第26章 二次函数 综合压轴题 专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章 二次函数 综合压轴题 专题训练

一、特殊三角形问题

1．已知，抛物线经过点和．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标）

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)①求线段长度的最大值；

②连接，当为等腰三角形时，求的值．

3．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M．

(1)求抛物线的解析式；

(2)以为腰，在右侧作等腰，，求点N的坐标；

(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使．

①求点P的坐标；

②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

5．如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、．

(1)求一次函数和二次函数的解析式；

(2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；

(3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

二、面积问题

7．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；