第26章专题03 二次函数与四边形题型专练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数与四边形存在性 参考答案与试题解析 一．解答题（共22小题） 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（3，0）、B（2，﹣3），C（0，﹣3）． （1）求此函数的解析式； （2）已知，点M、N分别在y轴正半轴和抛物线上，且使四边形ABNM为平行四边形，求满足条件的N点坐标． 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，用待定系数法即可求解析式． （2）由四边形ABNM为平行四边形可知，四个点的顺序是确定的，无需分类讨论，AM平行且等于BN，根据平移的性质，点A平移到点B的方向和距离与点M平移到点N是一致的，设点M纵坐标为m，则能通过平移规律得到用m表示N的坐标．把N的坐标代入抛物线解析式即求出m的值，进而求点N坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0）、B（2，﹣3），C（0，﹣3） ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 （2）设点M坐标为（0，m）（m＞0） ∵四边形ABNM是平行四边形 ∴AM∥BN，AM＝BN ∴BN可看作AM平移得到的线段 ∵A（3，0）向左平移1个单位而，向下平移3个单位得到点B（2，﹣3） ∴M（0，m）向左平移1个单位而，向下平移3个单位得到点N（﹣1，m﹣3） ∵点N在抛物线上 ∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣3＝m﹣3 ∴m＝3 ∴点N坐标为（﹣1，0） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质．在解决平行四边形顶点存在性问题及求顶点坐标时，往往利用平移性质来解决会较快捷简便． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点E在x轴上方和x轴下方，两种情况进行讨论求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）过点B（1，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得： ∴抛物线的函数关系式为； （2）在抛物线上存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形．理由： ①如图1，当点E在x轴下方时，则：CE∥AD， ∴点E的纵坐标为﹣3， 令y＝﹣3，则， 解得x1＝﹣3，x2＝0， ∴点E的坐标为（﹣3，﹣3）； ②如图2，当点E在x轴上方时， ∵平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点C到x轴的距离为3， ∴点E到x轴的距离为3， 令y＝3，则， 解得， ∴，， 综上可得，在抛物线上存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形，点E的坐标为（﹣3，﹣3）或或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标． 【分析】（1）令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，利用S△ABP＝S△PBM+S△PMA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标； （3）求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标． 【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1， ∴点A（1，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1， ∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动， ∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3）， ∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点， ∴，解得：，， ∴点B（﹣4，﹣5）， 如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M， 点M（m，m﹣1）， ∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4， ∴S△ABP＝S△PBM+S△PMA （﹣m2﹣3m+4）（m+4）（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m） ， ∴当m时，△ABP的面积最大， ∴点P（，）； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴点E（﹣1，﹣2）， 如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3， ∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形， ∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9， 联立得D1（0，3）， 同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）， 综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3）或D2（﹣6，﹣3）或D3（﹣2，﹣7）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，解决第（2）小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第（3）小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解． 4．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式； （2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算得到答案； （3）根据平行四边形的判定定理画出图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣1，4）， ∴设函数表达式为y＝a（x+1）2+4 ∵图象过点C（0，3）， ∴当x＝0时，y＝3， ∴3＝a（0+1）2+4， 解得，a＝﹣1， ∴函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）﹣x2﹣2x+3＝0， x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∵A、B关于对称轴为直线x＝﹣1对称，点M在对称轴为直线x＝﹣1上， ∴MA＝MB， ∴△BCM的周长＝BC+CM+BM＝BC+CM+AM， 当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小， 设直线AC的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得，， ∴直线AC的函数解析式为y＝x+3， ∵点M的横坐标为x＝﹣1， 所以点M的坐标为（﹣1，2）； （3）如图2，当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分， ∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）， 当P′Q′∥AB，P′Q′＝AB＝4时，四边形AP′Q′B是平行四边形， 此时P′点的横坐标为﹣1﹣4＝﹣5， ∴P′的纵坐标为：﹣25+10+3＝﹣12， ∴点P′的坐标为（﹣5，﹣12）， 当P′′Q′∥AB，P′′Q′＝AB＝4时，四边形AQ′P′′B是平行四边形， 此时P′′点的横坐标为﹣1+4＝3， ∴P′′的纵坐标为：﹣9﹣6+3＝﹣12， ∴点P′′的坐标为（3，﹣12）， 综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）． 【点评】本题考查的是二次函数的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数的定义，灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2+4x+5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），PQ＝﹣（m）2，故当m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，﹣16）． 【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图： 在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠BQD＝45°＝∠PQH， ∴△PHQ是等腰直角三角形， ∴PHPQ， ∴当PQ最大时，PH最大， 设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5， ∴k＝﹣1， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+5， 设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5）， ∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴当m时，PQ最大为， ∴m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）存在，理由如下： 抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2， 设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5）， ①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（3，8）， ②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（﹣3，﹣16）， ③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图： ，解得， ∴M（7，﹣16）； 综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 6．如图，已知二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴交抛物线L1于一点D，将抛物线L1沿着直线CD翻折，并向右平移m个单位（m≥0），得到抛物线L2，抛物线L2交直线CD于E，F两点（E在F的左边），点M，N分别是L1，L2的顶点，连接CN，NF，FM，MC得到四边形CNFM． （1）当a＝1，m＝0时，直接写出抛物线L2的解析式； （2）若点D，E是线段CF三等分点，求m的值； （3）在平移过程中，是否存在以点C，N，F，M为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m应满足的关系式，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出M（2，﹣1），再求出M点关于y＝3对称的点为N（2，7），即可求抛物线L2的解析式； （2）分别求出C（0，3a），M（2，﹣a），D（4，3a），再由题意可得DE＝CD＝EF＝4，则CE＝8，从而求出m＝8； （3）求出平移后的函数解析式为y＝﹣a（x﹣2﹣m）2+7a，则N（2+m，7a），F（4+m，3a），过点N作GH⊥y轴交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，可证明△NCG∽△FNH，则，从而求出m＝8a2﹣2． 【解答】解：（1）∵a＝1，m＝0， ∴y＝x2﹣4x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴M（2，﹣1）， ∴M点关于y＝3对称的点为N（2，7）， ∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3； （2）令x＝0，则y＝3a， ∴C（0，3a）， ∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a， ∴M（2，﹣a）， ∴D（4，3a）， ∴CD＝4， ∵点D，E是线段CF三等分点， ∴DE＝CD＝EF＝4， ∴CE＝8， ∴m＝8； （3）存在以点C，N，F，M为顶点的四边形是矩形的情形，理由如下： 由（2）知，C（0，3a），M（2，﹣a），D（4，3a）， ∵CD所在的直线为y＝3a， ∴翻折后的函数解析式为y＝﹣a（x﹣2）2+7a， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣a（x﹣2﹣m）2+7a， ∴N（2+m，7a），F（4+m，3a）， 过点N作GH⊥y轴交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H， ∵∠CNF＝90°， ∴∠GNC+∠FNH＝90°， ∵∠GNC+∠NCG＝90°， ∴∠FNH＝∠NCG， ∴△NCG∽△FNH， ∴， ∴， ∴m＝8a2﹣2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，函数图象平移的性质，函数图象翻折的性质是解题的关键． 7．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求△ABC的面积． （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B，C，Q，K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）令x＝0，求C（0，4），令y＝0，求A（﹣1，0），B（4，0），再求S△ABC5×4＝10； （2）设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，证明△CHQ≌△BGK（AAS），得到m＝﹣m2+3m+4﹣4，则HQ＝2，所以K（6，2）；当m＜0时，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明△QHG≌△KFE（AAS），则有﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），求得m＝﹣2，则GQ＝2，可求K（﹣6，﹣2）． 【解答】 解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5， ∴S△ABC5×4＝10； （2）存在，理由如下： 设Q（m，﹣m2+3m+4）， 当m＞0时，如图1， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC， 过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点， ∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠HCQ＝∠GBK＝45°， ∴△CHQ≌△BGK（AAS）， ∴HC＝HQ＝BG＝GK， ∴m＝﹣m2+3m+4﹣4， ∴m＝2或m＝0（舍）， ∴HQ＝2， ∴K（6，2）； 当m＜0时，如图2， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC， 设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H， 过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点， ∵∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°， ∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°， ∵KC＝BQ，CF＝HB， ∴FK＝QH， ∴△QHG≌△KFE（AAS）， ∴QG＝HG＝EF＝EK， ∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4）， ∴m＝﹣2或m＝4（舍）， ∴GQ＝2， ∴K（﹣6，﹣2）； 综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DQ∥CO，交BC于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D移动的过程中，存在∠DCP＝∠ACO，求出此时m的值； （3）在抛物线上取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DM⊥BC于点M，如图1所示，设点P坐标为（m，﹣m+3），则点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据三角函数及勾股定理可得答案； （3）若CE⊥BC，直线CE的解析式为：y＝x+3，根据选定系数法求得答案． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点， ∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）． 将C（0，3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）． 得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）过点D作DM⊥BC于点M，如图1所示： 设点P坐标为（m，﹣m+3），则点D坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． 在Rt△COB中，CO＝BO＝3， ∴∠CBO＝45°， ∴∠DPM＝∠BPQ＝45°， 在Rt△PDM中，． 在Rt△ACO中，AO＝1，CO＝3， .∴， ∵∠DCM＝∠ACO， ∴， 在Rt△PDM中，． ∵在Rt△BPQ中，∠BPQ＝﹣45°，PQ＝﹣m+3， ∴， 在Rt△BOC中，由勾股定理， 得， 又∵CM+PM+BP＝BC，BC⊥CE， ∴， 解得m1＝0（舍去），． ∴m的值为． （3）存在，点E的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）． 若CE⊥BC，直线CE的解析式为：y＝x+3， ∴， ∴（舍去），， ∴点E的坐标为：（1，4）． 若BE⊥BC，直线BE解析式为：y＝x﹣3， ∴， ∴，， ∴点E的坐标为：（﹣2，﹣5）， 综上所述，当点E（1，4）或（﹣2，﹣5）时，存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形的性质，记住三角形的面积公式；会解一元二次方程；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 9．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝a（x+3）2与反比例函数y（x＞0）的图象都经过直线上的C（1，t）． （1）求a和k的值； （2）点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与抛物线左侧交于点E，与双曲线交于点P，求△PAD的面积的最大值； （3）在（2）的条件下，点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）将点C（1，t）代入y＝x+3，求出t＝4，确定C点坐标即可求a与k的值； （2）设D（m，m+3），由题意可得P（，m+3），所以DPm，则S△PAD（m）×（m+3）（m2+3m﹣4）（m）2，因为﹣3＜m＜0，可求m时，S△PAD有最大值； （3）由题可知，若四边形PAEC是平行四边形，则D为平行四边形对角线的交点，则点D是AC的中点，可求D（﹣1，2），则m＝﹣1，P（2，2），E（﹣4，2），将点E（﹣4，2）不满足y（x+3）2，可确定不存在D点，使四边形PAEC为平行四边形． 【解答】解：（1）∵C（1，t）在y＝x+3上， ∴t＝4， ∵C（1，4）在y＝a（x+3）2与反比例函数y（x＞0）上， ∴a，k＝4； （2）由（1）可得y（x+3）2与y， 设D（m，m+3）， ∵DP∥x轴， ∴P（，m+3）， ∴DPm， ∴S△PAD（m）×（m+3）（m2+3m﹣4）（m）2， ∵﹣3＜m＜0， ∴m时，S△PAD有最大值； （3）由题可知，若四边形PAEC是平行四边形， 则D为平行四边形对角线的交点， ∵A（﹣3，0），C（1，4）， ∴D（﹣1，2）， ∴m＝﹣1， 此时P（2，2）， ∴E（﹣4，2）， 将点E（﹣4，2）不满足y（x+3）2， ∴不存在D点，使四边形PAEC为平行四边形． 【点评】本题是二次函数、反比例函数、一次函数的综合题；熟练掌握函数图象的性质，以及平行四边形的判定是解题的关键． 10．某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． （1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． （3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线y＝x，交抛物线于点P，点Q是抛物线对称轴上一动点，点M是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点P、Q、M、O为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出A（10，0）和顶点坐标为（5，6.25），然后用待定系数法求解即可； （2）设对称轴与x轴交于点K，矩形DEFG，MNPFQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点C，求出OD＝2，进而求出CD＝4，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答； （3）设M（m，n），求出P（6，6），设Q（5，q）．根据勾股定理求出OP2＝72，PQ2＝q2﹣12q+37，OQ2＝q2+25．①当OP为矩形OPQM的一边且点Q和点M在直线OP的上方时，如图2﹣1，连接OQ，根据OP2+PQ2＝OQ2求出q＝7，然后利用平移的性质求解；②当OP为矩形OQMP的一边且点Q和点M在直线OP的下方时，如图2﹣2，连接PQ，根据OP2+OQ2＝PQ2求出q＝﹣5，然后利用平移的性质求解；③当OP为矩形OQPM的对角线时，如图2﹣3和图2﹣4，根据PQ2+OQ2＝OP2求出，然后利用中点坐标公式求解． 【解答】解：（1）∵隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米， ∴OA＝10，隧道顶部最高处距地面6.25米， ∴A（10，0），顶点坐标为（5，6.25）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+6.25，将点A的坐标代入得： 0＝a（10﹣5）2+6.25， 解得：， ∴； （2）小莉的说法正确；理由如下： 如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形DEFG，MNPQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点C， ∵， ∴对称轴为直线x＝5， ∵两车至少间隔1米， ∴当MN＝1时，EK＝0.5． ∵车辆宽为2.5米， ∴DE＝2.5， ∴DK＝2.5+0.5＝3， ∴OD＝5﹣3＝2， 当x＝2时，， ∴CD＝4． ∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，3.5+0.5＝4， ∴刚好满足安全要求，因此说法正确； （3）存在以点P、Q、M、O为顶点的四边形是矩形；理由如下： 设M（m，n）， 联立得：， 解得：，， ∴P（6，6）． ∵对称轴为直线x＝5， ∴设Q（5，q）． ∴OP2＝62+62＝72，PQ2＝（5﹣6）2+（q﹣6）2＝q2﹣12q+37，OQ2＝52+q2＝q2+25． ①当OP为矩形OPQM的一边且点Q和点M在直线OP的上方时，如图2﹣1，连接OQ， ∵OP2+PQ2＝OQ2， ∴72+q2﹣12q+37＝q2+25， 解得q＝7， ∴Q（5，7）， ∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q， ∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M， ∴M（﹣1，1）； ②当OP为矩形OQMP的一边且点Q和点M在直线OP的下方时，如图2﹣2，连接PQ， ∵OP2+OQ2＝PQ2， ∴72+q2+25＝q2﹣12q+37， 解得q＝﹣5， ∴Q（5，﹣5）， ∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q， ∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M， ∴M（11，1）． ③当OP为矩形OQPM的对角线时，如图2﹣3和图2﹣4， ∵PQ2+OQ2＝OP2， ∴q2﹣12q+37+q2+25＝72， 解得：， ∴或， ∵OP的中点坐标为（3，3）， ∴或即或． 综上可知，点M的坐标为（﹣1，1）或（11，1）或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，平移的性质，中点坐标公式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 11．【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点C（0，3），该抛物线的顶点P恰好是一次函数y＝x+3的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转90°，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）①根据新定义，求出抛物线的顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； ②求出直线AC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），利用两点间的距离公式，列出二次函数关系式，求最值即可； ③分HP为边和HP为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：设反比例函数上的“四倍值点”的坐标为（m，4m）； ∴ 解得：m1＝2，m2＝﹣2， 经检验m1＝2，m2＝﹣2是所列方程的解， 当m＝2时，4m＝8； 当m＝﹣2时，4m＝﹣8． ∴反比例函数上的“四倍值点”的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）； （2）①解：设一次函数y＝x+3的四倍值点的坐标（t，4t）， ∴4t＝t+3，解得：t＝1， ∴一次函数y＝x+3的四倍值点的坐标为（1，4）， ∵该抛物线的顶点P恰好是一次函数y＝x+3的四倍值点， ∴该抛物线的顶点P的坐标为（1，4）， 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）， ∵该二次函数的图象交y轴于点C（0，3）， 故把点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4中得：3＝a（0﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； ②对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0则﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（﹣1，0），A（3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（3，0）和C（0，3）分别代入y＝kx+b得：，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∵DE⊥OA，且D点的横坐标为m（0＜m＜3）， ∴D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴， ∵a＝﹣1＜0抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当时，DF有最大值，DF的最大值是， 此时； ③或（1，1），理由如下： ∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1， 由旋转可知H（0，1）， 如图1当以HP为边作矩形HPMN，连接NP交HM于点T，P的坐标为（1，4）， 设M（0，m），N（x，y），T（0，t）， ∴，解得：x＝﹣1， 过P作PG⊥y轴，垂足为G，则PG＝1，OG＝4， ∴HG＝OG﹣OH＝4﹣1＝3，∠PGM＝∠PGH＝90°， ∵∠PGM＝90°， ∴∠PMG+∠MPG＝90°， ∵四边形HPMN是矩形， ∴∠MPH＝90°， ∴∠PMG+∠PHG＝90°， ∴∠MPG＝∠PHG， ∴△MGP∽△PGH， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2当以HP为对角线作矩形HNPM， ∵PN∥y轴，HN∥x轴， ∴N（1，1）， 故点N的坐标为或（1，1）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 12．已知二次函数：y＝ax2+bx+c部分自变量x的值与y的值如表． x … 1 2 3 … y … 0 m 0 … （1）直接写出该二次函数的对称轴； （2）若d＞3，当x＝d时，y＝﹣1，求a的取值范围； （3）点A，B是该二次函数与x轴的交点，点M在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点N，使得以A，B，M，N四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有N的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）易得二次函数经过（1，0）和（3，0）两点，据此即可得解； （2）易得解析式为y＝a（x﹣2）2﹣a，将（d，﹣1）代入可得，据此求解即可； （3）先求出抛物线解析式为，再分类讨论，以AB为边或对角线，分别画出图形求解即可． 【解答】解：（1）由表格可知二次函数经过（1，0）和（3，0）两点， 则3﹣x＝x﹣1， 解得x＝2， ∴对称轴为直线x＝2； （2）由表格可知抛物线的顶点为（2，m），且经过点（1，0）． 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+m， 将（1，0）代入得：0＝a（1﹣2）2+m， 解得m＝﹣a， ∴y＝a（x﹣2）2﹣a． 当x＝d时，y＝﹣1， ∴﹣1＝a（d﹣2）2﹣a， ∴a[（d﹣2）2﹣1]＝﹣1． ∵d＞3， ∴．d﹣2＞1， ∴（d﹣2）2＞1，即（d﹣2）2﹣1＞0． ∴， ∵（d﹣2）2﹣1＞0， ∴a＜0． （3）由题意知， 设． ∵对称轴为直线x＝2， ∴，即b＝﹣4a． 抛物线经过点（1，0）， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为． 由表格可得A（1，0），B（3，0）． ∵四边形ABMN为菱形，且M在对称轴直线x＝2上，． 分两种情况讨论： ①当AB为菱形的边时，AB＝2，则MA＝2，且MN∥x轴， 如图，记对称轴与x轴交于点L， 则AL＝1， ∴MN ∴M的纵坐标为． 很明显当M纵坐标为时，在顶点下面， 此时点N不可能在抛物线上， ∴M（2，）， ∵MN＝AB＝2， ∴N（4，）或（0，）； 当x＝4时，y16， 当x＝0时，y， 即此时点N均在抛物线上，符合题意； ②当AB为菱形的对角线时，此时点M、N关于x轴对称，则N只能为抛物线顶点， 当x＝2时，， ∴， 此时，只要M在对称轴上且M≠N，四边形AMBN即为菱形． 综上所述，存在点N，其坐标为（4，）或或（0，）． 【点评】本题主要考查了二次函数解析式与性质、点的坐标特征、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求△ACN面积的最大值； （3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），得点A的坐标为（﹣3，0），故二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3； （2）连接ON，设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），由MN∥CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，分别列出方程组，即可解得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0）， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3； （2）连接ON，如图： 设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3）， 在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴S△ACN＝S△AON+S△CON﹣S△AOC ， ∵， ∴当时，S△ACN取得最大值，且最大值为； （3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3， 设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3）， ∵MN∥CQ， ∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边； 当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ， ∴， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ∴Q（0，﹣1）； ②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM， ∴， 解得：（舍去）或或， ∴或； 综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折（点P的对应点为P′），得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法将B（3，0），C（0，﹣3）两点的坐标代入y＝x2+bx+c，求出解析式即可； （2）根据菱形的性质，得出n时的x的值，从而得出P点的坐标． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）两点的坐标代入y＝x2+bx+c得：， ∴， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（m，n）， PP′交CO于M，若使四边形POP′C是菱形， 则有PC＝PO，连接PP′，则PM⊥CO于M， ∴OM＝MC， ∴n， ∴m2﹣2m﹣3， 解得：m1，m2（不合题意舍去）， ∴P点的坐标为（，）， ∴PP'＝2PM＝2， ∴菱形POP'C的面积为3×（2）． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及菱形的性质，掌用方程的思想解决问题是解本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求b，c的值． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可； （3）四边形ABPC的面积＝△ABC的面积+△BCP的面积，即可求解． 【解答】解：（1）二次函数的图象y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；理由如下： ∵把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C， ∴PP′⊥CO，垂足为点E，如图1， ∴PE＝EP′，PP′∥x轴， ∵四边形POP′C为菱形，C（0，﹣3）， ∴OE＝EC， ∴， 根据题意，设， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴存在点P，使四边形POP′C为菱形，P点的坐标为； （3）如图2，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点Q， 设直线BC的解析式为y＝kx+p，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． 设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3）， ∴QP＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，△PBC的面积最大，且最大值为． 又∵， ∴四边形ABPC的面积的最大值为：，此时． 【点评】主要属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积，折叠的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，过点P作BC的垂线，垂足为H． （1）求该二次函数的解析式． （2）求线段PH的最大值． （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，N是平面内的一点，是否存在点N，使得以M、N、A、B为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3），利用两点间的距离公式得到PQ＝﹣m2+3m，利用配方法求得PQ最值．可证明△PHQ为等腰直角三角形，则PQ最大时，PH最大，求解即得到答案； （3）由题意，以M、N、A、B为顶点的四边形是菱形，即△MAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①MA＝MB，②MA＝AB，③AB＝MB，借助于方程求得点M的坐标，进而求得N坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣1，0），C（3，0）， ∴， 解得， ∴此二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵设直线BC为y＝kx+b，因其经过B（0，3），C（3，0）， ∴， 解得k＝﹣1，b＝3， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）， PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）， ＝﹣m2+3m， ， ∴PQ的最大值为， ∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQH＝∠OBC＝45°， ∵∠PHQ＝90°， ∴△PHQ为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴PH随PQ增大而增大， 当PQ的最大值为时， ； （3）存在以M、N、A、B为顶点的四边形是菱形； 理由：若以M、N、A、B为顶点的四边形是菱形，即△MAB为等腰三角形， ∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为，OA＝1，OB＝3， 在Rt△ABO中由勾股定理可得，AB2＝10． 设M（1，a），则MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2． 分三种情况讨论： 若MA＝MB， 则22+a2＝12+（a﹣3）2，解得a＝1， ∴M1（1，1）； 此时四边形MANB为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： xA+xB＝xM+xNyA+yB＝yM+yN， 即﹣1+0＝1+xN0+3＝1+yN， N1（﹣2，2）， 若MA＝AB，22+a2＝10，得， ∴，； 此时四边形AMNB为菱形， 同理求得，或， 若AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6， ∴M4（1，0），M5（1，6）． ∵M5、A、B三点共线， ∴M5（1，6）舍去． 此时四边形ANMB为菱形， 此时N40，﹣3 ∴M的坐标为：N1（﹣2，2），，，N4（0，﹣3）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质等，掌握相关知识点是解题的关键． 17．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C，P是抛物线上一点． （1）求二次函数的解析式； （2）直线PE∥x轴，交直线BC于点E，点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P，使得以点D，E，F，P为顶点的四边形是正方形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得b，c，即可得二次函数的表达式； （2）由待定系数法，可得直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），由PE∥x轴，可得E（m2﹣m，﹣m2+m+2），根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点P坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）存在点P，使以D，E，F，P为顶点的四边形是正方形， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（2，0），C（0，2）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， 设P（m，﹣m2+m+2），E（n，﹣n+2）， ∵PE∥x轴， ∴﹣m2+m+2＝﹣n+2， ∴n＝m2﹣m， ∴E（m2﹣m，﹣m2+m+2）， ①如图，四边形PDFE为正方形，则PE＝PD， ∴m2﹣m﹣m＝﹣m2+m+2， 解得或m＝2（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ②如图，四边形PDEF为正方形，点F在PE上方， 连接PE，DF，交于点M，则MD⊥PE，PE＝2MD， ∴m2﹣m﹣m＝2（﹣m2+m+2）， 解得或m＝2（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ③如图，四边形PFED是正方形，点F在PE下方， 连接PE，DF，交于点N，则ND⊥PE，PE＝2ND， ∴m2﹣m﹣m＝2[﹣（﹣m2+m+2）]， 解得m＝﹣2或m＝2（不合题意，舍去）， ∴﹣m2+m+2＝﹣（﹣2）2﹣2+2＝﹣4， ∴P（﹣2，﹣4）， ∴点P的坐标为或或（﹣2，﹣4）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式． （2）已知直线与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线BC于点H．在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线解析式中a和交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）存在，根据正方形的性质得：FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，同理根据M（m，0），得H（m，﹣m+4），F（m，m2m+4），分两种情况：F在EP的左侧，在EP的右侧，根据EF＝FH，列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点， ∴二次函数的表达式为y（x+3）（x﹣4）x2x+4； （2）存在，由①知：E（1，3）， ∵四边形EFHP是正方形， ∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝∠90°， ∵M（m，0），且MH⊥x轴， ∴H（m，﹣m+4），F（m，m2m+4）， 分两种情况： i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧， ∴FH＝（﹣m+4）﹣（m2m+4）m2m， ∵EF＝FH， ∴m2m＝1﹣m， 解得：m1（舍），m2， ∴H（，）， ∴P（1，）， ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3， 同理得m2m+4﹣＝m﹣1， 解得：m1，m2（舍）， 同理得P（1，）； 综上，点P的坐标为：（1，）或（1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，正方形的性质，二次函数，两函数的交点，图形的面积计算等，与方程相结合，求解点的坐标，难度适中． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解； （3）分两种情况讨论：MN在PQ上方时或MN在PQ下方时，利用直线AB和x轴的夹角为45°，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+3， ∴﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， 则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1， ∴﹣1＜t≤3． ①若﹣1＜t≤1， 当x＝t时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得t＝﹣2或t＝2，均不符合题意，舍去； ②若1＜t≤3， 当x＝1时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣12+2+3＝4， 解得． 综上，． （3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为， 当MN在AB上方时，如图， 设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G， 由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°， 则BTBGm＝m， 故设直线MN的表达式为：y＝﹣x+3+m（m＞0）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝﹣x+3+m， 整理得x2﹣3x+m＝0， 则x1+x2＝3，x1x2＝m， ∴， ∵直线MN和x轴的夹角为45°，则， 即， 解得：m＝﹣18（舍去）或2， ∴； 当MN在AB下方时， 同理可得：， 解得：m＝18或﹣2（舍去）， ∴； 故PQ的长度为：或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 20．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令y＝0，x＝0，可求出点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），再利用待定系数法解答，即可求解； （2）作CH⊥PE于点H，根据题意可得△BOC是等腰直角三角形，从而得到∠DBE＝45°，进而得到△CEH是等腰直角三角形，可得到，再由点P（m，﹣m2+2m+3），可得PE＝﹣m2+3m，CH＝m，，然后根据菱形的性质CE＝PE，可得到关于m的方程，即可求解； （3）由（2）得：点，，可得，再求出直线PM的解析式为，过点E作EQ⊥PE交直线PM于点Q，可得PE＝EQ，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作EQ⊥PM于点Q，过点Q作SQ⊥y轴于点S，可得△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形，此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形． 【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中， 令y＝0，可得﹣x2+3x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3． 令x＝0，得：y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，3）代入得： ， 解得：， 直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3； （2）如图1，作CH⊥PE于点H， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DBE＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠CEH＝∠BED＝45°， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∴， ∵点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴点E（m，﹣m+3）， ∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． ∴CH＝m， ∴． ∵四边形CEPM为菱形， ∴CE＝PE． ∴， 解得或0（舍去）； （3）直线PM上存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；理由如下： 由（2）得：点，， ∴， 设直线PM的解析式为y＝﹣x+a，把点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线PM的解析式为， 当时，， 解得：， 如图2，过点E作EQ⊥PE交直线PM于点Q， ∴点， ∴， ∴PE＝EQ， ∴点； 如图3，过点E作EQ⊥PM于点Q，过点Q作SQ⊥y轴于点S， 由（2）得：∠BED＝45°， ∵PM∥BC， ∴∠BED＝∠DPQ＝45°， ∴△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形， ∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形； ∴， ∴点， 对于， 当时，， ∴点， 综上所述，存在点或，使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）b＝　﹣2　 ，c＝　﹣3　 ； （2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标； （3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解； （2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），则DE＝﹣t2+3t，GF＝GH﹣FHt2t，则GF+DE（t）2，当t时，GF+DE有最大值，此时D（，）； （3）设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H，证明△GPQ≌△HMP（AAS），由OP是正方形的对角线，可得p＝y+m2﹣2m﹣3①，分两种情况讨论：当M点在第一象限时，GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，则p﹣y＝m﹣1②，由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，求出M（，）；当M点在第一象限时，GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，则p﹣y＝1﹣m③，由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，可得M（，）． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c， ∴， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣3， 设D（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3）， ∴DE＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t， ∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， ∴∠FEH＝∠EFH＝∠GFC＝∠GCF＝45°， ∵FH⊥ED， ∴FH＝EHDE（﹣t2+3t）， ∴GF＝GH﹣FH＝t（﹣t2+3t）t2t， ∴GF+DE＝﹣t2+3tt2tt2t（t）2， 当t时，GF+DE有最大值， 此时D（，）； （3）存在点M，使四边形OMPQ为正方形，理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3）， 过点P作GH∥x轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H， ∵四边形OMPQ为正方形， ∴∠QPM＝90°， ∴∠GPQ+∠HPM＝90°， ∵∠GPQ+∠GQP＝90°， ∴∠HPM＝∠GQP， ∵QP＝PM， ∴△GPQ≌△HMP（AAS）， ∴GP＝HM，GQ＝PH， ∵OP是正方形的对角线， ∴1＝m+x，p＝y+m2﹣2m﹣3①， 当M点在第一象限时，如图2， ∴GP＝1﹣x，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1， ∴p﹣y＝m﹣1②， 由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3， 解得m， ∴M（，）； 当M点在第二象限时，如图3， ∴GP＝x﹣1，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m， ∴p﹣y＝1﹣m③， 由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3， 解得m， ∴M（，）； 综上所述：M点的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键． 22．实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用—一探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形LED电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值； ②如图4，G为线段OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式求解即可； （2）由题意可得，然后把x＝4代入解析式求出y＝6.4，而6.4﹣0.6＝5.8＞5.5，故满足； （3）①得到∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，则，那么，然后设B（t，﹣0.2t2+2.4t），则C（t，t），建立起BC关于t的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值； ②先求出F（7，7），则0≤xG≤7，可求E（6，6），分以下两种情况讨论：EG为对角线或EG为边，利用正方形边和对角线的性质建立方程求解即可． 【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（6，7.2），且图象过（0，0）点， 设抛物线为y＝a（x﹣6）2+7.2（a≠0）， ∴0＝a（0﹣6）2+7.2， 解得：a＝﹣0.2， ∴y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2； （2）能满足安装设计要求，理由如下： ∵显示屏宽为3m， ∴， 当x＝4时，y＝﹣0.2（4﹣6）2+7.2＝6.4， ∵6.4﹣0.6＝5.8＞5.5， ∴能满足安装设计要求； （3）①∵y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2＝﹣0.2x2+2.4x， ∴抛物线的对称轴为直线x＝6， ∵E点在抛物线的对称轴上，也在y＝x上， ∴E（6，6）， ∴∠EOA＝45°， ∵BD⊥OE，AB⊥OA， ∴∠BCD＝45°，∠BDC＝90°， ∴， ∴． 设B（t，﹣0.2t2+2.4t），则C（t，t）， ∴． 由﹣0.2＜0，得当时，BC+CD的最大值为； ②解：存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得∠EGH＝45°， ∴△EGH是等腰直角三角形， 联立， 解得，或（舍去）， ∴F（7，7）， ∵G为线段OF上一动点， ∴0≤xG≤7， 如图，分以下两种情况讨论： 若EG为边，如图所示： ∵正方形EGPH， ∴，即HG＝2EM， 设H（m，﹣0.2m2+2.4m），G（m，m）， ∴﹣0.2m2+2.4m﹣m＝2（6﹣m）， 解得m＝12或m＝5， ∵G点在线段OF上，0≤xG≤7， ∴G（5，5）， 若EG为对角线， 当四边形EHGP为正方形，则EH∥x轴， ∵E（6，6）， ∴H点的纵坐标为6， 令6＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2， 解得或， ∵G点在线段OF上，0≤xG≤7 ∴； 综上所述：G点坐标为或G（5，5）． 【点评】本题考查了二次函数综合，涉及线段周长最值问题，与特殊四边形的存在性问题，综合性强，正确理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/4 8:44:57；用户：付洋；邮箱：13998414261；学号：35557238 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与四边形存在性 一、二次函数与平行四边形存在性 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（3，0）、B（2，﹣3），C（0，﹣3）． （1）求此函数的解析式； （2）已知，点M、N分别在y轴正半轴和抛物线上，且使四边形ABNM为平行四边形，求满足条件的N点坐标． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标． 4．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数与矩形存在性 6．如图，已知二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴交抛物线L1于一点D，将抛物线L1沿着直线CD翻折，并向右平移m个单位（m≥0），得到抛物线L2，抛物线L2交直线CD于E，F两点（E在F的左边），点M，N分别是L1，L2的顶点，连接CN，NF，FM，MC得到四边形CNFM． （1）当a＝1，m＝0时，直接写出抛物线L2的解析式； （2）若点D，E是线段CF三等分点，求m的值； （3）在平移过程中，是否存在以点C，N，F，M为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m应满足的关系式，若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求△ABC的面积． （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B，C，Q，K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DQ∥CO，交BC于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D移动的过程中，存在∠DCP＝∠ACO，求出此时m的值； （3）在抛物线上取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝a（x+3）2与反比例函数y（x＞0）的图象都经过直线上的C（1，t）． （1）求a和k的值； （2）点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与抛物线左侧交于点E，与双曲线交于点P，求△PAD的面积的最大值； （3）在（2）的条件下，点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由． 10．某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． （1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． （3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线y＝x，交抛物线于点P，点Q是抛物线对称轴上一动点，点M是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点P、Q、M、O为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点C（0，3），该抛物线的顶点P恰好是一次函数y＝x+3的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转90°，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 三、二次函数与菱形存在性 12．已知二次函数：y＝ax2+bx+c部分自变量x的值与y的值如表． x … 1 2 3 … y … 0 m 0 … （1）直接写出该二次函数的对称轴； （2）若d＞3，当x＝d时，y＝﹣1，求a的取值范围； （3）点A，B是该二次函数与x轴的交点，点M在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点N，使得以A，B，M，N四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有N的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求△ACN面积的最大值； （3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折（点P的对应点为P′），得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出菱形的面积；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求b，c的值． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，过点P作BC的垂线，垂足为H． （1）求该二次函数的解析式． （2）求线段PH的最大值． （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，N是平面内的一点，是否存在点N，使得以M、N、A、B为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 四、二次函数与正方形存在性 17．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C，P是抛物线上一点． （1）求二次函数的解析式； （2）直线PE∥x轴，交直线BC于点E，点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P，使得以点D，E，F，P为顶点的四边形是正方形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式． （2）已知直线与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线BC于点H．在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 20．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）b＝_______ ，c＝_______ ； （2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标； （3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用—一探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形LED电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值； ②如图4，G为线段OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $