第26章 专题04 二次函数与几何综合【压轴题】 2026--2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题04 二次函数与几何综合【压轴题】（解析）
一、通用解题步骤
1、步骤：
（1）定基础：求抛物线解析式、对称轴、顶点、与坐标轴交点、定点坐标
（2）标动点：动点在哪条线上运动（抛物线、x轴、对称轴、定直线）
（3）设动点坐标：在抛物线上；在水平或竖直定直线：直接固定横坐标或纵坐标（注意：自变量范围必须标注好）
（4）确定几何条件：将最值问题、面积问题、特殊图形的数量关系，转化成边长、面积等数量关系
（5）列方程：根据等量关系列方程求解
（6）检验取舍：解出来的横坐标，是否在动点允许的范围之内；检验点是否满足原始几何条件（排除增根）；排除三点共线：共线无法构成三角形、四边形，直接舍去
二、核心题型模型
（一）线段、周长、面积问题
1、轴对称线段和最短问题：
将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。
两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。
两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。
2、面积最值问题：
三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。
（1）二次函数最值的概念
当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。
（2）配方法求最值
将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。
（3）公式法求最值
直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
（二）特殊图形存在性问题：
等腰三角形：分三种情况进行讨论；直角三角形：勾股定理或垂直斜率乘积为-1；平行四边形：平行四边形的判定；正方形、菱形：在平行四边形的基础上，加条件证明。
1、二次函数中特殊三角形存在性问题
（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。
（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。
2、二次函数中平行四边形存在性问题
一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。
3、二次函数中特殊平行四边形存在性问题
菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。
4、二次函数中线段、角度问题的存在性问题
线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度最值问题，有时会涉及锐角三角函数，角度最值问题有时还会涉及圆，本专题题目不涉及圆和相似
【题型训练】（一）线段、周长、面积问题
【题型一】线段和、差、周长问题
1.铅垂线段最值构造二次函数，依靠对称轴求最值；
2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点；
3.最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值；
4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。
将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。
两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。
两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。
【例题1】(线段和)（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用．
（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；
（2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，，
将点，代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示，连接，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴．
．
∴当，，三点共线时，的值最小．
在中，当时，，
∴．
【变式1】(线段和)如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
【答案】(1)A点坐标为，B点坐标为；
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点代入解析式即可求得函数解析；再令，求出x的值并结合函数图象即可确定A、B的坐标；
（2）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，如图：连接，交对称轴于点P，根据两点之间，线段最短可得点P即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得：；
∴．
令，则，解得：，
∴A点坐标为，B点坐标为；
（2）解：由抛物线的对称轴为直线，
如图：点B关于抛物线的对称轴的对称点是点A，连接，交对称轴于点P，
∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，则点P即为所求；
设直线的关系式为：，
把代入，
得：，解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴P点坐标为．
【例题2】(周长)（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求直线与抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为
(2)存在，点的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线和抛物线的解析式；
（2）根据对称性先确定的周长最小点的位置，即可得出坐标；
【详解】（1）解：设直线的解析式为．
将点，代入得：
，解得，
直线的解析式为；
抛物线的图象与轴的一个交点为，与轴交于点，对称轴为直线，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：的周长为，其中为定值，只需最小．
点、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，最小，此时点为直线与对称轴的交点，如图所示．
将代入直线的解析式为中得，，
点的坐标为，
即存在点，使得的周长最小，点的坐标为；
【变式2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点．
（1）求m、n的值.
（2）当的周长最小时，求．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．，
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，，
∴
解得
（2）如图所示，连接，
由对称性可得，
∴的周长，
∵是定值，
∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
设直线的表达式为，
∴
解得，
直线的表达式为．
抛物线的表达式为，
此抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
∴的周长有最小值时，点Q的坐标为，
∴此时
∵，
当的周长最小时，，
故答案为：．
【例题3】(线段差) 已知抛物线经过和两点，其顶点为D．
(1)如图，当时，求抛物线的解析式．
(2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点求出．
（2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到、的距离相等，将转化为，利用三角形两边之差小于第三边，当、、三点共线时取得最大值，求出直线与对称轴的交点即可．
【详解】（1）解：抛物线经过和，
设抛物线的解析式为，
，即抛物线过点，
，
，
．
（2）解：点在轴正半轴上，且到原点的距离为，
，
抛物线经过和，
对称轴为直线，
点为抛物线的顶点，且在对称轴直线上，
又对称轴直线是线段的垂直平分线，
对称轴上的任意一点到、两点的距离相等，即，
，
在中，，
当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
点在对称轴上，
，
．
【变式3】2026·江苏宿迁·二模）抛物线经过点、、，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线对称轴上一动点，求当取最大值时，点的坐标；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据点B坐标，点C坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）连接，并延长交对称轴直线于点M，因为，所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可；
【详解】（1）解：抛物线经过点、、，且，．
，
解得，
故抛物线解析式为；
（2）解：因为抛物线解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
令，得，
解得，，
故，
连接，并延长交对称轴直线于点M，
因为，
所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为，
故当点D与点M重合时，取得最大值，
设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
当时，，
此时，
故点的坐标为；
【题型二】铅锤法求线段最值、三角形面积最值
1.灵活选用、、三种抛物线解析式；
2.抛物线上动点统一设为；
3.水平线段长，竖直线段长，任意两点距离用，比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。
4.三角形通用铅垂高面积公式，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或拆分多个规则图形面积；
5.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超出图像范围的无效解。
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
【答案】(1) (2) (3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为
【详解】（1）解：把点，代入，得：
解得：抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为，
把，代入，得：
解得直线的表达式为．
点的横坐标为，
，
（3）如图
点，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，则时有最大值
此时
当取最大值时，点的坐标为，的最大值为．
【变式1-1】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，求的最大值．
【答案】
【详解】解：令，即，
解得：，
∴点，
将，代入，得，
∴点，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，∴直线的函数表达式为；
设点，则点，
∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方，
∴，
∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，
设的解析式为：，
∵,，
所以，
解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵，
∴ ，
解得：（舍） 或，
∴.
【例题2】（面积最大值）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形面积的取值范围；
(3)若的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】(1) (2) (3)的最大值为
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则点，
将，，代入抛物线解析式，
得，
解得，
则抛物线的表达式为；
（2）解：将代入直线，
得，
，
则直线的表达式为，
如图，过点作轴交于点，
设点（），则点，
，
，
，
，
，
，对称轴为，
又，
当或时，，
，
四边形面积的取值范围是；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【变式2-1】（面积最大值）如图，已知抛物线过点，点．
（1）求该抛物线的顶点坐标．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，求面积的最大值．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
【变式2-2】（2026·河南·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)直线为抛物线的对称轴．
①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解；
（2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标；
②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值．
【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点，
∴点是直线与轴的交点，
令，则，
解得，
∴，
∵点在抛物线的图象上，
令，则，
∴6和是的两个根，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线的表达式为．
（2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值，
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时的周长最小，
由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为，
把代入得，，
∴．
②联立，
解得或，
∴点坐标为，
设点的坐标为，过点作轴，交于点，则
∴
，
∴当时，取得最大值，
∴面积最大值，
∴四边形面积的最大值．
【题型三】面积倍数关系问题
【例题】(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，抛物线．
(1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点．
(2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足．
①求的值．
②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)说明见解析
(2)①；②存在，点的坐标为或
【分析】（）把代入函数解析式得，即可说明；
（）①由题意可知，，可得，即可求出点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，可得，把代入求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求得直线的表达式，最后联立函数解析式即可求解；
本题考查了待定系数法，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
∴无论为何值，抛物线必经过定点；
（2）解：①由题意，知，，
∵抛物线必经过定点
∴，
∵，
∴，
解方程，得（舍去），，
∴点的坐标是，
把点代入，得，
解得；
②∵，
∴抛物线的解析式是．
如图，在轴上取点，使得，过点作交抛物线于点，
则，
∵点的坐标是，
∴点的坐标是．
把代入，得，
∴点的坐标是，
设直线的解析式是．
则，
解得，
∴直线的解析式是，
设直线的解析式是，
把点代入，得，
∴直线的解析式是
联立函数式得，
解得或，
∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或．
【变式1】(23-24九上·广东广州越秀区第二中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)点为轴右侧抛物线上的一点，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)或或．
【分析】（1）分别令，解方程，即可求解；
（2）设，根据建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，则，
当，即
解得：
∴，，
（2）存在点D，使．
∵，，
∴，
设（x＞0），
即
当时，解得：，，此时或；
当时，解得：（舍去），，此时．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在抛物线图像上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形的面积与面积相等．若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）连接、，作于点D，证明，根据全等三角形的性质，结合图形即可求解；
（3）设点Q的坐标为，根据得，推出，分和两种情况，解方程求出q即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
，
即抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接、，作于点D，
抛物线的对称轴l为直线，
，
点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
，
设点Q的坐标为，
，
，
，
，
当时，，
解得，，
点Q的坐标为或；
当时，，
解得，（与点C重合，不合题意），
点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解第二问的关键是添加辅助线构造全等三角形，解第三问的关系是注意分情况讨论．
【题型训练】（二）特殊图形存在性问题
【题型四】特殊三角形问题
1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理结合线段平方列式；
2.等腰三角形分三类，借助两点距离平方公式列式，可联立线段垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。
【例题】（等腰三角形）(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或．
【变式1】（直角三角形）（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将点、代入计算即可得；
（2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，将用含的式子表示出来，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）设点的坐标为，先求出，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：将点、代入得：，
解得，
所以此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，最大，最大值为，
，
所以当最大时，点的坐标为．
（3）解：二次函数的对称轴为直线，
则可设点的坐标为，
所以，，，
①当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得或，
所以此时点的坐标为或；
②当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
③当时，以点为顶点的三角形为直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【变式2】（等腰直角三角形）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)的面积的最大值为8，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线经过点、，
，
解得
抛物线的解析式为，
（2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点．
，
解得，，
把代入，得，
点D的坐标为，
如图1，过点P作轴，交于点E，
则，，
，
点B的坐标是
，
当时，的面积的最大值为8，
此时．
（3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，
轴于H，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）知，
点H的坐标为，
由（1）可知，
，，
，
或，
即或，
当时，
解得或（舍去），
此时；
当时，
解得或（舍去），
此时，
综上，点P的坐标为或．
【变式3】（等腰三角形）(23-24九上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标和的度数；
(3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为；
(3)或或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）联立二次函数与一次函数组成方程组，求解即可解决问题；
（3）分为腰和底时讨论求解即可
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
故；
（2）解：由（1）得抛物线表达式为，直线的解析式为，
联立方程组得：，
解得或，
∴点的坐标为；
过点B作轴于点E，则
∴
∴．
（3）解：∵
∴，
如图，
若是等腰三角形，
当为腰时，
∵ ，
∴，
∴；
又，且
∴，
∴；
又的垂直平分线交轴于点,
∵
∴
∴,
∴，
∴
∴；
∵
∴轴，
当时，，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
【变式4】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为；
（3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可．
【详解】（1）解：将点，点代入得：
解得
因此，抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D，
将代入得，
则点，
设直线的解析式为，
将、代入得
，
解得，
则直线的解析式为，
设，，
则，
因此，
当时，有最大值，最大值为；
（3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下：
延长交x轴于点H，如图：
，
，
，
，
，
轴、轴，
，
若为等腰直角三角形，则，
由（2）知，设，，且，则，
抛物线的对称轴为直线，
或，
或，
解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去），
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【题型五】特殊平行四边形问题
1.平行四边形核心使用中点公式，分三条线段分别作对角线分类计算动点；
2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、邻边相等双重条件。
【例题】（平行四边形）(24-25九上·广东东莞·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．
(1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
(2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
(3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【详解】（1）解：令，得
，
解得或，
∴，
将C点的横坐标代入得
，
∴，
∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的函数解析式是；
（2）设P点的横坐标为，
则P、E的坐标分别为，，
∵P点在E点的上方，
∴，
由，对称轴，抛物线开口向下，
∴当时，PE的最大值为；
（3）(3)存在4个这样的点F，分别是，．
①如图1，
连接C与抛物线和y轴的交点，
∴轴，
∴，，
∴F点的坐标是；
②如图2，
，A点的坐标为，
∴F点的坐标为；
③如图3，
此时C，G两点的纵坐标互为相反数，
∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得
，
解得（不符合题意，舍去），
∴G点的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴直线与x轴的交点F的坐标为；
④如图4，
同③可求出F的坐标为，
∴符合条件的F点共有4个，为，，．
【变式1】（菱形）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)存在，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题．
（1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出．
（2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得．
【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入中，得：
，
解得：；
∴抛物线：．
（2）解：存在．理由如下：
作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则．
∵沿翻折，得到四边形，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
∵，
∴点E的坐标为，
∴点P的纵坐标为，
把代入得，解得．
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴，
∴满足条件的点P的坐标为．
【变式2】（矩形）（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标；
(3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或；
(3)或．
【分析】（1）已知抛物线过原点和点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于系数、的方程，求解即可得到解析式．
（2）先求出直线的解析式，设点横坐标为，由轴可知点横坐标也为，分别表示两点纵坐标，根据列方程，结合在线段上的条件确定的值，从而得到点坐标．
（3）先求点坐标，再根据矩形的性质（对角线相等且互相平分、邻边垂直），分2种情况（为对角线、为对角线），利用中点坐标公式和勾股定理列方程求解，得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过原点，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵直线过，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
即，
当时，，
解得或，
∴或，
当时，，
解得（舍去）或，
∴，
综上，点M的坐标为或或；
（3）解：联立，
解得或，
∴，
情况1：当为对角线时，
设，，
∵矩形对角线互相平分，
∴，，
∵，
由勾股定理：，
，
代入，
解得，，或，，（舍去），
∴，
∴，
情况2：当为对角线时，
设，，
∵矩形对角线互相平分，
∴，，
∵，
由勾股定理：，
，
代入，
解得，，或，(舍去)，
∴，，
∴，
综上，的坐标为或．
【变式3】（正方形）（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为；
(3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或．
【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式；
（2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值；
（3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，
∴，
解得，
∴．
（2）解：在中，令，得，
∴，
设，
∵点在直线上方，，，
∴，，
作轴于点，则，，
用割补法求面积：
∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积，
梯形的面积，
的面积，
的面积，
∴面积
，
∵，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
如图，四边形为正方形，则，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
如图，四边形为正方形，点在上方，
连接，，交于点，则，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
如图，四边形是正方形，点在下方，
连接，，交于点，则，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为或或．
【变式4】（【平行四边形）(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，或或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，
即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，
此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：
∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
【变式5】（菱形）（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，；
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质．
（1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可；
（2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果；
（3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，，当时，，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
又∵对称轴是直线：，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
解得：，，
∴点B的坐标为，
又∵点，点，
∴，，，
过D作轴于E，交于E，
∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m，
，
，
，
，
，
，
当时，S有最大值，，
当时，
；
（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P的坐标为：，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
∴，与互相垂直平分，
设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，
∵点，
∴，，，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
设点K的坐标为，
∵点K为的中点，
∴，，
设点Q的坐标为，
∵点K为的中点，
∴，，
解得：，，
∴点Q的坐标为．
【题型六】角度问题
1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例列式；2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转化为线段长度关系再结合函数计算。
【例题】(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的长度；
(3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标．
【答案】(1)，或
(2)6
(3)满足题意的点的坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求解抛物线解析式，根据抛物线对称性质求解，两点之间的距离等知识．
（1）利用待定系数法求解抛物线解析式即可．
（2）根据二次函数的对称性质得出点坐标为，再根据两点之间的距离公式求解即可．
（3）作关于直线对称的轴对称图形，根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为，点与点重合，点与点重合，，故点为抛物线上满足题意的点，坐标为．
取点关于轴的对称点，坐标为，求出解析式，再联立抛物线解析式则进一步即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意，点在抛物线上，
代入得，
解得，
抛物线解析式为：
，或
（2）解：抛物线对称轴为直线，点、点关于对称轴对称，
，，
∴点坐标为，
∴．
（3）解：抛物线为轴对称图形，对称轴为直线；
令，得，点坐标为；
点、点、点在抛物线上，作关于直线对称的轴对称图形，
根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为，
点与点重合，点与点重合，，
故点为抛物线上满足题意的点，坐标为．
取点关于轴的对称点，坐标为，
则，
设解析式为，
则
解得：
则直线解析式为，
与抛物线联立：
得，
解得，（与重合，舍去）
令，得，
点也是符合题意的点；
综上，满足题意的点的坐标为或．
【变式1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解；
（3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，得，
∴点，
设直线的解析式为：，
∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为，
如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴当时，点M的坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为，顶点为D，
∴点D的坐标为，
分两种情况讨论：
①当为菱形的边时，
如图2，
∵，，
∴，
∴，
∴Q点的坐标为或；
②当为菱形的对角线时，
如图3，
设点，，
∵，
，
解得：
∴点的坐标为
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键．
【变式2】在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点和点．与y轴交于点C，D是线段上一点．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求D的坐标；
(3)点P为该抛物线上第一象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，则，运用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于点E，求得点E的坐标，由知，由此可列出关于m的方程，求出m的值即可；
（3）利用求出，利用求出，直线的表达式，设点，由求出，得点，求出直线的表达式，联立方程组，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的图象与x轴交于点和点，
把点和点代入得，
，
解得，，
所以，设抛物线的表达式为：；
（2）解：设，则，
对于，当时，
∴点C的坐标为
延长交轴于点，如图，
设直线的解析式为
把，代入得，
，
∴，即，
∵
∴
∴直线的解析式为
当时，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，但时，点D与点B重合，不符合题意，舍去，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴
∴，
过点A作于点H，设交于点N，
而，
即
则，
∵，即，
则，
设直线的表达式为，
把代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
则，
解得：（舍去）或，则点，
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，，
∴直线的表达式为，
联立方程组，
解得，，（舍去）
∴点．
【课后作业】
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________．
【答案】
【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知，
当点三点共线，且时，值最小，
当时，，
∴点.
∵抛物线的对称轴是，
∴点.
∵直线，且，
∴直线.
∵直线经过点，
∴，
∴直线.
将两个函数关系式联立，得
，
解得，∴点，则.
故答案为：.
1.
如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为______．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数综合题，二次函数的对称性，等腰三角形三线合一性质等知识，正确的计算是解题的关键．
点的坐标为，由等腰三角形三线合一的性质可得出满足条件的点的纵坐标为，把代入函数解析式求出的值即可得出点的坐标．
【详解】解：当时，，则点C的坐标为．
是以为底的等腰三角形，
为直线与抛物线的交点．
当时，，
解得，
∴点P的坐标为或．
故答案为：或．
2. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值
【详解】作轴于，于，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
3. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．
(1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标；
(2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为或或
【分析】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用．
（1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可；
（2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标．
【详解】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有
，解得：；
∴此二次函数的解析式为，
变化形式得: ，故顶点坐标；
（2）解：假设存在满足条件的点P，
则根据题意得：，
解得：或，
当时，，即，
解得，，即；
当时，，
则；
∴点P的坐标为或或．
4. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，
设的解析式为：，
∵,，
所以，
解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵，
∴ ，
解得：（舍） 或，
∴.
5.
（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线经过、、三点．
(1)求b，c的值；
(2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(4)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点P的坐标或；
(3)；
(4)存在，N点坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用轴对称求最短距离的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入，求出a的值，确定函数的解析式后，再将B点和C点代入解析式即可求b、c的值；
（2）根据的面积公式，求得底边上的高，再解方程即可求解；
（3）根据抛物线的对称轴可知当B、C、P三点共线时，有最小值，直线与对称轴的交点即为P点，求出P点坐标即可；
（4）设，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
∴，
解得，
∴，
将代入，
∴，
解得：（舍）或，
将代入，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴底边上的高为，
∴，
当时，
解得，；
当时，
整理得，
，方程没有实数根，舍去；
∴点P的坐标或；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A点与B点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，有最小值，
设的直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴；
（4）解：存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，
∴（舍），，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
，
∴，，
∴或；
③当为平行四边形的对角线时，
，
∴（舍），
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
6. 抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点P坐标为
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
对称轴为直线，
∴对称轴与x 轴的交点D坐标为．
（2）解：过点B作交延长线于点E，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点E坐标为，
设直线解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
联立方程组，
解得，
∴点P坐标为．
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专题04 二次函数与几何综合【压轴题】
目录
专题04 二次函数与几何综合【压轴题】 1
一、通用解题步骤 1
二、核心题型模型 1
【题型训练】（一）线段、周长、面积问题 4
【题型一】线段和、差、周长问题 4
【题型二】铅锤法求线段最值、三角形面积最值 8
【题型三】面积倍数关系问题 13
【题型训练】（二）特殊图形存在性问题 16
【题型四】特殊三角形问题 16
【题型五】特殊平行四边形问题 21
【题型六】角度问题 27
【课后作业】 30
一、通用解题步骤
1、步骤：
（1）定基础：求抛物线解析式、对称轴、顶点、与坐标轴交点、定点坐标
（2）标动点：动点在哪条线上运动（抛物线、x轴、对称轴、定直线）
（3）设动点坐标：在抛物线上；在水平或竖直定直线：直接固定横坐标或纵坐标（注意：自变量范围必须标注好）
（4）确定几何条件：将最值问题、面积问题、特殊图形的数量关系，转化成边长、面积等数量关系
（5）列方程：根据等量关系列方程求解
（6）检验取舍：解出来的横坐标，是否在动点允许的范围之内；检验点是否满足原始几何条件（排除增根）；排除三点共线：共线无法构成三角形、四边形，直接舍去
二、核心题型模型
（一）线段、周长、面积问题
1、轴对称线段和最短问题：
将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。
两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。
两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。
2、面积最值问题：
三角形面积可分为面积定值问题，面积数量关系问题，面积最值问题，其解法有割补法，铅垂法，平移法（作平行线）等。四边形面积：规则四边形可用面积公式求解，不规则图形，通常用割补法转化为已学的规则图形进行求解。
（1）二次函数最值的概念
当二次函数的图象开口向上时，其最小值在顶点处取得，开口向下时，其最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=- ，代入函数解析式求最值。
（2）配方法求最值
将二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式y ,其中h=- ,k为顶点的纵坐标。
（3）公式法求最值
直接利用顶点坐标公式得到最值,二次函数y=ax2+bx+c中，顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
（二）特殊图形存在性问题：
等腰三角形：分三种情况进行讨论；直角三角形：勾股定理或垂直斜率乘积为-1；平行四边形：平行四边形的判定；正方形、菱形：在平行四边形的基础上，加条件证明。
1、二次函数中特殊三角形存在性问题
（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。
（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。
2、二次函数中平行四边形存在性问题
一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。
3、二次函数中特殊平行四边形存在性问题
菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。
4、二次函数中线段、角度问题的存在性问题
线段问题可分为线段定值问题，线段数量关系问题，线段最值问题。线段最值问题常与轴对称、最短距离结合，线段数量关系问题有时会涉及相似。角度问题可分为角度定值问题、角度数量关系问题，角度最值问题，有时会涉及锐角三角函数，角度最值问题有时还会涉及圆，本专题题目不涉及圆和相似
【题型训练】（一）线段、周长、面积问题
【题型一】线段和、差、周长问题
1.铅垂线段最值构造二次函数，依靠对称轴求最值；
2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点；
3.最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值；
4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。
将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。
两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。
两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。
【例题1】(线段和)（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】(线段和)如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
【例题2】(周长)（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求直线与抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【变式2】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点．
（1）求m、n的值.
（2）当的周长最小时，求．
【例题3】(线段差) 已知抛物线经过和两点，其顶点为D．
(1)如图，当时，求抛物线的解析式．
(2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标．
【变式3】2026·江苏宿迁·二模）抛物线经过点、、，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线对称轴上一动点，求当取最大值时，点的坐标；
【题型二】铅锤法求线段最值、三角形面积最值
1.灵活选用、、三种抛物线解析式；
2.抛物线上动点统一设为；
3.水平线段长，竖直线段长，任意两点距离用，比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。
4.三角形通用铅垂高面积公式，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或拆分多个规则图形面积；
5.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超出图像范围的无效解。
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
【变式1-1】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，求的最大值．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．
【例题2】（面积最大值）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形面积的取值范围；
(3)若的面积为，的面积为，求的最大值．
【变式2-1】（面积最大值）如图，已知抛物线过点，点．
（1）求该抛物线的顶点坐标．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，求面积的最大值．
【变式2-2】（2026·河南·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)直线为抛物线的对称轴．
①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值．
【题型三】面积倍数关系问题
【例题】(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，抛物线．
(1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点．
(2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足．
①求的值．
②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】(23-24九上·广东广州越秀区第二中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)点为轴右侧抛物线上的一点，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在抛物线图像上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形的面积与面积相等．若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【题型训练】（二）特殊图形存在性问题
【题型四】特殊三角形问题
1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理结合线段平方列式；
2.等腰三角形分三类，借助两点距离平方公式列式，可联立线段垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。
【例题】（等腰三角形）(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
【变式1】（直角三角形）（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
【变式2】（等腰直角三角形）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【变式3】（等腰三角形）(23-24九上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标和的度数；
(3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标．
【变式4】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【题型五】特殊平行四边形问题
1.平行四边形核心使用中点公式，分三条线段分别作对角线分类计算动点；
2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、邻边相等双重条件。
【例题】（平行四边形）(24-25九上·广东东莞·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式1】（菱形）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（矩形）（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标；
(3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（正方形）（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4】（【平行四边形）(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式5】（菱形）（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型六】角度问题
1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例列式；2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转化为线段长度关系再结合函数计算。
【例题】(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的长度；
(3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标．
【变式1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点和点．与y轴交于点C，D是线段上一点．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求D的坐标；
(3)点P为该抛物线上第一象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【课后作业】
1.
如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为______．
2. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
3. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．
(1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标；
(2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．
5.
（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线经过、、三点．
(1)求b，c的值；
(2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(4)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6. 抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标．
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