没有加，错误得到，实际正确结果应该是，所以出错的是步骤②； 步骤③、④都是基于步骤②的错误推导的连锁结果，但最初的错误出在步骤②． 6. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象可知，， ∴点在第四象限． 故选：D． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 8. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 9. 随着智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标．已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有．若设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均增长率的计算公式：若初始量为，年平均增长率为，经过年后的量为，再结合本题条件，代入公式列方程即可． 【详解】从年底到年底，间隔个完整年度，共增长次， 所以． 10. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数为3的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为：（答案不唯一）． 12. 若点和点都在抛物线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】开口向下的抛物线，距离对称轴越远的点的纵坐标越小，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 故距离对称轴越远的点的纵坐标越小， ∵， ∴． 13. 已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由因式分解法求出或，然后根据三角形三边关系选出合适的第三边，再根据勾股定理逆定理得出三角形为直角三角形，进而可求出三角形面积． 【详解】解：， 或， 解得或， 当时，，满足三角形三边关系， 且，此时三角形为直角三角形， 则这个三角形的面积为：， 当时，，不满足三角形三边关系，故构不成三角形， 综上：这个三角形的面积为6． 14. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象结合自变量的取值范围直接求解． 【详解】解：∵二次函数的图象，顶点坐标，开口向下， 即当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． 15. 如图，已知的长为1，以为边在的下方作正方形；取边上一点，以为边在的上方作正方形；过点作，垂足为．若正方形与四边形的面积相等，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意推出四边形为矩形，再设，分别表示出正方形与矩形的面积，由等量关系列方程求解即可． 【详解】解：以为边在的下方作正方形，以为边在的上方作正方形， ， 在正方形中，，则， ， 即三点共线，三点共线， ， 四边形为矩形， 设，则，， 由题意可知，， 正方形与四边形的面积相等， ，则， 解得或（负值，舍去）， 的长为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】把移到左边，提取公因式，让两个乘数分别等于 0，算出两个解为 0 和； 把二次式子拆成两个括号相乘，让每个括号里的式子分别等于 0，算出两个解为 9 和． 【小问1详解】 解：， ， ， 得到或 解得 ， ； 【小问2详解】 解：， ， 得到 或 ， 解得 ，． 17. 已知二次函数，请你写出其函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 【答案】开口方向向上、对称轴为及顶点坐标 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，由二次函数图象与性质分析求解即可． 【详解】解：， 其函数图象的开口方向向上、对称轴为及顶点坐标． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 19. 山西纵贯南北，果品品类丰富，是我国名副其实的果业大省．如图①，为了促进花芽分化，增加果实产量、改善果实品质，果农一般会对果树进行压枝处理．如图②是一根枝条未压枝前在平面直角坐标系中的示意图，近似呈直线生长，其中端在轴上，为，枝条经过压枝后的形状近似看作抛物线．已知压枝后该枝条的最高点与轴的距离为，与轴的距离为．请你求出枝条经过压枝后所在抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定顶点坐标以及点坐标，然后利用顶点式以及待定系数法进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）点在该二次函数的图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，把点代入二次函数，解出的值即可； （2）①由（1）求出二次函数解析式为，因为点在该二次函数的图象上，再把代入二次函数，解出的值即可； ②由图象可知，当时，或，因为点到轴的距离大于3，结合图象即可得出的取值范围 ． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得： ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数解析式为， ①因为点在该二次函数的图象上， 所以当时，； ②由图象可知，当时，或， 因为点到轴的距离大于3，即， 观察图象，当时，的取值范围为或． 21. 先阅读下列材料，然后解决问题． 材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：，或．所以，． 问题： （1）关于的一元二次方程的根为________． A．， B．， C．， D．， （2）观察下列一组方程：①，②，③，④，，这些方程的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，请你求出该方程的实数根及的值． 【答案】（1）C （2）方程的两个根是7和8， 【解析】 【分析】（1）根据材料给出的十字相乘法解答即可； （2）根据“连根一元二次方程”的定义得出这个方程的两个根是7和8，将方程分解因式可得，展开后即可解答； 【小问1详解】 解：根据材料给出的十字相乘法分解规则：， 对，需要找到两个数，它们的和是，乘积是，这两个数是和， ∴方程可分解为：， ∴或， 解得，，对应选项C； 【小问2详解】 解：根据“连根一元二次方程”的定义：方程的两个根是连续自然数，且两根的乘积等于常数项56，乘积为56的连续自然数只有7和8， ∴这个方程的两个根是7和8， ∴将方程分解因式可得，展开后为，和对比，可得． 22. 闪塌嘴又称糖干炉、空心月饼，是山西省怀仁市传统小吃，起源于宋代，清代发展为地方特产．该小吃以红糖、胡麻油为原料，经手工捣制、炉膛烘烤形成中空结构，具有香、酥、脆的特点，因外实内空的口感戏称“闪塌嘴”而得名．中秋期间，某超市为满足人们节日采购与走亲访友的需求，以每盒40元的价格购进一批空心月饼，当每盒空心月饼售价为50元时，每天可售出100盒．调研发现：售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒． （1）设该款空心月饼每盒售价为元，则每天能售出________盒；（用含的代数式表示） （2）当该款空心月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； （3）当该款空心月饼每盒售价取最高价格70元时，该超市每天的利润________（填“能”或“不能”）达到1800元． 【答案】（1） （2）65元 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单盒利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单盒利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，每天能售出（盒）； 【小问2详解】 解：由题意，， 解得或， ∵售价在50元至70元的范围内， ∴， 答：当该款空心月饼每盒售价为65元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； 【小问3详解】 解：由题意，， 解得， 故该超市每天的利润能达到1800元. 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． （1）当时，求抛物线的顶点P的坐标； （2）当抛物线经过原点时，求m的值； （3）当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； （4）当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标； （2）将原点坐标代入解析式，列出一元二次方程求解即可； （3）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据顶点坐标以及正方形的性质列出不等式组，然后进行求解； （4）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标，再利用正方形的边长确定函数值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点P的坐标为； 【小问2详解】 解：当抛物线经过原点时，将代入函数解析式，得， 解得或； 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点P的坐标为， ∵四边形为正方形，且顶点的坐标为， ∴， 当抛物线的顶点P落在正方形的内部时， ， 解得； 【小问4详解】 解：当时，， 顶点坐标为，即顶点在正方形边上； 当时，， ∴抛物线与正方形边交于一点； 当时，， ∴抛物线与正方形边不相交； 当时，， 解得或， ∵， ∴， 即， ∴抛物线与正方形边交于一点； 综上，抛物线与正方形的边的交点个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级学业质量监测（一） 数学 （监测内容：第二十五至二十六章26.2） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为． ① ，即． ② ． ③ ，． ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 8. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 9. 随着智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标．已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有．若设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 12. 若点和点都在抛物线上，则________．（填“”“”或“”） 13. 已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 14. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为___________. 15. 如图，已知的长为1，以为边在的下方作正方形；取边上一点，以为边在的上方作正方形；过点作，垂足为．若正方形与四边形的面积相等，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数，请你写出其函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 19. 山西纵贯南北，果品品类丰富，是我国名副其实的果业大省．如图①，为了促进花芽分化，增加果实产量、改善果实品质，果农一般会对果树进行压枝处理．如图②是一根枝条未压枝前在平面直角坐标系中的示意图，近似呈直线生长，其中端在轴上，为，枝条经过压枝后的形状近似看作抛物线．已知压枝后该枝条的最高点与轴的距离为，与轴的距离为．请你求出枝条经过压枝后所在抛物线的解析式． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）点在该二次函数的图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 21. 先阅读下列材料，然后解决问题． 材料：因为二次三项式，所以方程可以这样解：，或．所以，． 问题： （1）关于的一元二次方程的根为________． A．， B．， C．， D．， （2）观察下列一组方程：①，②，③，④，，这些方程的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，请你求出该方程的实数根及的值． 22. 闪塌嘴又称糖干炉、空心月饼，是山西省怀仁市传统小吃，起源于宋代，清代发展为地方特产．该小吃以红糖、胡麻油为原料，经手工捣制、炉膛烘烤形成中空结构，具有香、酥、脆的特点，因外实内空的口感戏称“闪塌嘴”而得名．中秋期间，某超市为满足人们节日采购与走亲访友的需求，以每盒40元的价格购进一批空心月饼，当每盒空心月饼售价为50元时，每天可售出100盒．调研发现：售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒． （1）设该款空心月饼每盒售价为元，则每天能售出________盒；（用含的代数式表示） （2）当该款空心月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； （3）当该款空心月饼每盒售价取最高价格70元时，该超市每天的利润________（填“能”或“不能”）达到1800元． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． （1）当时，求抛物线的顶点P的坐标； （2）当抛物线经过原点时，求m的值； （3）当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； （4）当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $