山西太原市师范学院附属中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题

太原师院附中2026-2027学年第一学期10月 初三年级数学学科学情导航试题 班级：________ 姓名：________ 一、选择题（本大题共10个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程是一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为 A． B． C． D． 4．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是 … … … … A．， B．， C．， D．， 5．一元二次方程配方后，结果正确的是 A． B． C． D． 6．如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为 A． B． C． D． 7．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示．下列条件中对应序号填写错误的是 A．①平行且等于 B．② C．③ D．⑤ 8．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为 A． B． C． D． 9．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是 A． B． C． D． 10．如图，点为正方形外一点，且，连接，交于点．若，则的度数为 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题） 11．一元二次方程的根是______________ 12．“藻井垂珠实，素壁绘金图”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井，如图，是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正方形内接正八边形，已知正方形边长为2米，则正八边形的边长为__________米． 13．2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚．则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为______________． 14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为____________ 15．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为_______________． 三、解答题（本大题共7个小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程： （1）； （2）； 17．在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如图所示． 甲同学 解：原方程可化为 即， 当时，解得， 当时，解得， ，． 乙同学 解：原方程可化为， ， ， ， ，． （1）小组在交流过程中发现有一位同学做错了，则做错的是________同学（填“甲”或“乙”）； （2）根据做错的同学所使用的方法写出正确的解答过程； 18．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，则的长为____________． 19．2026年9月，在全球顶级超长越野赛“巨人之旅”中，中国运动员昼夜鏖战，最终斩获冠军．山西某户外俱乐部借此推出“迷你巨人之旅”青少年徒步营．原计划每期招收营员20人，人均收费1200元．为让更多青少年体验越野文化，俱乐部决定扩大规模：在20人的基础上，每多招1名营员，所有营员的人均收费就降低20元（但人均收费不低于800元）． （1）若每期招收营员人（），则人均收费为________元，总营收为_______元；（用含的代数式表示） （2）若该俱乐部希望每期总营收达到30000元，每期应招收多少名营员？此时人均收费是多少元？ 20．如图，菱形的对角线，交于点，过点作，且，连接 （1）求证：四边形是矩形． （2）当菱形满足_________时，四边形是正方形． 21．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法 “罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，： 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数土每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； （1）对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． （2）用罗氏解法解方程． 22．综合与探究 问题情景：数学课上，某小组对平行四边形中的折叠问题进行了探究，如图，在中，，，，点是边一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． 操作发现： （1）如图1，点恰好落在对角线上． ①请你在图1中，用尺规作出折痕，连接，； ②_______，________ （2）小组成员发现，折叠后四边形一定是菱形，请你证明这个结论； 拓展延伸： （3）连接，，如图2，当是直角三角形时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $