4.1圆的轴对称性（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

分层作业 4.1圆的轴对称性 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据垂径定理求值或证明 题型02结论辨析题 题型03判断三点是否共圆 题型04确定三角形的外心 题型05垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据垂径定理求值或证明 1．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 2．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为__________． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 7．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：． 8．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．若，的半径长为，求的长． ( 题型0 2 )结论辨析题 9．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 10．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 11．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 ( 题型0 3 )判断三点是否共圆 13．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 16．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． (1)请在图中画出； (2)经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） ( 题型0 4 )确定三角形的外心 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A、B、C三点，求这条圆弧所在圆的半径长． 19．（第二十八章 圆 高效同步练习28.2 三点确定一个圆）如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． ( 题型0 5 )垂径定理的实际应用 20．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 23．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 1．（下册 第三章 追梦基础训练卷（一））如图，点A，B，C，D在上，连接，且，点F是上一点，连接并交于点E．若，则的半径为（     ） A． B． C．8 D． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 5．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，是的弦，于点E．若，，则______． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） (2)连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 1．（方程思想）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．（动手操作能力）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．（分类讨论思想）已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（    ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 4．（发散思维能力）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（数学文化）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 6．（最值问题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 1．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.5圆的轴对称性 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 根据垂径定理求值或证明 1.B 2.D 3.D 4.A 59 6.27 7. 【答案】 证明：如图，作OH⊥AB于H, 则AH=BH, .OC=OD,OH⊥AB ∴.OH垂直平分CD,即CH=DH, .CH-AH=DH-BH,即AC=BD 8. 【详解】解：如图，过O点作OH⊥BC于H, 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E DE⊥ABOH⊥BC ∴.∠DEO=∠OHB=90°， .BCIOD ∴.∠DOE=LOBH, 在AODE和△BOH中， ∠DEO=∠OHB ∠DOE=∠OBH OD=BO :.AODE≌ABOH(AAS), .DE=OH=3. 在Rt△OBH中，BH=OB2-OH-i3-32=2 OH⊥BC. ∴.BC=2BH=2×2=4 题型02 结论辨析题 9.C 10.B 11.C 12.C 题型03 13.A 14.D 15.② 16. 【答案】(1) 如图所示，△ADE即为所求， 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 -3-2-1Q (2)不能 题型04 确定三角形的外心 17.V10 18. 【详解】解：如图，连接BC,作AB、BC的垂直平分线交于点O,连接OA,AB的垂直平分线交AB于 点D, .AD=AB=1 .OD=2 :.在RtAAOD中，OA=√AD2+OD=V5, 即这条圆弧所在圆的半径长为5 19. 【详解】(1)如图所示，⊙0即为所求的△ABC的外接圆； F (2)解：连接AO,B0, :AB=AC=6cm,∠BAC=120°， 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.AB=AC ∴OA⊥BC, .∠BAO=∠CA0=60°， AO=BO, ∴△ABO是等边三角形， ∴.AB=AO=6cm,即它的外接圆半径为6cm 题型n5 垂径定理的实际应用 20.B 21.B 22.2 23. 【详解】解：假设圆心为点O,连接OB, 作AB的垂直平分线CD交AB于点D, 点O在直线CD上， :.AD=BD=号AB=20cm, 2 C D 设半径为Rcm, 则在Rt△ODB中， 0D2+BD2=0B2, 即(R-10)}+202=R2, 解得：R=25 .,圆形工件的半径为25cm B组 能力进阶 1.A 2.A 3.B 4.2v2 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 5.2 6 【答案】(1) 如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求： IP B (2) 圆圆的说法错误。 理由：如图，连接AP,PB. 、 IP B 点P在线段 的垂直平分线上， AB :.PA=PB, :PA+PB>AB, .AB<2PA, 故圆圆的说法错误， 7. 【详解】(1)证明：如图，连接BD,OA,OB, D 为 的中点， B C.BC⊥AB D AC 1 .BD=三AC=AD 2 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又OA=OB, ∴.OD垂直平分AB, .OD⊥AB: (2)解：如图，设OD交AB于点H. H D 半径 ,垂足为， B C. OD⊥AB AB=43 M=号8=2w5 :D是AC的中点，AC=8, .AD=4, .DH=VAD2-AH=42-(23=2, 设OD=OA=r,则OH=r-2, 在RtAOAH中，OH2+AH2=OA, 即-2}2+23=r2, ∴.r=4,即⊙0的半径为4」 8. 【详解】(1)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, D B .OE⊥AB 1 :ME=B=24B=7, .CE=BE-BC=7-4=3, 在RA4OE中，OE=VON-AE2=52-72=L, 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE⊥AB,OF⊥CD,CD⊥AB, ∴.∠OEC=LOFC=∠ECF=90°， ∴四边形OECF是矩形， ..CF=OE=1,OF=CE=3. 在RUAOFD中，DF=VOD2-0F=52-32=4I, .CD=DF+CF=41+1; (2)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, 同(1)得AE=7,CF=1,四边形OECF是矩形， 设CE=a,DF=b,则OF=CE=a, ..AC+CD=AE+CE+CF+DF=7+a+1+b=8+(a+b). 故求AC+CD的最大值，只需求a+b的最大值， 在Rta0FD中，OF2+DF2=OD2,即d2+b=52=50, (a-b)≥0，即a-2ab+b2≥0， .50-2ab≥0，即2ab≤50， .50+2ab≤100， :.(a+b}=a2+2ab+b2=50+2ab≤100，即a+b≤10， 当且仅当a=b时，a+b取得最大值，最大值为l0, .AC+CD的最大值为8+(a+b)=8+10=18 C组 思维拔高 1.A 2.A 3.A 4.c 5.26 6.6 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.c 2.10 3. 【详解】(1)解：如图3，在RtaDFC中，tam∠DFC=tan50.3° F≈1.20. D .DC≈20×1.20=24米， 在RUEFC中，tan∠EFC=tan58°-BC ≈1.60 C .EC≈20×1.60=32米， .DE=EC-DC=32-24=8(米)， 答：DE的长为8米； (2)解：如图2，设MEN的圆心为O,连接NO,CO B 0 ,圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米， .MN=(25-I)×4=96米， ,点D是MN的中点， ÷DN=2MN=48米，0D1NMN 设⊙0的半径为r米，则OD=OE-DE=(-8)米， 在RtAODN中，OD2+DWN2=ON2, :.(r-8)2+482=r2, 解得r=148 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：正大门穹项圆弧所在圆的半径为148米. 919 分层作业 4.1圆的轴对称性 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据垂径定理求值或证明 题型02结论辨析题 题型03判断三点是否共圆 题型04确定三角形的外心 题型05垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据垂径定理求值或证明 1．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，过作，交于点，由垂径定理可知为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 过作，交于点，如图所示， ， 为的中点， ，且，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 【答案】 【分析】首先由，算出圆的直径，得到圆的半径，再算出．过圆心作于点，由，可知是等腰直角三角形，求出圆心到弦的距离，然后在中利用勾股定理求出半弦长，最后由垂径定理，平分弦，求出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ， ， ， ． ，， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， ， 由勾股定理，在中，， ， ， 由垂径定理，， ． 7．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：． 【答案】 证明：如图，作于H， 则， ∵，， ∴垂直平分，即， ∴，即． 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质． 作于H，根据垂径定理得到，而，由等腰三角形三线合一的性质得平分，然后即可证得． 【详解】略 8．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．若，的半径长为，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于，由题意易得，，，然后可证，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∵， ． ( 题型0 2 )结论辨析题 9．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 10．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 11．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． ( 题型0 3 )判断三点是否共圆 13．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 15．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 16．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． (1)请在图中画出； (2)经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2)不能 【分析】本题考查了平面直角坐标系画旋转图形及三点确定一个圆的判定． （1）根据旋转的性质结合平面直角坐标系分别得出点D和点E的坐标，在图中标记出后依次连接即可； （2）结合三点确定一个圆的条件，当三点共线时无法确定一个圆，即可判断． 【详解】（1）略 （2）解：判定三点确定一个圆的其中一个重要依据是三点不能共线， 由（1）可知，D，A，C三点共线， ∴经过A，C，D三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． ( 题型0 4 )确定三角形的外心 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A、B、C三点，求这条圆弧所在圆的半径长． 【答案】 【分析】先作出这条圆弧所在圆的圆心，再根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，作、的垂直平分线交于点，连接，的垂直平分线交于点， ， ， 在中，， 即这条圆弧所在圆的半径长为． 19．（第二十八章 圆 高效同步练习28.2 三点确定一个圆）如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 【答案】(1)如图所示，即为所求的的外接圆； (2)它的外接圆半径为． 【分析】（1）分别作出、的垂直平分线，交点即为圆心，再以为半径画圆即可； （2）证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：连接，， ，， ∴ ， ， ， 是等边三角形， ，即它的外接圆半径为． ( 题型0 5 )垂径定理的实际应用 20．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 21．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 23．（26-27九年级上·湖北·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：假设圆心为点，连接， ∵作的垂直平分线交于点， ∴点在直线上， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 1．（下册 第三章 追梦基础训练卷（一））如图，点A，B，C，D在上，连接，且，点F是上一点，连接并交于点E．若，则的半径为（     ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】过点O作于点G，并延长交于点H，连接．证明，推出，利用垂径定理求得，，设的半径为x，则．利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：过点O作于点G，并延长交于点H，连接． ， ， ， ， ，即． ， ． ， ，， 设的半径为x，则． ， ， ， 解得（负值舍去），故的半径为． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 4．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 5．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，是的弦，于点E．若，，则______． 【答案】 【分析】由垂径定理，得到，由，得到，设的半径为r，则，推导出，连接，由勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∴． ∴． 连接，如图所示． 在中，， 即． ∴， 解得或(不符合题意，舍去)． ∴． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） (2)连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) 如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求； (2) 圆圆的说法错误． 理由：如图，连接， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ， 故圆圆的说法错误． 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； 利用三角形的三边关系判断即可． 本题考查作图，复杂作图，垂径定理，三角形三边关系． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，， ，为的中点， ， 又， 垂直平分， ； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，构造合适的辅助线是解题的关键． （1）连接，，，先由直角三角形斜边上的中线性质可得，结合，可知垂直平分，即可得证； （2）根据垂径定理可得，利用勾股定理即可求得的长，设，则，在中，再次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点． 半径，垂足为，， ， 是的中点，， ， ， 设，则， 在中，， 即， ，即的半径为． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 1．（方程思想）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 2．（动手操作能力）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 3．（分类讨论思想）已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（    ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，注意弦在直径同侧或异侧时距离的计算方式不同． 两条弦均垂直于同一条直径，故相互平行；利用垂径定理及勾股定理求出圆心到每条弦的距离，再根据弦在直径同侧或异侧计算两弦间的距离． 【详解】解：如图，为直径，设于点E，于点F，连接． ∵，则． ∴． 同理，∵，则． ∴． 若和在直径同侧，则距离为． 若和在直径异侧，则距离为． ∴ 与之间的距离为2或14． 故选：A． 4．（发散思维能力）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 5．（数学文化）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 6．（最值问题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 1．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $