3.4 圆周角和圆心角的关系（分层作业）数学北师大版九年级下册

3.4 圆周角和圆心角的关系 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上任意一点（与点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理以及正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形的性质来求解的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是的内接正方形， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵是的直径，，是的弦， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，由圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得的度数． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）如图所示，四边形内接于，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴； 故选B． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到，再根据是直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，理解相关知识是解答关键．在优弧上取一点D，连接，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出的度数，再利用圆内接四边形内对角互补来求解． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接， 则． ∵点四点共圆， ， ． 故选：B． 9．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补， 半圆或直径所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，利用圆周角定理得到，则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 故选：B． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 【答案】122 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接和，已知，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理及弦、弧、圆心角的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理得出，根据弦、弧、圆心角的关系即可得答案． 【详解】解：∵，与是所对的圆周角与圆心角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于是的直径，是上一点，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，掌握相关知识是解决问题的关键．AB是的直径，则，又因为，则可求，利用同弧所对的圆周角相等，即可求的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故答案为： ． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，先利用圆周角定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质得，进而由得到，再根据圆周角定理得，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，半径为，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明为等边三角形，作的外接圆，如图，从而可得，过作于点，求出，所以，故有当点共线时，，此时的值最大，最大值为，然后通过面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，如图，过作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为， ∴的最大面积是， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆中的最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 如图，连接，根据为的直径，得出，从而求出，根据得出，即可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2025·北京朝阳·二模）如图，内接于，，点在上，平分．若，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了等边对等角，垂径定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识，正确作出辅助线是关键． 如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，根据等边对等角，圆内接四边形得到，根据垂径定理得到即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 6．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 【答案】50 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 【答案】 【分析】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 【详解】解：连接，． 、切于点、，则， 由圆周角定理知，， ， ． 故答案为：50． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理．由可知点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆心角和圆周角的关系即可求得． 【详解】解：， ∴点，，在以A为圆心的圆上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为 . 【答案】/54度 【分析】本题考查了多边形内角和公式，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算出正五边形的内角和，然后得到的度数，然后根据圆周角定理，求得答案． 【详解】解：五边形是正五边形， 其内角和为， ， ． 故答案为：． 11．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出． 【详解】解：连接． ，若， ． ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 1.（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 2．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角和圆心角的关系 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上任意一点（与点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）如图所示，四边形内接于，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 、11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接和，已知，，则的度数是 ． 12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于是的直径，是上一点，连接，，若，则的度数为 ． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若．则 ． 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，半径为，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是（    ） A． B． C． D． 4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 5．（2025·北京朝阳·二模）如图，内接于，，点在上，平分．若，则 ． 6．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为 ． 8．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则 ． 10．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为 . 11．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ． 1.（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 2．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $