精品解析：广东省广州市广州大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026年广州大学附属中学高一月考试卷（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 给定非空数集，对于任意，，有且，则称集合为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ） A. 集合为闭集合 B. 集合为闭集合 C. 若集合、为闭集合，则为闭集合 D. 若集合、为闭集合，且，，则存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 13. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 14. 已知，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 16. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 17. 已知集合. （1）是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州大学附属中学高一月考试卷（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 3. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式，得，通分得， 等价于，解得，即. 5. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可等价转化为，再根据集合的包含关系建立关于的不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 6. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为，即，解得， 故选：B 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，,故A是真命题； 对于B，若，则或,若，则,所以是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，集合与集合不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C错误； 对于D，由，可得若则，则，故D是真命题. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 11. 给定非空数集，对于任意，，有且，则称集合为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ） A. 集合为闭集合 B. 集合为闭集合 C. 若集合、为闭集合，则为闭集合 D. 若集合、为闭集合，且，，则存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】本题表面考查闭集合的定义，本质在考查元素与集合的关系，通过闭集合的定义可以判断出A选项；B选项通过设，，，再结合闭集合的定义即可判断；C选项设，，举反例，，再结合闭集合的定义即可判断；D选项，由闭集合的定义可知，若集合为闭集合，则时，必有，所以0是集合、的公共元素，即必有，取，即可证明. 【详解】对于A选项，集合， 取，，则，不满足闭集合的条件，故A错误； 对于B选项，集合， 设，，， 则，，故B正确； 对于C 选项，集合、为闭集合， 设，，二者都是闭集合， 取，，，，5既不是3的倍数也不是2的倍数， 所以，不是闭集合，故C错误； 对于D选项，由闭集合的定义可知，若集合为闭集合，则时，必有， 因此集合、为闭集合，那么必有，因此取，则存在，使得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 13. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有  ， 解得. 即实数a的取值范围为. 14. 已知，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意变形为，再变形为，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时等号成立， 且 ，变形为 ， ， ，. 故答案为： 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型， 本题的关键是根据，对原式进行变形，然后再求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 16. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 17. 已知集合. （1）是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】（1）不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立的性质，对参数进行分类讨论，列出不等式组，求出参数范围； （2）根据二次不等式的解法，对原不等式进行变形，再对参数进行分类讨论，求出不等式的解集即可； （3）根据不等式恒成立的性质，对原不等式进行化简，进行参变分离，进而构造函数，根据基本不等式，求出函数最大值即可. 【小问1详解】 函数，不等式，即， 当，即时，得，解得，不合题意； 当时，由的解集为， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即，变形得， 当，即时，得，解得； 当，即时，， 因为，解得或； 当，即时，， 因为，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意，， 不等式，即， 而， 则原命题等价于，，即， 令，则， 由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号， 即 ，因此当时，，则， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $