精品解析：辽宁沈阳市虹桥中学教育集团2026-2027学年度上学期八年级国庆假期作业质量反馈数学试卷

2026—2027学年度上学期 沈阳市虹桥中学教育集团 八年级 国庆假期作业质量反馈 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 第Ⅰ卷 （选择题，共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是无理数，故符合题意； C、0是整数，属于有理数，故不符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可． 【详解】解：A、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、∵，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、是最简二次根式，此选项符合题意； D、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是理解什么是最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘除运算，据此相关性质进行计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 5. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ） A. B. ，， C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，掌握根据勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键；根据三角形的内角和定理和勾股定理逐项判断即可． 【详解】解：、， ，，， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， 是直角三角形， 故本选项符合题意； 、∵， ∴，，不能构成三角形， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， 设，则， ， ， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数轴表示数、勾股定理等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数即可． 【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为， ∴点A到原点的距离为个单位， ∵点A在原点的左侧， ∴点A所表示的数为：． 故选：A． 7. 直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P 到x 轴、y 轴距离分别为3，7，则P 点坐标为（ ） A. （-3，7） B. （-7，3） C. （3，7） D. （7，3） 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在坐标平面上，点P（x，y）在第二象限，且点P到x轴距离是3，到y轴的距离为7，则点P的坐标（-7，3）， 故选B. 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 8. 下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小正方形的边长为，根据正方形的面积公式可得，结合已知条件求出的值，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∵小正方形面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为． 9. 如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 10. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得该直角三角形的斜边长为． 13. 已知的整数部分为，的小数部分为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法求出，则可求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，即 ∴的整数部分为8，即， 的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴． 14. 如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 15. 如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】由题意可分两种情况，①当点E在AB上时，过作，与的延长线交于点，先通过勾股定理的逆定理证明，再证，求得、，最后由勾股定理求得，②当点E在AB的延长线上时，过作，与的延长线交于点，同理可求解． 【详解】解：由题意可分： ①当点E在线段AB上时，过作，与的延长线交于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ， ，， ， ，， ， ； ②当点E在AB的延长线上时，过作，与的延长线交于点， 同理可证， ，， ， ； ∴综上所述：的长是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理，关键在于构造全等三角形． 三．解答题（共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 观察如图所示的平面直角坐标系，回答下列问题： （1）直接写出三点坐标 （ ， ），（ ， ），（ ， ） （2）求的面积． （3）在轴上找点，使，直接写出的坐标为 ． 【答案】（1），；，；， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点所在的位置可得答案； （2）利用割补法求解即可； （3）根据题意可得，据此求出点D的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵点D在y轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为或． 19. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 20. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． 【小问2详解】 解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 21. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 【答案】（1）；>； （2），证明： 由题意得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）尚不足． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给算式直接计算进而可以判断得解； （2）把与分别求平方，然后作差比较即可； （3）先求出篱笆总长为米，设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，结合（2）的结论即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ （2）略 （3）由题意，∵原正方形的面积为10平方米， ∴边长为米，篱笆总长为米． 设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米， ∴小正方形的边长为米和米． ∵， ∴根据（2）的结论可得，． ∴． ∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 22. 阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ． ； （2）比较大小： （填，，，或中的一种）； （3）计算：； （4）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）2； （4）0. 【解析】 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是； ； 【小问2详解】 解： ， ； ， ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴ ． 23. （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等；平行 （2）①结论：． 理由：延长到T，使得，连接． ∵， ∴同理（1）可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由中点的定义可得，，然后可证，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可解答； （2）①延长到T，使得，连接．先说明、，平行线公理得出，由勾股定理可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后运用等量代换即可解答；②长到T，使得，连接，延长交于点J．再证可得，再说明是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：，理由如下：． 如图1中，∵点O是线段的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：相等；平行． （2）①略 ②如图3中，延长到T，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴同理可证，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期 沈阳市虹桥中学教育集团 八年级 国庆假期作业质量反馈 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 第Ⅰ卷 （选择题，共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 5. 满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ） A. B. ，， C. ，， D. 6. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ） A. B. C. D. 7. 直角坐标系中，点P（x，y）在第二象限，且P 到x 轴、y 轴距离分别为3，7，则P 点坐标为（ ） A. （-3，7） B. （-7，3） C. （3，7） D. （7，3） 8. 下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 10. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为________． 13. 已知的整数部分为，的小数部分为，则________． 14. 如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 15. 如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 三．解答题（共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） （3） 17. 解方程： 18. 观察如图所示的平面直角坐标系，回答下列问题： （1）直接写出三点坐标 （ ， ），（ ， ），（ ， ） （2）求的面积． （3）在轴上找点，使，直接写出的坐标为 ． 19. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 20. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 21. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 22. 阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ． ； （2）比较大小： （填，，，或中的一种）； （3）计算：； （4）若，求的值． 23. （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $