26.1二次函数的概念同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.1 二次函数的概念 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y = 2x - 1　　B．y = x² - 3x + 1 C．y = x³ + 1　　D．y = 1/x² + 2 2．二次函数 y = -2x² + 3x - 5 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．-2，3，-5　　B．2，3，-5 C．-2，-3，-5　　D．-2，3，5 3．如图，一个正方形的边长为 x cm，把它的边长增加 2 cm 后，得到一个新正方形，设新正方形的面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式是（　　） A．y = x² + 4x + 4　　B．y = x² + 4 C．y = 4x + 4　　D．y = x² + 2 4．若函数 y = (m - 1)x² + 2x - 3 是关于 x 的二次函数，则 m 满足（　　） A．m = 1　　B．m ≠ 1　　C．m > 1　　D．m ≠ 0 5．如图，用总长 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园（墙这一边不用篱笆），设垂直于墙的一边长为 x m，矩形花园的面积为 S m²，则 S 与 x 的函数关系式是（　　） A．S = x(20 - 2x)　　B．S = x(20 - x) C．S = 2x(20 - x)　　D．S = x(10 - x) 6．下列函数中，化简后不是二次函数的是（　　） A．y = (x - 1)(x + 2)　　B．y = (x + 1)² - x² C．y = -3x² + 5　　D．y = x(x - 4) + 2 7．已知函数 y = (m + 2)x^(m² - 2) + 3x - 1 是关于 x 的二次函数，则 m 的值是（　　） A．2　　B．-2　　C．±2　　D．0 8．如图，一个长方形的长为 5 cm、宽为 4 cm，把它的长和宽都减去 x cm，剩下的小长方形的面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式是（　　） A．y = x² - 9x + 20　　B．y = 20 - x² C．y = x² + 9x + 20　　D．y = 20 - 9x 9．某种商品的原价为 100 元，由于市场原因连续两次降价，每次降价的百分率都是 x，两次降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式是（　　） A．y = 100(1 - 2x)　　B．y = 100(1 - x)² C．y = 100 - x²　　D．y = 100(1 + x)² 10．关于函数 y = ax² + bx + c，下列说法正确的是（　　） A．它一定是二次函数 B．当 a = 0 时，它是一次函数 C．当 a ≠ 0 时，它是二次函数 D．b、c 都不能为 0 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） 11．下列函数中，是二次函数的有（　　） A．y = 3x² - 2x B．y = (x - 1)² - x² C．y = -x² D．y = 2/x² + 1 12．如图，用总长 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃（墙这一边不用篱笆），设垂直于墙的一边长为 x m，苗圃的面积为 S m²。下列结论正确的有（　　） A．S = x(20 - 2x) B．S 是 x 的二次函数 C．自变量 x 的取值范围是 0 < x < 10 D．当 x = 5 时，S 取得最大值 13．下列各变量之间的关系中，属于二次函数关系的有（　　） A．正方形的面积 S 与它的边长 a B．圆的周长 C 与它的半径 r C．正方体的表面积 S 与它的棱长 a D．速度一定时，路程 s 与时间 t 14．如图，圆柱的底面半径为 r，高为 h（h 为定值）。下列结论正确的有（　　） A．圆柱的侧面积 S = 2πrh B．当 h 一定时，侧面积 S 是 r 的一次函数 C．当 r 一定时，侧面积 S 是 h 的一次函数 D．圆柱的侧面积 S 是 r 的二次函数 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，动点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时动点 Q 从点 C 出发沿 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动。设运动时间为 t s，△CPQ 的面积为 S。下列结论正确的有（　　） A．CP = 2t，CQ = t B．S = t² C．S 与 t 之间是一次函数关系 D．S 是 t 的二次函数 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．若函数 y = (k - 3)x² + x - 1 是关于 x 的二次函数，则 k 满足的条件是 ＿＿＿＿。 17．二次函数 y = 3x² - 2x + 1 的二次项系数是 ＿＿＿＿，常数项是 ＿＿＿＿。 18．如图，在一个半径为 5 cm 的圆中挖去一个半径为 x cm 的小圆，剩下圆环的面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式是 ＿＿＿＿（结果保留 π）。 19．如图，用一根长 20 cm 的铁丝折成一个长方形（铁丝全部用完），设这个长方形的宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式是 ＿＿＿＿。 20．如图，在一个长 200 m、宽 80 m 的矩形广场内，修建两条等宽的十字形道路，道路的宽为 x m，绿地的面积为 y m²，则 y 与 x 的函数关系式是 ＿＿＿＿。 四、简答题（第 21~22 题，每小题 10 分，共 20 分） 21．如图，一个长方形的长为 8 cm、宽为 6 cm，把它的长和宽都减去 x cm，剩下的小长方形的面积为 y cm²。 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并化成一般形式； （2）写出自变量 x 的取值范围，并求当 x = 1 时小长方形的面积。 22．如图，某农场要用总长 24 m 的栅栏围成三间大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（墙足够长，这一边不用栅栏），设垂直于墙的一边长为 x m。 （1）用含 x 的代数式表示每间羊圈平行于墙的一边长，并求三间羊圈的总面积 S 与 x 的函数关系式； （2）求当 x = 2 时三间羊圈的总面积。 五、材料分析题（第 23~24 题，每小题 10 分，共 20 分） 23．材料：在实际问题中，增长率问题与销售利润问题常常可以列出二次函数关系式。增长率问题的一般模型是：若初始量为 a，平均增长率为 x，则经过两次增长后的量为 a(1 + x)²；销售利润问题的一般模型是：总利润 = 每件利润 × 销售数量。 （1）某厂 10 月份生产零件 500 万个，设 11、12 两个月的月平均增长率为 x，12 月份生产零件 y 万个，求 y 与 x 的函数关系式； （2）某商店销售一种商品，每件进价为 40 元，售价为 x 元时每天可卖出 (100 - x) 件，设每天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式，并说明 w 是否为 x 的二次函数。 24．材料：用二次函数解决几何问题时，关键是把面积（或长度）用含自变量的代数式表示出来，再依据几何关系列出函数关系式。 如图，一个直角三角形的两条直角边长之和为 15 cm，设其中一条直角边长为 x cm，这个直角三角形的面积为 S cm²。 （1）用含 x 的代数式表示另一条直角边的长，并求 S 与 x 的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围，并说明 S 是 x 的二次函数。 《26.1 二次函数的概念 同步练习》参考答案与评分标准 （人教版·数学九年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　【解析】A 是一次函数，C 中自变量的最高次数是 3，D 中自变量在分母上，都不是二次函数。 2．A　【解析】二次项系数是 -2，一次项系数是 3，常数项是 -5。 3．A　【解析】新正方形的边长为 (x + 2) cm， 　　　 ∴ y = (x + 2)² = x² + 4x + 4，是二次函数。 4．B　【解析】二次函数要求二次项系数不为 0，即 m - 1 ≠ 0，∴ m ≠ 1。 5．A　【解析】垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (20 - 2x) m， 　　　 ∴ S = x(20 - 2x) = -2x² + 20x。 6．B　【解析】B 化简得 y = 2x + 1，是一次函数；其余三项化简后都含二次项且二次项系数不为 0。 7．A　【解析】由二次函数的定义得 m² - 2 = 2 且 m + 2 ≠ 0， 　　　 解得 m = ±2 且 m ≠ -2，∴ m = 2。 8．A　【解析】小长方形的长为 (5 - x) cm、宽为 (4 - x) cm， 　　　 ∴ y = (5 - x)(4 - x) = x² - 9x + 20。 9．B　【解析】第一次降价后为 100(1 - x) 元，第二次降价后为 100(1 - x)² 元。 10．C　【解析】只有 a ≠ 0 时它才是二次函数；a = 0 且 b ≠ 0 时是一次函数，若 a = b = 0 则是常数函数，故 A、B、D 都不正确。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．AC　【解析】B 化简得 y = -2x + 1，是一次函数；D 中自变量在分母上，不是整式。 12．ABCD　【解析】平行于墙的一边长为 (20 - 2x) m，S = x(20 - 2x) = -2x² + 20x，是关于 x 的二次函数；由 x > 0 且 20 - 2x > 0 得 0 < x < 10；抛物线的对称轴为 x = 5，当 x = 5 时 S 取得最大值 50。 13．AC　【解析】A 中 S = a²，C 中 S = 6a²，都是二次函数关系；B 中 C = 2πr、D 中 s = vt 都是一次函数关系。 14．ABC　【解析】圆柱的侧面积 S = 2πrh，是关于 r（或 h）的一次函数，不是二次函数，故 D 错误。 15．ABD　【解析】t s 后 CP = 2t，CQ = t， 　　　 ∴ S = ½ × 2t × t = t²，是 t 的二次函数，故 C 错误。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．k ≠ 3　【解析】二次项系数 k - 3 ≠ 0。 17．3；1 18．y = 25π - πx²　【解析】y = π × 5² - πx² = 25π - πx²。 19．y = x(10 - x)　【解析】宽为 x cm，则长为 (10 - x) cm，∴ y = x(10 - x) = -x² + 10x。 20．y = x² - 280x + 16000　【解析】绿地面积 = 广场面积 - 两条道路面积 + 交叉部分面积， 　　　 y = 200 × 80 - 200x - 80x + x² = x² - 280x + 16000。 四、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 21．（1）小长方形的长为 (8 - x) cm、宽为 (6 - x) cm， 　　　 ∴ y = (8 - x)(6 - x) = x² - 14x + 48。　　　　　　　　　（5 分） 　 （2）由 8 - x > 0 且 6 - x > 0，得自变量 x 的取值范围是 0 < x < 6。 　　　 当 x = 1 时，y = (8 - 1)(6 - 1) = 7 × 5 = 35， 　　　 ∴ 小长方形的面积为 35 cm²。　　　　　　　　　　　　（5 分） 22．（1）三间羊圈共需 4 条垂直于墙的栅栏和 1 条平行于墙的栅栏。 　　　 平行于墙的栅栏总长为 (24 - 4x) m， 　　　 ∴ 每间羊圈平行于墙的一边长为 6 - x（m）。 　　　 ∴ S = 3 × x × (6 - x) = -3x² + 18x。　　　　　　　　（5 分） 　 （2）当 x = 2 时，S = 3 × 2 × (6 - 2) = 3 × 2 × 4 = 24， 　　　 ∴ 三间羊圈的总面积为 24 m²。　　　　　　　　　　　（5 分） 五、材料分析题（每小题 10 分，共 20 分） 23．（1）11 月份生产零件 500(1 + x) 万个， 　　　 ∴ 12 月份生产零件 y = 500(1 + x)² 万个。　　　　　　（5 分） 　 （2）每件利润为 (x - 40) 元，每天卖出 (100 - x) 件， 　　　 ∴ w = (x - 40)(100 - x) = -x² + 140x - 4000。 　　　 ∵ 二次项系数为 -1 ≠ 0，且右边是整式， 　　　 ∴ w 是 x 的二次函数。　　　　　　　　　　　　　　　（5 分） 24．（1）另一条直角边长为 (15 - x) cm， 　　　 ∴ S = ½ · x · (15 - x) = -½x² + 7.5x。　　　　　　　（5 分） 　 （2）由 x > 0 且 15 - x > 0，得自变量 x 的取值范围是 0 < x < 15。 　　　 ∵ S = -½x² + 7.5x 中二次项系数为 -½ ≠ 0，且右边是关于 x 的整式， 　　　 ∴ S 是 x 的二次函数。　　　　　　　　　　　　　　　（5 分） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $