26.1 二次函数的概念 同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学上册 第二十六章 26.1 二次函数的概念 同步分层练习 26.1 二次函数的概念 同步分层练习 人教版 数学 九年级上册 第二十六章 二次函数 （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 班级：____________　姓名：____________　学号：____________　得分：____________ 一、基础巩固（40 分） （一）选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = − 3x + 1 C．y = D．y = − 2．若函数 y = (m − 2) + 3x − 1 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（　　） A．2　　 B．−2　　 C．±2　　 D．0 3．二次函数 y = −3 + 2x − 5 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．−3，2，−5 B．3，2，−5 C．−3，2，5 D．−3，−2，−5 4．下列关系中，具有二次函数关系的是（　　） A．正方形的周长 y 与边长 x B．速度一定时，路程 s 与时间 t C．三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D．正方形的面积 y 与边长 x 5．如图，用一段长为 24 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间用一道篱笆垂直于墙隔开。设垂直于墙的边长为 x m，菜园的面积为 y ，则 y 关于 x 的函数关系式为（　　） A．y = x(24 − x) B．y = x(24 − 2x) C．y = x(24 − 3x) D．y = x(12 − x) 6．下列说法中正确的是（　　） A．二次函数中自变量 x 的取值范围是全体实数 B．函数 y = a + bx + c 一定是二次函数 C．二次函数 y = 5 中一次项系数为 1 D．y = x(x + 1) 展开后是二次函数 y = + x （二）填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 7．若关于 x 的函数 y = (k − 1) + 2x − 3 是二次函数，则 k 的取值范围是__________。 8．把二次函数 y = (x − 2)(x + 3) 化成一般形式为__________，其中二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________。 9．一个边长为 10 cm 的正方形，若它的边长减少 x cm（0 < x < 10），则正方形的面积随之减少 y ，那么 y 关于 x 的函数解析式为__________。 10．已知二次函数 y = − 2x + 3，当 x = −1 时，y = __________；当 y = 6 时，x = __________。 （三）解答题（本大题共 2 小题，共 10 分） 11．（5 分）指出下列函数中哪些是二次函数；如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）y = 2x + 1； （2）y = 2 + 1； （3）y = x(2 − x)； （4）y = − ； （5）y = ； （6）y = (x − 1) – 1. 12．（5 分）一个矩形的周长为 20 cm，设它的一条边长为 x cm，面积为 y 。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当 x = 3 时，求矩形的面积。 二、综合运用（40 分） 13．（8 分）已知函数 y = ( − m) + (m − 1)x + m + 1（m 为常数）。 （1）当 m 为何值时，这个函数是关于 x 的一次函数？ （2）当 m 为何值时，这个函数是关于 x 的二次函数？ （3）若该函数是二次函数，且它的图象经过点 (1, 0)，求 m 的值。 14．（10 分）如图，在一块长 30 m、宽 20 m 的矩形场地上，修建两条同样宽且互相垂直的道路（分别平行于矩形的边），余下的部分作为四块草坪。设道路的宽为 x m，草坪的总面积为 y 。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并化为一般形式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当道路的宽为 2 m 时，求草坪的总面积。 15．（10 分）如图，一条隧道的截面由上部的半圆和下部的矩形组成，矩形垂直于地面的一边长为 2.5 m，半圆的直径与矩形的水平顶边重合。设上部半圆的半径为 r m，隧道截面的总面积为 S 。（π 取 3.14） （1）求 S 关于 r 的函数关系式； （2）当 r = 2 m 时，求截面的面积（结果精确到 0.1 ）； （3）若截面的总面积为 29.13 ，求半圆的半径 r。 16．（12 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售、增加盈利、尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。设每件衬衫降价 x 元，每天的销售利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并化为一般形式； （2）写出自变量 x 的取值范围（要求销售量为正，且降价后每件盈利为正）； （3）当每件衬衫降价 5 元时，每天的销售利润是多少元？ 三、拓展题（20 分） 17．（6 分）某养殖户准备用长 40 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙长 18 m）的矩形养鸡场。设平行于墙的一边长为 x m，养鸡场的面积为 y 。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当平行于墙的边长为多少时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？（可利用对称性分析，无需画图象） 18．（6 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 的四条边 AB、BC、CD、DA 上，分别取点 E、F、G、H，使 AE = BF = CG = DH = x，顺次连接 E、F、G、H，得到一个四边形 EFGH。 （1）求证：四边形 EFGH 是正方形； （2）求四边形 EFGH 的面积 S 关于 x 的函数关系式（化为一般形式）； （3）当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积为 10？ 19．（8 分）如图，边长为 10 m 的等边三角形 ABC 以 2 m/s 的速度沿直线 向边长为 10 m、∠DCE = 60° 的菱形 DCEF 平移，直到 AB 与 DC 重合。设移动 x s 时，等边三角形 ABC 与菱形 DCEF 重叠部分的面积为 y 。 （1）当 0 ≤ x ≤ 5 时，写出 y 与 x 之间的函数解析式（提示：重叠部分为小等边三角形时，面积 = · ）； （2）当 x = 3 s 时，求重叠部分的面积； （3）菱形 DCEF 的面积是多少？当重叠部分面积为菱形面积的 时，等边三角形 ABC 移动了多长时间？ 参考答案与解析 一、选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A D C D 详细解析 1．【答案】B 【解析】根据二次函数的定义——形如 y = a + bx + c（a ≠ 0，且等号右边是关于 x 的整式）的函数叫做二次函数。逐项分析： A．y = 2x + 1 是一次函数； B．y = − 3x + 1 符合一般形式，a = 1 ≠ 0，是二次函数； C．y = 的分母中含有自变量 x，不是整式函数，故不是二次函数； D．展开后 y = − = − 2x + 1 − = −2x + 1，最高次项为一次，不是二次函数。故选 B。 【易错提醒】判断二次函数必须先化简，防止展开后二次项被抵消；还要留意分母含自变量的情形不属于整式函数。 2．【答案】B 【解析】由二次函数定义知，必须同时满足：①最高次数为 2，即 − 2 = 2；②最高次项的系数不为 0，即 m − 2 ≠ 0。 − 2 = 2，得 = 4，所以 m = ±2；由 m − 2 ≠ 0 得 m ≠ 2。因此 m = −2。故选 B。 【易错提醒】不要只看最高次数等于 2 就断定 m = ±2；必须再检查最高次项（二次项）的系数不为 0。 3．【答案】A 【解析】对照一般形式 y = a + bx + c，二次项系数 a = −3，一次项系数 b = 2，常数项 c = −5。故选 A。注意：系数要连同它前面的符号一起写出。 4．【答案】D 【解析】逐项分析： A．周长 y = 4x，是一次函数； B．s = vt（v 为常数），是一次函数； C．y = ·h·x（h 为常数），是一次函数； D．面积 y = ，是二次函数。故选 D。 5．【答案】C 【解析】垂直于墙的边长为 x m，共有三道垂直于墙的篱笆（两端各一道，中间隔开一道），这三道篱笆总长度为 3x，所以平行于墙的那一道篱笆长为 24 − 3x。矩形面积 y = 底 × 高 = x(24 − 3x)，自变量范围 0 < x < 8。故选 C。 6．【答案】D 【解析】 A 错：实际问题中的二次函数自变量取值范围需根据实际意义确定（如长度为正），不一定是全体实数； B 错：必须说明 a ≠ 0，y = a + bx + c 才是二次函数； C 错：y = 5 的一次项系数为 0； D 对：展开 y = x(x + 1) = + x，是二次函数。故选 D。 7．【答案】k ≠ 1 【解析】由二次函数定义，二次项系数 k − 1 ≠ 0，即 k ≠ 1。 8．【答案】y = + x − 6；1；1；−6 【解析】展开：y = (x − 2)(x + 3) = + 3x − 2x − 6 = + x − 6。所以二次项系数为 1，一次项系数为 1，常数项为 −6。 9．【答案】y = − + 20x（0 < x < 10） 【解析】原面积 = 10² = 100 ，新边长 = (10 − x) cm，新面积 = ，所以减少的面积 y = 100 − = 100 − (100 − 20x + ) = − + 20x。自变量范围 0 < x < 10。 10．【答案】6；3 或 −1 【解析】当 x = −1 时，y = − 2×(−1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6；当 y = 6 时， − 2x + 3 = 6，即 − 2x − 3 = 0，因式分解 (x − 3)(x + 1) = 0，得 x = 3 或 x = −1。 11．【答案】见解析 【解析】 （1）y = 2x + 1 是一次函数，不是二次函数； （2）y = 2 + 1 是二次函数，二次项系数 2，一次项系数 0，常数项 1； （3）y = x(2 − x) = 2x − = − + 2x，是二次函数，二次项系数 −1，一次项系数 2，常数项 0； （4）y = − = ( − 2x + 1) − = − x + − = − x − 2，是二次函数，二次项系数 ，一次项系数 −1，常数项 −2； （5）y = 分母含自变量 x，是分式函数，不是二次函数； （6）y = (x − 1) − 1 = − − 1，最高次项为三次，不是二次函数。 12．【答案】（1）y = − + 10x；（2）0 < x < 10；（3）21 【解析】 （1）矩形周长为 20 cm，一边长为 x cm，则相邻的另一边长为 (20 − 2x)÷2 = 10 − x cm，所以面积 y = x(10 − x) = −x² + 10x； （2）由边长为正，得 x > 0 且 10 − x > 0，故 0 < x < 10； （3）当 x = 3 时，y = − + 10×3 = −9 + 30 = 21（）。 13．【答案】（1）m = 0；（2）m ≠ 0 且 m ≠ 1；（3）m = −1 【解析】 （1）要为一次函数，需二次项系数为 0 且一次项系数不为 0： − m = 0 且 m − 1 ≠ 0。由 − m = 0 得 m(m − 1) = 0，即 m = 0 或 m = 1；又 m − 1 ≠ 0，即 m ≠ 1。故 m = 0。 （2）要为二次函数，需二次项系数不为 0： − m ≠ 0，即 m(m − 1) ≠ 0，所以 m ≠ 0 且 m ≠ 1。 （3）将 x = 1，y = 0 代入函数解析式：0 = ( − m)·1 + (m − 1)·1 + m + 1，化简得 0 = − m + m − 1 + m + 1，即 + m = 0，m(m + 1) = 0，解得 m = 0 或 m = −1。又因为该函数是二次函数，需二次项系数 − m ≠ 0，即 m ≠ 0 且 m ≠ 1，故 m = −1。 14．【答案】（1）y = − 50x + 600；（2）0 < x < 20；（3）504 【解析】 （1）将四块草坪通过平移拼成一个新矩形：长 = 30 − x，宽 = 20 − x，所以草坪面积 y = (30 − x)(20 − x) = 600 − 50x + x² = x² − 50x + 600； （2）由道路宽度为正且小于矩形边长，得 0 < x < 20； （3）当 x = 2 时，y = 4 − 100 + 600 = 504（）。 15．【答案】（1）S = 1.57 + 5r；（2）16.3 ；（3）r = 3 m 【解析】 （1）半圆的面积 = π ≈ × 3.14 × = 1.57；矩形的水平边长等于半圆的直径 2r，垂直于地面的边长为 2.5 m，所以矩形面积 = 2r × 2.5 = 5r。因此隧道截面面积 S = 1.57 + 5r； （2）当 r = 2 时，S = 1.57 × 4 + 5 × 2 = 6.28 + 10 = 16.28 ≈ 16.3（）； （3）由 S = 29.13 得 1.57 + 5r = 29.13，整理得 157 + 500r − 2913 = 0。试根 r = 3：157 × 9 + 500 × 3 − 2913 = 1413 + 1500 − 2913 = 0，所以 r = 3（负根舍去）。 16．【答案】（1）y = −2 + 60x + 800；（2）0 ≤ x < 40；（3）1050 元 【解析】 （1）降价 x 元后，每件盈利 (40 − x) 元，每天可售出 (20 + 2x) 件，所以利润 y = (40 − x)(20 + 2x) = 800 + 80x − 20x − 2x² = −2x² + 60x + 800； （2）由 40 − x > 0 且 20 + 2x > 0，得 x < 40 且 x > −10，结合 x ≥ 0，故 0 ≤ x < 40； （3）当 x = 5 时，y = −2×25 + 60×5 + 800 = −50 + 300 + 800 = 1050（元）。 17．【答案】（1）y = − + 20x；（2）0 < x ≤ 18；（3）当 x = 18 时，面积最大为 198 【解析】 （1）平行于墙的一边长为 x m，则垂直于墙的两边总长为 40 − x，每边长为 (40 − x)÷2 = 20 − x，所以面积 y = x(20 − x) = − + 20x； （2）由墙长 18 m 及边长为正：0 < x ≤ 18； （3）函数 y = − + 20x 的图象开口向下，对称轴为 x = 20（可将其配方：y = − + 200）。由于 x ≤ 18 在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大，所以当 x = 18 时面积最大，y = −×324 + 360 = −162 + 360 = 198（）。 18．【答案】（1）见解析；（2）S = 2 − 8x + 16；（3）x = 1 或 x = 3 【解析】 （1）证明：由 AE = BF = CG = DH = x，正方形 ABCD 边长为 4，得 BE = CF = DG = AH = 4 − x。在△AEH、△BFE、△CGF、△DHG 中：AE = BF = CG = DH，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AH = BE = CF = DG，所以四个直角三角形全等（SAS），得 EH = FE = GF = HG，即四边形 EFGH 是菱形；又由△AEH≌△BFE 得∠AEH = ∠BFE，而∠BFE + ∠BEF = 90°，所以∠AEH + ∠BEF = 90°，即∠HEF = 90°。因此四边形 EFGH 是正方形。 （2）四个角上的三角形面积之和 = 4×·x·(4 − x) = 2x(4 − x) = 8x − 2，大正方形面积 = 16，所以 S = 16 − (8x − 2) = 2 − 8x + 16； （3）令 2 − 8x + 16 = 10，即 2 − 8x + 6 = 0， − 4x + 3 = 0，(x − 1)(x − 3) = 0，得 x = 1 或 x = 3，均满足 0 < x < 4。 19．【答案】（1）y = ；（2）9 ；（3）菱形面积 = 50 ，移动时间 3 s 【解析】 （1）等边三角形以 2 m/s 的速度向右平移，x s 后向右移动了 2x m。当 0 ≤ x ≤ 5 时，三角形尚未完全进入菱形，重叠部分是一个顶点在菱形边界上的小等边三角形，其边长等于三角形进入菱形的水平距离 2x。由等边三角形面积公式 S = (√3/4)·a²，得重叠面积 y = (√3/4)·(2x)² = (√3/4)·4x² = √3 x²。 （2）当 x = 3 时，y = × = 9（）； （3）菱形 DCEF 边长为 10 m，有一个内角为 60°，其面积 = 2 个边长为 10 m 的等边三角形面积之和 = 2×× = 2××100 = 50（）。当重叠部分面积为菱形面积的 时，y = × 50 = 9 。令 = 9，两边同除以 得 = 9，所以 x = 3 s（x = −3 舍去）。此时 x = 3 < 5，满足 0 ≤ x ≤ 5，故移动时间为 3 s。 1 学科网（北京）股份有限公司 $